江画工太猩院 第五章 定积分的应用
江西理工大学理学院 第五章 定积分的应用
江画工太猩院 第1节 微元法 平面图行的面积
江西理工大学理学院 第 1 节 微元法 平面图行的面积
江画工太猩院 微元法 回顾曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线 y=∫(x) y=∫(x)(f(x)≥0) 轴与两条直线x= o a x=b所围成。 bx A=f(r)dx
江西理工大学理学院 回顾 曲边梯形求面积的问题 ∫ = ba A f (x)dx 一、微元法 曲边梯形由连续曲线 y = f ( x)( f ( x) ≥ 0) 、 x轴与两条直线 x = a 、 x = b所围成。 a b x y o y = f (x)
江画工太猩院 面积表示为定积分的步骤如下 (1)把区间,61分成n个长度为Ax的小区间, 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形,第i个 小窄曲边梯形的面积为△4,则A=2△4 (2)计算△A1的近似值 △A1≈∫(5)△ ∈ (3)求和,得A的近似值A∑/(5△r
江西理工大学理学院 面积表示为定积分的步骤如下 （ 1）把区间 [ a , b ]分成 n个长度为 ∆x i的小区间， 相应的曲边梯形被分为 n个小窄曲边梯形，第 i 个 小窄曲边梯形的面积为 ∆A i，则 ∑= = ∆ n i A A i 1 . （ 2）计算 ∆A i的近似值 i i x i ∆A ≈ f (ξ ) ∆ ξ i ∈ ∆x i （ 3） 求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A ≈ ∑ f ∆x = ξ
江画工太猩院 (4)求极限,得A的精确值 n A=li λ→>0 提示若用△A表示任一小区间 面积元素 iCf5A=(x)积 x,x+△x]上的窄曲边梯形的面积, yf(r) 则A=∑Δ,并取△A≈f(x)dx 于是A≈∑f(x)d o axx+5x A=im∑f(x)dk=J/(xy
江西理工大学理学院 a b x y o y = f(x) （4） 求极限，得A的精确值 i i n i A = ∑ f ∆x = → lim ( ) 1 0 ξ λ ∫ = ba f (x)dx 提示 若用∆A 表示任一小区间 [x, x + ∆x]上的窄曲边梯形的面积， 则A = ∑∆A，并取∆A ≈ f ( x)dx， 于是A ≈ ∑ f (x)dx A = lim∑ f (x)dx ( ) . ∫ = ba f x dx x x + dx dA 面积元素
江画工太猩院 当所求量U符合下列条件: ()U是与一个变量x的变化区间a,小有关 的量; (2)C对于区间[a,小]具有可加性,就是 说,如果把区间a小分成许多部分区间,则 U相应地分成许多部分量,而U等于所有部 分量之和; (3)部分量△U的近似值可表示为f(9)x; 就可以考虑用定积分来表达这个量U
江西理工大学理学院 当所求量U 符合下列条件： （1）U 是与一个变量x的变化区间[a,b]有关 的量； （2）U 对于区间[a,b]具有可加性，就是 说，如果把区间[a,b]分成许多部分区间，则 U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部 分量之和； （3）部分量∆Ui的近似值可表示为 i xi f (ξ )∆ ； 就可以考虑用定积分来表达这个量 U
江画工太猩院 微元法的一般步骤: 1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如 x为积分变量,并确定它的变化区间an,b; 2)设想把区间,6分成n个小区间,取其中任 小区间并记为x,x+x],求出相应于这小区 间的部分量△U的近似值如果△U/能近似地表示 为a,b上的一个连续函数在x处的值f(x)与x 的乘积,就把f(x)x称为量U的元素且记作 ,即U=∫(x)dkx;
江西理工大学理学院 微元法的一般步骤： 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x为积分变量，并确定它的变化区间 [ a , b ]； 2）设想把区间 [ a , b ]分成 n个小区间，取其中任 一小区间并记为 [ x , x + dx ]，求出相应于这小区 间的部分量 ∆ U 的近似值 .如果 ∆ U 能近似地表示 为 [ a , b ]上的一个连续函数在 x处的值 f ( x ) 与dx 的乘积，就把 f ( x )dx称为量 U 的元素且记作 d U ，即 d U = f ( x )dx；
江画工太猩院 3)以所求量U的微元f(x)为被积表达式 在区间ab上作定积分,得U=f(x), 即为所求量U的积分表达式 这个方法通常叫做微元法 应用方向: 平面图形的面积;体积;平面曲线的弧 长;功;水压力;引力和平均值等
江西理工大学理学院 3）以所求量U 的微元 f (x)dx为被积表达式， 在区间[a,b]上作定积分，得 ∫ = ba U f (x)dx， 即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做微元法． 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧 长；功；水压力；引力和平均值等．
江画工太猩院 二、平面图形的面积 1、直角坐标系情形 J↑y=f(x) v:=f(x) xx+A功x b x 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 A=f(x)t4=-1(x.-()t
江西理工大学理学院 x y o y = f (x) a b x y o ( ) y = f1 x ( ) y = f2 x a b 曲边梯形的面积 ∫ = ba A f (x)dx 曲边梯形的面积 ∫ = − ba A [ f2 (x) f1 (x)]dx 1、直角坐标系情形 xx + ∆x x∆x 二、平面图形的面积
江画工太猩院 例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的 图形的面积 解两曲线的交点 (0,0)(1,1) y=r 选x为积分变量X∈|0, 0.20.40.60.81 面积元素d4=(x-x2)dx 2:x A=(x-xdx==x 333
江西理工大学理学院 例1 计算由两条抛物线 y = x 2 和 2 y = x 所围成的 图形的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 为积分变量 x x ∈[0,1] A ( x x )dx 2 10 = − ∫ 1 0 3 3 3 2 2 3 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = − x x . 31 = 2 y = x 2 x = y