《非可积方程数学理论》讲义

非可积方程理论 物理工程中的非线性波动现象大多由非可积方程描述。对于非可积方程,反散射理论不 再适用,孤立子摄动理论一般也不怎么有效。在此,我们讨论非可积方程的数学理论。 非可积方程的研究在最近20年来有了长足的发展。人们发现,在非可积方程中孤立波可以不 稳定。稳定的孤立波可以有 internal modes。这些 modes引起孤立波形状的长时间的振动。孤 立波的碰撞可以非常复杂(远非弹性碰撞)。孤立波还可以嵌入在波动方程的连续谱内 ( embedded solitons)。在2+1位情形,孤立波可以在横向( transverse direction)出现不稳定 性,并且可以出现 critical collapse现象。最近兴起的光波在周期介质中的传播行为也由非可 积方程刻画,并且其解(如孤立波稳定性等)也出现了很多新的有趣的现象。 下面我们用模型方程 +F(u)=0(1) 来发展非可积方程理论(这里F(0)=0)。此方程描述光孤立波在非Ker介质里的传播行为。 在一般情形下,此方程不可积。它有三个守恒量:质量P,动量M,和 Hamiltonian h M=il(u,,u)dx (3) H=[-G( 这里G(y)=F(y)。 1.孤立波的解析表达式 对于一个非线性波动方程,我们常常从它的孤立波入手。对于方程(1),它的静止的孤立 波形式为 x,==g(x; B)e 这里(x,B)为一实函数,Φ→0asx→∞,B为传播常数注意方程(1)具有 Galilean (伽利略)不变形,即从它的静止的孤立波通过 Galilean变换我们可以得到运动的孤立波: 4m()=(x-V;B2- 在一些具体情形下,解Φ(x,B)有显式的解析表达式。比如,考虑函数 FCu)=au+rul 在此情形下,当把方程(5)和(7)代入(1)中并积分一次,我们得到 这里积分常数己由条件 dΦ =0消掉。方程(8)可以由变量代换y=Φ”求解

非可积方程理论 物理工程中的非线性波动现象大多由非可积方程描述。对于非可积方程，反散射理论不 再适用，孤立子摄动理论一般也不怎么有效。在此，我们讨论非可积方程的数学理论。 非可积方程的研究在最近 20 年来有了长足的发展。人们发现，在非可积方程中孤立波可以不 稳定。稳定的孤立波可以有 internal modes。这些 modes 引起孤立波形状的长时间的振动。孤 立波的碰撞可以非常复杂（远非弹性碰撞）。孤立波还可以嵌入在波动方程的连续谱内 （embedded solitons）。在 2+1 位情形，孤立波可以在横向（transverse direction）出现不稳定 性，并且可以出现 critical collapse 现象。最近兴起的光波在周期介质中的传播行为也由非可 积方程刻画，并且其解（如孤立波稳定性等）也出现了很多新的有趣的现象。 下面我们用模型方程 2 ( ) 0 (1) z xx iu + + u F u u = 来发展非可积方程理论（这里 F(0) = 0 ）。此方程描述光孤立波在非 Kerr 介质里的传播行为。 在一般情形下，此方程不可积。它有三个守恒量：质量 P，动量 M，和 Hamiltonian H： 2 * * 2 2 (2) ( ) ( ) (4 x x x P u dx M i u u u u dx H u G u dx ≡ ≡ − ≡ − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ (3) ) 这里G y ′( ) = F(y) 。 1． 孤立波的解析表达式 对于一个非线性波动方程，我们常常从它的孤立波入手。对于方程(1)，它的静止的孤立 波形式为 ( , ) ( ; ) (5) i z u x z x e β = Φ β 这里Φ( ; x β)为一实函数，Φ → 0 as x → ∞ ，β 为传播常数。注意方程(1)具有 Galilean （伽利略）不变形，即从它的静止的孤立波通过 Galilean 变换我们可以得到运动的孤立波： 1 1 2 v v 2 4 ( , ) ( v ; ) (6) i x i z i z moving u x z x z e β β − + = Φ − 在一些具体情形下，解Φ( ; x β)有显式的解析表达式。比如，考虑函数 2 2 F u( ) u u (7 σ σ = + α γ ) 在此情形下，当把方程(5)和(7)代入(1)中并积分一次，我们得到 1 2 2 2 2 2( 1) (8) 2 1 d dx α γ σ σ β σ σ Φ ⎡ ⎤ + + = Φ − Φ − Φ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + + 这里积分常数已由条件 0 x x d dx =∞ =∞ Φ Φ = = 消掉。方程(8)可以由变量代换 y σ = Φ 求解

