3.1.甲、乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为 X P2(x)04 0.3 0.2 0.1 P(0y)0305020 若两台机器的日产量相同,问哪台机器较好? 解:E(Ⅹ)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1; E(Y)=0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9 从上式可知甲机器较好. 3.2.某种电子元件的寿命X(单位h)的概率密度为:f(x/={q2、,F0 x≤0 其中a>0为常数求这种电子元件的平均寿命 解:E(x)=a2xet= ax t'e'dt t de=2/a C
3.1. 甲、乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为： 0.4 0.3 0.2 0.1 X 0 1 2 3 0.3 0.5 0.2 0 Y 0 1 2 3 若两台机器的日产量相同，问哪台机器较好？ )(yp jY )( iX xp 解： E( X ) = 0×0.4 + 1×0.3 + 2×0.2 + 3×0.1 = 1; E( Y ) = 0×0.3 + 1×0.5 + 2×0.2 + 3×0 = 0.9 从上式可知甲机器较好. 3.2. 某种电子元件的寿命 X ( 单位：h )的概率密度为： 其中 为常数.求这种电子元件的平均寿命. 解： . x, xe x, )x(f x ⎩⎨⎧ ≤> = − 0 00 2 α α ./2 1 )( 0 2 0 2 0 22 α α α α α ∫ ∫∫ +∞ − +∞ − +∞ − = = =−= x t t XE ex dx etxt dt t de α > 0
设随机变量的概率密度为:fx)=0共他 kx",0<x<1 已知E(X)=0.75,求k及a的值 解:由题意 f(x)dx=kxdx=1 k=a+1 ∫k → E(X)=xkxk=075k=0751a+2)a=3 3.4.设随机变量X的概率分布如右: X1012 P2(x)16161/61/2 求E(X),E(-2X+1);E(X2) 解: E(X)=(-1)+0+1+2=1; 6 2 E(-2X+1)=3+1+(-1)+(-3) E(X2)=1-+0+1+4=2
解：由题意 3.3. 设随机变量X的概率密度为： 已知 E ( X ) = 0.75 ，求 k 及 α 的值. 0 1 0 kx , x f(x) . , α ⎧ < < ⎪ = ⎨⎪⎩ 其他 1 0 1 2 0 1 2 1 3 0 75 0 75 2 f ( x )dx k x dx k k E( X ) x k x dx . k .( ) α α α α +∞ −∞ ⎧⎪ ⎪ = = ⎧ ⎧ = ⇒ ⇒ = + ⎨ ⎨⎨⎩ = ⎪ ⎪ = = ⎩ = + ⎩∫ ∫ ∫ i i 3.4. 设随机变量X的概率分布如右： 求 1/6 1/6 1/6 1/2 X -1 0 1 2 解： ( ); 12( ); ( ). 2 +− XEXEXE )( iX xp . 3 1 2 2 1 4 6 1 1 6 1 0 6 1 1)( ;1 21 )3( 61 )1( 61 1 61 3)12( ;1 21 2 61 1 61 0 61 )1()( 2 = ´ + ´ + ´ + ´ = =+− ´ + ´ −+ ´ −+ ´ −= −= ´ + ´ + ´ + ´ = XE XE XE
3.5.一批零件中有9个合格品与3个废品,安装机器时从这批零件中任取个.如 果取出的废品不再放回去,求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期方 差与标准差 解:设X是在取得合格品以前已取出的废品数.X的可能的取值为0,1,2,3. 则X的概率函数为: Px(x) 3323×2 12 1211101211109 px(x) 9/12 9/44 9/220 1/220 E(X)=0+1 +2 +3 0.3 4 220 220 E(X2)=03 +1 +4 9 0.4 44 220 220 D(X)=E(X2)-[E(X)2=0.31
