江画工太猩院 第四节 多元复合函数的 求导法则
江西理工大学理学院 第四节 多元复合函数的 求导法则
江画工太猩院 链式法则 定理如果函数u=如(及v=y(t)都在点可 导,函数乙=f(,v在对应点(u,)具有连续偏导 数则复合函数z=∫1!(t),y()在对应点可导, 且其导数可用下列公式计算: dz az du oz dy dt ou dt oy dt 证设t获得增量Mt, 则Δn=+△r)-(,△=v(+△t)-y();
江西理工大学理学院 证 则 ∆u = φ(t + ∆t) − φ(t), ∆v =ψ (t + ∆t) −ψ (t); 一、链式法则 定理 如果函数u = φ(t)及v =ψ (t)都在点t 可 导，函数z = f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导 数，则复合函数z = f [φ(t),ψ (t)]在对应点t可导， 且其导数可用下列公式计算： dt dv v z dt du u z dt dz ∂ ∂ + ∂ ∂ = ． 设 t 获得增量 ∆t
江画工太猩院 由于函数乙=∫(u,ν)在点(,y)有连续偏导数 0,0 △=。M+△+6△+62△, ou 当△→>0,△v→>0时,61→>0,62→>0 △?MnOz△v△u△v 8 At ou at dy atAtat 当Mt→0时,△→0,△y→0 △uLu△pcv △tdt △tt
江西理工大学理学院 由于函数z = f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数 , 1 2 v u v v z u u z z ∆ + ∆ + ∆ ∂∂ ∆ + ∂∂ ∆ = ε ε 当∆u → 0，∆v → 0时， 0 ε 1 → ， 0 ε 2 → t v t u t v v z t u u z t z ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ ⋅ ∂ ∂ + ∆ ∆ ⋅ ∂ ∂ = ∆ ∆ 1 2 ε ε 当∆t → 0时， ∆u → 0，∆v → 0 , dt du t u → ∆ ∆ , dt dv t v → ∆ ∆
江画工太猩院 d z. a az du az dv =lim ttM-→0△ t du dt dv dt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 du oz du a dy az dw 如 dt au dt ay dt ow dt 以上公式中的导数称为全导数 d t
江西理工大学理学院 lim . 0 dt dv v z dt du u z t z dt dz t ⋅ ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ = ∆ ∆ = ∆ → 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 dt dw wz dt dv vz dt du uz dt dz ∂∂ + ∂∂ + ∂∂ = u v w z t 以上公式中的导数 称为全导数. dt dz
江画工太猩院 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况:z=∫|d(x,y,v(x,y) 如果=φ(x,y)及ν=y(x,y)都在点(x,y) 具有对x和y的偏导数,且函数z=∫(,y)在对应 点(,)具有连续偏导数,则复合函数 z=∫1!(x,y),(x,y)在对应点(x,y)的两个偏 导数存在,且可用下列公式计算 az Oz au a ay aa au az ay ax au ax av ar Oy Ou dy Ov ay
江西理工大学理学院 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z = f [φ( x , y),ψ ( x , y)]. 如果 u = φ( x , y ) 及 v = ψ ( x , y )都在点 ( x , y ) 具有对 x 和 y的偏导数，且函数 z = f ( u , v )在对应 点 ( u , v )具有连续偏导数，则复合函数 z = f [φ( x , y),ψ ( x , y)]在对应点 ( x , y )的两个偏 导数存在，且可用下列公式计算 x v v z x u u z x z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ， y v v z y u u z y z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂
江画工太猩院 链式法则如图示 azaz Ou az dv +=· + ay au ay Oy ay
江西理工大学理学院 u v x z y 链式法则如图示 = ∂ ∂ x z ⋅ ∂ ∂ u z x u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + v z , x v ∂ ∂ = ∂ ∂ y z ⋅ ∂ ∂ u z y u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + v z . y v ∂ ∂
江画工太猩院 类似地再推广,设=叭(x,y)、v=V(x,y)、 W=w(x,y)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数, 复合函数z=八p(x,y,v(,y,w(x,y)在对应点 (x,y)的两个偏导数存在,且可用下列公式计算 ax au ax ay ax ow ax az oz Ou Oz Ov Oz Ow 2V& oy au ay Ov Oy Ow Oy
江西理工大学理学院 类似地再推广，设u = φ(x, y)、v =ψ (x, y)、 w = w(x, y)都在点(x, y)具有对x和 y的偏导数， 复合函数z = f[φ(x, y),ψ (x, y),w(x, y)]在对应点 (x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算 x w w z x v v z x u u z x z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ , y w w z y v v z y u u z y z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ . z w v u y x
江画工太猩院 特殊地z=∫(u,x,y)其中u=0(x,y) 即z=(x,y)x,y,令ν=x,W=y Ow a y a z_ of ou_ lafal of ou(|别 Ox au ox a 两者的区别 把z=f(u,x,y) 把复合函数z=八1(x,y),x,y中的n及y看作不 中的y看作不变而对x的偏导数皮变而对x的偏导数
江西理工大学理学院 特殊地 z = f (u, x, y) u = φ(x, y) 即 z = f [φ(x, y), x, y], , x f x u u f x z ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ . y f y u u f y z ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ 令 v = x, w = y, 其中 = 1, ∂∂xv = 0, ∂∂xw = 0, ∂∂yv = 1. ∂∂yw 把复合函数 z = f [φ( x, y), x, y] 中的 y看作不变而对x的偏导数 把 z = f (u, x, y) 中的u及 y 看作不 变而对x的偏导数 两者的区别 区别类似
江画工太猩院 例1设z=e",而u=sint,ν=t2, 求 d d t 解 d + dt au dt av dt =ve"·cost+Le4p,2t =tee s (t cost+2sint)
江西理工大学理学院 例 1 设 uv z = e ，而u = sin t， 2 v = t ， 求 dt dz. 解 = dt dz ⋅ ∂∂uz dt du ⋅ ∂∂ + vz dt dv ve t ue t uv uv = ⋅ cos + ⋅ 2 ( cos 2sin ). sin 2 te t t t t t = +
江画工太猩院 例2设乙=e"sinν,而u=y,ν=x+y, 求和 Ox ay 解=0.如m+.2m e siny y+ecosy. I =e(ysiny cosv) Oz az Ou az Ov Oy ou dydy ay =esinν:x+e"cosp·1=e"( rsIn y+cosv)
江西理工大学理学院 例 2 设z e v u = sin ，而u = xy，v = x + y， 求 x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ . 解 = ∂∂xz ⋅ ∂∂uz xu∂∂ ⋅ ∂∂ + vz xv∂∂ = e sinv ⋅ y + e cosv ⋅1 u u e ( ysinv cosv), u = + = ∂ ∂ y z ⋅ ∂ ∂ u z y u ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + v z y v ∂ ∂ = e sinv ⋅ x + e cosv ⋅1 u u e (xsinv cosv). u = +