其解为 这里A (2+o)BB (2+a) D=√,B=sgn(a)1++ B,而为自由参数 g)a 当a=1,y=0和σ=2时,解(9)退化为一般代数孤立波( Algebraic solitons) u,, (x) -2(2+a)(1+a)/a a2(1+a)x2+(2+)2y/a (11) 此孤立波在x=∞处以 power law衰减:ua(x)-|x|。 2.孤立波的线性稳定性和 internal modes 在可积方程里,孤立子一般是稳定的。实际上,它们不光稳定,连碰撞后也保持形状不 变。但在非可积方程中,孤立波不见得稳定,更不用提弹性碰撞了。即使非可积方程中的孤 立波是稳定的,其线性化算子的谱中往往也有离散的纯实数特征值(即所谓的 internal modes) 而这些 internal modes,在可积方程是没有的。 Internal modes的存在对孤立波在扰动下的发展 及孤立波的碰撞都有重大影响。这里我们讨论模型(1)中孤立波的线性稳定性及 internal modes 的产生机制 为讨论孤立波的线性稳定性,我们对孤立波(5)做微小扰动 (x)={0(x,D)+(x)-w(x)l2+'(x)+w(l31(2) 这里v(x),w(x)<1。当把此扰动解代入到方程(1)中并线性化,我们得到特征值问题 LY =Ar(13) 这里 Y≡ L L10 (15) B L1=-d2+B-F(d2)-2bF(d)(7 算子L的特征值具有一个简单对称性:如果λ为一特征值,则A,-2,-也都为特征 值。因此L的特征值总是成对或者成四出现的。另外,λ=0总是L的离散特征值,并且此 零特征值的几何重数为2,代数重数为4。其对应的两个特征函数为

其解为： 1 ( ; ) (9) cosh A x B Dx σ β ⎡ ⎤ Φ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + 这里 (2 )B A σ β α + = ， D = σ β ， 1 2 2 2 (2 ) sgn( ) 1 (1 ) B σ γ α σ α β − ⎡ + ⎤ = + ⎢ ⎥ ⎣ + ⎦ ，而 β 为自由参数。 当α =1，γ = 0和σ = 2 时，解(9)退化为一般代数孤立波（algebraic solitons）： 1 2 2 2 2 2(2 )(1 )/ ( ) (11) (1 ) (2 ) / al u x x σ σ α σ σ σ σ γ α ⎡ ⎤ − + + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + + + 此孤立波在 x = ∞ 处以 power law 衰减： 2 ( ) al u x x σ − ∼ 。 2． 孤立波的线性稳定性和 internal modes。 在可积方程里，孤立子一般是稳定的。实际上，它们不光稳定，连碰撞后也保持形状不 变。但在非可积方程中，孤立波不见得稳定，更不用提弹性碰撞了。即使非可积方程中的孤 立波是稳定的，其线性化算子的谱中往往也有离散的纯实数特征值（即所谓的 internal modes）。 而这些 internal modes，在可积方程是没有的。Internal modes 的存在对孤立波在扰动下的发展 及孤立波的碰撞都有重大影响。这里我们讨论模型(1)中孤立波的线性稳定性及 internal modes 的产生机制。 为讨论孤立波的线性稳定性，我们对孤立波(5)做微小扰动， { } * * * ( , ) ( ; ) [v( ) w( )] [v ( ) w ( )] (12) i z i z i z u x z x x x e x x e e λ λ β β − = Φ + − + + 这里 v(x x ), w( ) 1。当把此扰动解代入到方程(1)中并线性化，我们得到特征值问题 LY = λY (13) 这里 0 1 2 2 0 2 2 2 2 2 1 2 v (14) w 0 (15) 0 ( ) (16) ( ) 2 ( ) (17) Y L L L d L F dx d L F F dx β β ⎛ ⎞ ≡ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = − + − Φ = − + − Φ − Φ ′ Φ 算子 L 的特征值具有一个简单对称性：如果λ 为一特征值，则 * , , * λ − λ − λ 也都为特征 值。因此 L 的特征值总是成对或者成四出现的。另外，λ = 0 总是 L 的离散特征值，并且此 零特征值的几何重数为 2，代数重数为 4。其对应的两个特征函数为：