3.5. 一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品，安装机器时从这批零件中任取个.如 果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期方 差与标准差. 解：设 X 是在取得合格品以前已取出的废品数. X 的可能的取值为 0, 1, 2, 3. 则X的概率函数为： 9/12 9/44 9/220 1/220 X 0 1 2 3 iX )x(p iX )x(p 12 9 11 9 12 3 × 10 9 11 2 12 3 ×× 9 9 10 1 11 2 12 3 ××× ([)()( )] .31.0 ;4.0 220 1 9 220 9 4 44 9 1 4 3 0)( ;3.0 220 1 3 220 9 2 44 9 1 4 3 0)( 2 2 2 = − = = ´ + ´ + ´ + ´ = = ´ + ´ + ´ + ´ = XEXEXD XE XE
3.6.设随机变量X的分布函数为:F(x)=1a+ b arcsin x,-1sxs1 x>1 试确定常数a,b,并求E(Ⅹ)、D(X). 解:由已知随机变量X的分布函数的其概率密度 ∫f(x)=-b一= b arcsin x b丌=1 F(1)=a+mrsi1=a+1x=a+=1,(连续性)a=1 丌2 E(X)=「 dx=0,E(X-) dx=1/2 丌√1 元 D(X)=E(X2)/E(X2=1/2
3.6. 设随机变量X的分布函数为： 试确定常数 a , b ，并求 E( X )、D( X ). 解：由已知随机变量 X 的分布函数的其概率密度 . ,1 1 arcsin 11, ,0 1 )( ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > + ≤≤− −< = x xba x x xF X(E[)X(E)X(D )] ./ dx ;/ x x dx )X(E; x x )X(E . a b a)(F arcsin a )(,a dx b arcsin b|x x b )x(f dx 21 21 1 0 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 = − = = − = = − = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ += += × =+= = == − = ∫ ∫ ∫ ∫ − − ∞+ − − ∞ − π π π π π π π 连续性
37.设随机变量X服从自由度为k的2分布,其概率密度为 e",x>0, 22rk/2 xso 其中k为正整数,求X的数学期望和方差。 解: E(X)=1242r(k/2) k/2-x/2 k/2-x/2 d22r(k/2) x/2 (k/2川+14(k/2+)-1。t e dt= r(k/2+1)=k 22(k/2) (k/2 E(X2) k/2+1-x/2 22r(k/2 ax 22(k/2) 2 4 DX)=E(X2)+E(X)=k+2khH22+1/2)(k2)=k2+2k t=x/2 (2t)e ' dt 22r(k/2) 2k
解： 3.7. 设随机变量X服从自由度为 k 的 分布，其概率密度为： 其中k为正整数，求X的数学期望和方差。 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤ > = −− .x, ;x,ex )x(f )/k( /x/k /k 0 0 0 22 1 212 2Γ 2 λ dx dx X(E[)X(E)X(D )] .kkkk ;kk)/k()/k()/k( )/k( e)t( dt )/k( /xt ex )/k( ex )/k( )X(E ;k)/k( )/k( et dt )/k( /xt ex )/k( ex )/k( )X(E t/k /k /x/k /k /x/k /k t)/k()/k( /k /x/k /k /x/k /k 22 22212 2 4 2 22 2 2 22 1 22 1 12 2 2 2 22 1 2 22 1 22 1 2 22 2 2 0 12 2 0 0 212 2 212 2 2 0 11212 2 0 0 22 2 22 2 += =−+= = = × + ×× += = = = = =+ = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞+ −+ + ∞ ∞ + −+ −+ ∞+ −−++ + ∞ ∞ + − − Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ dx dx dx
