江画工太猩院 第七节 高斯公式通量与散度
江西理工大学理学院 第七节 高斯公式通量与散度
江西理工大学理学院 、高斯公式 设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P(x,y,)(x,y,)、R(x,y,)在上具有 一阶连续偏导数,则有公式 OP 00 OR = Prdydz-+ dzdx Ridxd ∑ P00R 或d Ω =(Pcosa+ cosp+ Rcosy)ds
江西理工大学理学院 设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P(x, y,z)、Q(x, y,z)、R(x, y,z)在Ω上具有 一阶连续偏导数, 则有公式 ∫∫∫ ∫∫ Ω ∑ = + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 一、高 斯 公 式 P Q R dS dv z R y Q x P ( cos cos cos ) ( ) ∫∫ ∫∫∫ ∑ Ω = α + β + γ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 或
江画工太猩院 这里∑是9的整个边界曲面的外侧, cosa. cos B,c0sy是∑上点(x,y,z)处的法向 量的方向余弦 证明设闭区域身在面xOy 上的投影区域为D Q ∑由∑,∑和∑3三部分组成, =1(x y) 0 ∑,孔=32(X, y) ∑3为柱面上的一部分
江西理工大学理学院 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧， cosα,cos β ,cosγ 是∑上点( x, y,z)处的法向 量的方向余弦. 证明 设闭区域Ω在面xoy 上的投影区域为Dxy. x y z o Σ由Σ1 ,Σ2和Σ3三部分组成, ( , ) 1 : 1 Σ z = z x y ( , ) 2 : 2 Σ z = z x y Ω Σ1 Σ2 Σ3 Dxy Σ3为柱面上的一部分．
江画工太猩院 这里x1(xy)≤z2(x,y),Σ取下侧,∑2取上侧, ∑3取外侧 根据三重积分的计算法 OR T2(x,,)aR 小hv dz yaxdy i(x, y) Q =』x,(,-刚x,x(x,小 D 根据曲面积分的计算法 JR(x, 2)dxdy=-R)x, ,i,(x, )dxdy
江西理工大学理学院 根据三重积分的计算法 dz dxdy z R dv z R Dxy z x y ∫∫∫ ∫∫ ∫z x y Ω ∂ ∂ = ∂ ∂ { } ( , ) ( , ) 2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} . = ∫∫ 2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 根据曲面积分的计算法 ( , , ) [ , , ( , )] , 1 1 ∫∫ ∫∫ = − Σ Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy 这里 ( , ) ( , ) 1 2 z x y ≤ z x y ， Σ 1取下侧, Σ 2取上侧, Σ 3取外侧．
江画工太猩院 ∫ R(x, y, ) dxdy=-x,(xy)d, ∑ R(x,y,z)=0. 于是』R(x,3d ∑ ∫(x,xx,-刚1x,x(x,) D rOR dv=ir(r,v, z )dxdy Q ∑
江西理工大学理学院 ( , , ) [ , , ( , )] , 2 2 ∫∫ ∫∫ = Σ Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} , = ∫∫ 2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy ∫∫ Σ 于是 R ( x , y , z )dxdy ( , , ) 0 . 3 = ∫∫ Σ R x y z dxdy ( , , ) . ∫∫∫ ∫∫ Ω Σ = ∂ ∂ ∴ dv R x y z dxdy z R
江画工太猩院 cOP 同理 小=P(x,y,x)减, Q ∑ 0Q dv=ite(r, y, z ) dzdx, 和并以上三式得: aP 80 aR +×+。)dv= H Prydz+Qd+REdy 8. Ox Oy 0z 高斯公式
江西理工大学理学院 ( , , ) , ∫∫∫ ∫∫ Ω Σ = ∂ ∂ dv P x y z dydz x P 同理 ( , , ) , ∫∫∫ ∫∫ Ω Σ = ∂ ∂ dv Q x y z dzdx y Q ∫∫∫ ∫∫ Ω Σ = + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) ------------------高斯公式 和并以上三式得：
江画工太猩院 由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另 种形式 OP O0 OR +di (Pcosa+Q cosB+Rosy)ds. ∑ Gaus公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系
江西理工大学理学院 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系. ( cos cos cos ) . ( ) ∫∫ ∫∫∫ Σ Ω = + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ P Q R dS dv z R y Q x P α β γ 由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一 种形式：
江画工太猩院 、简单的应用 例1计算曲面积分 ∫(xyh+(y-)xd ∑ 其中∑为柱面x2+y2=1及平 面z=0,=3所围成的空间闭 区域Ω的整个边界曲面的外侧 解P=(y-z)x,Q=0,x R=x-y
江西理工大学理学院 二、简单的应用 例1 计算曲面积分 ( x − y )dxdy + ( y − z )xdydz ∫∫ Σ 其中Σ为柱面 1 2 2 x + y = 及平 面 z = 0 , z = 3所围成的空间闭 区域 Ω的整个边界曲面的外侧. 解 , ( ) , 0 , R x y P y z x Q = − = − = x o z y 1 1 3
江画工太猩院 aP d0 OR ax oy 原式=(-0d =l(rsin 0-z)rdrdedz l dr| r(sin 0-z]rd 9兀
江西理工大学理学院 , 0, = 0, ∂∂ = ∂∂ = − ∂∂ zR yQ y z xP ∫∫∫ Ω 原式 = ( y − z)dxdydz ∫∫∫ Ω = (rsinθ − z)rdrdθdz . 2 9π = − ∫ ∫ ∫ = θ θ − π 30 10 20 d dr r(sin z)rdz x o z y 1 1 3
江画工太猩院 使用Guas式时应注意: 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧
江西理工大学理学院 使用Guass公式时应注意: 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