d (18) 两个广义特征函数为 (19) 0丿a6 并且 LY =Y. LY=Y (20) 这些特征函数及广义特征函数与解(6)的位置,相位,振幅和速度的任意性有必然的关系 算子L的连续谱很容易从冈→∞的极限下得到。其连续谱为{λ∈R,A2≥B L的离散谱一般包括如下三类特征值 A为非零实数( internal modes) λ为纯虚数(指数不稳定性) λ为复数(实部与虚部均非零)(振动不稳定性) 但对于方程(1)来说,我们实际上可以证明A只能为实数或纯虚数。为证明这一点,我们 首先将其线性化方程(13)写为如下形式: LLv=2 V (21) 注意到L算子有如下分解 L0=LL(22) (23) pp(x) 因此特征值问题(21)可以用变量代换ⅴ=Lⅴ表述为 LLLv=2(24) 显然L与互为 Hermitian,即L=(L)。因此LL1L为 Hermitian算子,从而其特征 值λ2必须为实数,也就是说A必须为纯实数或纯虚数 下面我们先考虑λ为纯实数( internal modes)的情形。容易知道,可积的NLS方程中孤 立子的线性化算子是没有 internal modes的。那么不可积的方程(1)的孤立波会不会有 internal modes呢?如果会,这些 modes是从哪里来的呢? 为回答这些问题,我们考虑扰动的NLS方程并令 F(2)=aF+sf()(8 这里E≤1为一小参数。扰动后的孤立波为:

2 1 0 , , 0 Y Y d d x ⎡ ⎤ ∂Φ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ∂ Φ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (18) 两个广义特征函数为： 1 2 0 1 , (19) 1 0 2 a a x Y Y β ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ∂Φ = Φ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ ∂ 并且 1 1 2 2 , (20) LYa d = = Y LYa Yd 这些特征函数及广义特征函数与解(6)的位置，相位，振幅和速度的任意性有必然的关系。 算子 L 的连续谱很容易从 x → ∞ 的极限下得到。其连续谱为{λ ∈ ≥ \, λ β } L 的离散谱一般包括如下三类特征值 z λ 为非零实数（internal modes） z λ 为纯虚数（指数不稳定性） z λ 为复数（实部与虚部均非零）（振动不稳定性） 但对于方程(1)来说，我们实际上可以证明λ 只能为实数或纯虚数。为证明这一点，我们 首先将其线性化方程(13)写为如下形式： 2 0 1 L L v v = λ (21) 注意到 L0 算子有如下分解 0 L L L (22) + − = ( ) (23) ( ) d x L dx x ± Φ′ = ± + Φ 因此特征值问题(21)可以用变量代换 v L v + =  表述为 2 1 L L L v v λ (2 − +   = 4) 显然 L− 与 L+ 互为 Hermitian，即 。因此 † L (L ) − + = L L1L − + 为 Hermitian 算子，从而其特征 值 2 λ 必须为实数，也就是说λ 必须为纯实数或纯虚数。 下面我们先考虑λ 为纯实数（internal modes）的情形。容易知道，可积的 NLS 方程中孤 立子的线性化算子是没有 internal modes 的。那么不可积的方程(1)的孤立波会不会有 internal modes 呢？如果会，这些 modes 是从哪里来的呢？ 为回答这些问题，我们考虑扰动的 NLS 方程并令 2 2 2 F u( ) = + u ε f ( ) u (18) 这里ε 1为一小参数。扰动后的孤立波为：

d(x,B)=Φ0(x,B)+出1(x,B)+o(E2)(19) 其中(x,B)=√2 B Bx(20),为NS孤立子。 校正项Φ(x,B)有以下方程得到 pD1+3中1=-f(Φy0(21) 特征值问题(13)至O(E)可展开为: (LO)+8LU)Y=Zr (22) 这里L为NLS孤立子的线性化算子,D为一阶矫正项 0C0 0 )0 +B B-32 (25) =-f(Φ)-2Φ。Φ l=-f()-2f()-64 当E=0时,特征值问题(22)为NLS孤立子线性化算子L的谱问题,因此是完全可以求 解的。其谱结构为 离散特征值:λ=0 0 离散特征函数:14 0 广义离散特征函数Y2(-4,1=(0丿a(29) Ly=10Y=0 (30 本征关系: (31) 连续特征值:A=(f+k2),-∞<k<∞ 连续特征函数;y(x,k)=-c (k± tanh Bx)2+ Beech2 (k±VB)L(k± B tanh√Bx)2-Bech2√x 本征关系:DOy(x,k)=±(B+k2)y(x,k)(33)

2 0 1 Φ = ( ; x x β β ) Φ ( ; ) + εΦ ( ; x β ) + o(ε ) (19) 其中 0 Φ = (x;β β ) 2 sech β x (20) ，为 NLS 孤立子。 校正项 1 Φ ( ; x β)有以下方程得到： 2 2 1 1 0 1 0 0 3 ( ) xx Φ − βΦ + Φ Φ = − f Φ Φ (21) 特征值问题(13)至O(ε ) 可展开为： (0) (1) (L L + = ε λ )Y Y (22) 这里 (0) L 为 NLS 孤立子的线性化算子， (1) L 为一阶矫正项， (0) (1) (0) 0 0 (1) (0) (1) 1 1 0 0 , ( 0 0 L L L L L L ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 23) 2 (0) 2 0 0 2 2 (0) 2 1 0 2 (1) 2 0 0 0 1 (1) 2 2 2 1 0 0 0 0 1 (24) 3 ( ( ) 2 (26) ( ) 2 ( ) 6 (27) d L dx d L dx L f L f f β β = − + −Φ = − + − Φ = − Φ − Φ Φ = − Φ − Φ ′ Φ − Φ Φ 25) 当ε = 0 时，特征值问题(22)为 NLS 孤立子线性化算子 (0) L 的谱问题，因此是完全可以求 解的。其谱结构为： 离散特征值：λ = 0 离散特征函数： 1 2 0 0 0 , , 0 Y Y d d x ⎡ ⎤ ∂Φ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Φ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (28) 广义离散特征函数： 1 2 0 0 0 1 , , (29) 1 0 2 a a x Y Y β ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ∂Φ = Φ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎝ ⎠ ∂ 本征关系： 1 2 1 1 2 2 (0) (0) (0) (0) 0 (30) , ( d d a d a d L Y L Y L Y Y L Y Y = = = = 31) 连续特征值： 2 λ β = ±( ) + k k , −∞ < < ∞ 连续特征函数： 2 2 2 2 2 ( tanh ) sech ( ; ) (32) ( ) [( tanh ) sech ] ikx e k i x x Y x k k i k i x x β β β β β β β β β ± ± ⎡ ⎤ ± + = ⎢ ⎥ ± ± ± − ⎣ ⎦ 本征关系： (0) 2 L Y ( ; x k) (β k )Y (x; k) (33) ± = ± + ±

这些特征函数在L2空间构成完全集 当E≠0时,特征值λ=0保持不动(不 bifurcate)。然而 internal modes可以从连续谱的 边缘i=+B处分离出来(见图)。下面我们计算在何种条件下 internal modes可以产生,并 计算其解析表达式 为此计算,我们需要定义内积。与 Pelinovsky et al, Physica D,1998不同的是,我们定义 如下内积 )=Fo, Ga 这里上标“+”代表Huma=(1“小·此内积的好处在于,在此内积定义下, 算子L0)为自伴算子。容易验证C的特征函数非零内积为 (35) (36) (y(x),y(x)=(y-(x,k,y(xk)=4x(k-k)(37) 现在,我们将方程(22)的特征函数Y在O算子的特征函数集上做展开 r()=aa+a(ka)(x61k+∑[()1+B()] (38) 当我们把展开式(38代入到方程(2)去,并利用以上的内积关系,我们可以得到a2(k,E) 的如下积分方程 (F/)*(R4r l ki (k, k)*(,)+K*(k, k)a(k,)ldk +∑[an(y(xC4()+A((x02"(x)]() 这里 入k=B+k Ki(, k)=(r(x, k),ty*(r; k)) 5(k.4)=(y(x,k)Cy(xk) 引入定义 a(k)=(干)a2(k)(42)

这些特征函数在 L2 空间构成完全集。 当ε ≠ 0时，特征值λ = 0 保持不动（不 bifurcate）。然而 internal modes 可以从连续谱的 边缘iλ = ±iβ 处分离出来（见图）。下面我们计算在何种条件下 internal modes 可以产生，并 计算其解析表达式。 为此计算，我们需要定义内积。与 Pelinovsky et al, Physica D, 1998 不同的是，我们定义 如下内积： † 1 F x( ),G(x) F σ Gdx (34) ∞ −∞ ≡ ∫ 这里上标“ ”代表 Hermitian， 。此内积的好处在于，在此内积定义下， 算子 † 1 1 1 σ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎝ ⎠⎟ (0) L 为自伴算子。容易验证 (0) L 的特征函数非零内积为 1 1 1 1 , , Y Y d a = = Ya Yd β (35) 2 2 2 2 1 2 , , (36) Y Y d a Ya Yd β − = = − Y ( ; x k),Y ( ; x k ) Y (x; k),Y (x k; ) 4πδ (k k ) (37) + + − − ′ ′ = = − ′ 现在，我们将方程(22)的特征函数 Y 在 (0) L 算子的特征函数集上做展开 2 1 ( ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ) (38) n n n d n a n Y x α ε k Y x k α ε k Y x k dk α ε Y β ε Y ∞ + + − − −∞ = = + ⎡ ⎤ + ⎡ ⎤ + ∫ ⎣ ⎦ ∑⎣ ⎦ 当我们把展开式(38)代入到方程(22)去，并利用以上的内积关系，我们可以得到α ( ; k ε ) ± 的如下积分方程： 1 2 2 (1) (1) 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 4 ( ; ), ( ) ( ; ), ( ) (39) 4 n n k n d n a n k K k k k K k k k dk Y x k L Y x Y x k L Y x ε λ λ α α α π ε α β π ∞ ± ± + ± − −∞ ± ± = = + ⎡ ⎤ ′ ′ ′ ′ ′ ⎣ ⎦ + + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ∑ ∓ 这里 2 (1) 1 (1) 2 ( , ) ( , ), ( ; ) (40) ( , ) ( ; ), ( ; ) (41) k k K k k Y x k L Y x k K k k Y x k L Y x k λ β ± ± + ± ± − = + ′ ′ = ′ ′ = 引入定义 ( ) ( ) ( ) (42) k a k λ λ α k ± ± = ∓

则以上积分方程变为 K(k, k)a*(k) k,(k, k)a"(") [n(y(x0)C(x)+1(y(x,(x) (43) 4丌 现在我们假设- internal modes在l1时从连续谱边缘=B处分离出来。令 =B-E2h2+o(E2) 这里h>0为一常数。当E=0时,A=B a+(k;0)=6(k),a(k:0)=an(0)=B(0)=0(45) 若0≠0。以上公式表明, internal modes产生的条件是公式(48)的右端量为正数。在此 条件下, internal modes特征值由公式(44)及(48)给出

则以上积分方程变为 1 2 2 (1) (1) 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 4 ( ; ), ( ) ( ; ), ( ) (43) 4 n n k k n d n a n K k k a k K k k a k a k dk Y x k L Y x Y x k L Y x ε π λ λ λ λ ε α β π ± + ± − ∞ ± −∞ ′ ′ ± ± = ⎡ ⎤ ′ ′ ′ ′ = + ′ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − + + + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∫ ∑ 现在我们假设 – internal modes λ 在 ε  1时从连续谱边缘λ = β 处分离出来。令 2 2 3 λ β = −ε h o + (ε ) (44) 这里 h > 0 为一常数。当ε = 0 时，λ = β ， ( ;0) ( ), ( ;0) (0) (0) 0 (45) n n α δ k k α k α β + − = === 若0 ≠ ε 1，从方程(39)可以看出 1 2 2 2 ( ,0) ( ; ) , ( ; ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) (46) n n K k k k O O O k h ε α ε α ε ε α ε ε β ε ε ε + + − + ∼ ∼ ∼ ∼ 注意方程(43)中积分的第一项在 k′ = ±iεh 处有简单奇点。利用复积分方法，我们发现在 ε → 0 的极限下，方程(43)变为 1 ( ) (0) ( ,0) (47) 4 a k a K k h ε ε ± + ± = − 为了使此公式自相容，参数 h 必须为 (1) 1 1 1 sgn( ) (0,0) sgn( ) ( ;0), ( ,0) (48) 4 4 h K ε ε Y x L Y x + + + = − = − 并且 。以上公式表明，internal modes 产生的条件是公式(48)的右端量为正数。在此 条件下，internal modes 特征值由公式(44)及(48)给出。 h > 0

B E=0时L E≠0时 internal internal modes碰撞产 的谱结构 modes的产生 生的指数不稳定性 下面我们考虑一个例子,即三阶与五阶非线性的情形。这时 f(2)= 经过简单计算,我们得到: d1(x;B)= 2.cosh(2√Bx) cosh'(√Bx) (50) 而 r(x0)=1-2hy 因而公式(48)给出h为 8 h=B2 sgn(a) 这说明当E>0时, internal modes存在,其公式为 附图1. nternal modes数值与解析公式的比较。(待做)

0 β −β iλ −iλ −λ λ ε = 0 ε ≠ 0 时 internal modes 的产生 internal modes 碰撞产 生的指数不稳定性 时 L 的谱结构 下面我们考虑一个例子，即三阶与五阶非线性的情形。这时 2 4 f ( ) u u = 。 经过简单计算，我们得到： 3 2 1 3 2 2 cosh(2 ) ( ; ) (50) 3 cosh ( ) x x x β β β β Φ = − ⋅ 而 2 1 2sech ( ) ( ,0) (51) 1 x Y x + ⎡ ⎤ − β = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 因而公式(48)给出 h 为 3 2 8 sgn( ) (52) 9 h = β ε 这说明当ε > 0 时，internal modes 存在，其公式为 64 2 2 3 1 ( ) 81 λ β ε β O ε ⎡ ⎤ = − + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (53) 附图 1. Internal modes 数值与解析公式的比较。（待做）

Internal- modes的存在与否对摄动解演化的影响 (a)E=0.2,B=1: internal modes存在 (b)E=-0.1,B=1: internal modes不存在 初始扰动:l(x,0)=1.2Φ(x,B),ie,20%扰动 2 -10

Internal-modes 的存在与否对摄动解演化的影响： (a) ε = 0.2, β =1: internal modes 存在 (b) ε = −0.1, β =1: internal modes 不存在 初始扰动： u x( , 0) = Φ 1.2 (x; β), i.e., 20% 扰动