38.证明:函数qt)=EX-t)2/,当t=E(X)时取得最小值,且最 小值为D(X). 证明:q(t)=E∥(X-t)2=E∥X-E(X川+|E(X)-t/P E/X-E(X川2+EE(X)-t/2 +2E/X-E(X川E(X)-t =D(X)+EE(X)-t/2 当t=E(X)时,卯(t)有最小值为D(X)
3.8. 证明：函数 , 当 t = E ( X ) 时取得最小值, 且最 小值为 D( X ). E)t( [( ])tX 2 ϕ −= 证明： { } )X(Et t X(D ). ]t)X(E[E)X(D X(EX[E )][ ]t)X(E X(EX[E )] ]t)X(E[E E)t( [( X(EX[E])tX )] ]t)X(E[ 当 时， ϕ （ ）有最小值为 ϕ = = + − + − − −= + − = =− − + − 2 2 2 2 2 2
3.9.某人的一串钥匙有n把,其中只有一把能开自己的门.他随意地试用这些钥 匙,并且试用过的钥匙不再试用。求试用次数的数学期望与方差 解:设随机变量X表示试用次数,X的可能取值为1,2,3,…,n,则它的概率函数 为 P(X=1)=-; n P(X=2) nn n k+1 P(X=k) n n-1 n-k+2 n-k+l n P(X=n) 12 E(X)=(1+2+….+n) 1_n+1 2 E(x2)=(12+22+…+n2)1=Cm+12n+1; n D(X)=E(X2)-/E(∥2=
3.9. 某人的一串钥匙有 n 把，其中只有一把能开自己的门. 他随意地试用这些钥 匙，并且试用过的钥匙不再试用。求试用次数的数学期望与方差. 解：设随机变量X表示试用次数，X 的可能取值为1, 2, 3, …, n, 则它的概率函数 为 . n n n n n )nX(P ;... nknkn kn n n n n )kX(P ; nnn n )X(P ; n )X(P 1 1 2 1 1 21 1 1 1 2 1 1 21 1 1 11 2 1 1 ×××× = − − × − == = +− × +− +− ××× − − × − == = − × − == == . n X(E[)X(E)X(D )] ; n( )( )n n ()X(E )n... ; n n )n...()X(E 12 1 6 1 121 21 2 11 21 2 2 2 2 22 2 − = − = ++ +++= ´ = + +++= ´ =
3.10.设随机变量X在[0,1/2]上服从均匀分布,Y=2X2 求E(Y)与D(Y). 解:X~U(0,1/2),则X的概率密度为 2 0≤x≤1/2 其它 1/2 E(y)=E(X2) 4x dx E(r2)=E(x+)=「28x=1; 20 D(Y)=E(Y2)-/E(Y)2 203645
3.10. 设随机变量 X 在[ 0, 1/2 ]上服从均匀分布， 求 E( Y ) 与 D( Y ) . 解：X ～ U( 0, 1/2 )，则 X 的概率密度为 ,2 2 = XY ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ = , . ;/x, )x(f 0 其它 2102 Y(E[)Y(E)Y(D )] . x)X(E)Y(E ; ;x)X(E)Y(E / / 45 1 36 1 20 1 20 1 8 6 1 4 2 2 21 0 2 4 4 21 0 2 2 = − =−= = = = = = = ∫ ∫ dx dx dx
3.11.在国际市场上,每年对我国某种出口商品的需求量为随机变量X(单位:t), 它在[20004000]上服从均匀分布.若每售出1t,可得外汇3万元,如 果销售不出而积压则需浪费保养费1万元/t.问应组织多少货源,才能使得 平均收益最大? 解:设收益为T,货源为n吨.已知X~U(200,4000),则X的概率密度为 1/2000,2000≤x≤4000 0 其它 当n>X时,收益T=3X-(n-X)=4X-n, 当n≤X时,收益T=3X 200+m4na=-(n-3500)+8250 40003n E(T)= 2000 1000 所以当货源n=3500吨才能使平均收益最大
3.11. 在国际市场上，每年对我国某种出口商品的需求量为随机变量 X (单位：t ), 它在 [2000, 4000] 上服从均匀分布. 若每售出 1t，可得外汇 3 万元， 如 果销售不出而积压则需浪费保养费 1万元 / t. 问应组织多少货源，才能使得 平均收益最大？ 解：设收益为 T，货源为 n 吨. 已知 X ～ U( 2000,4000 ), 则 X 的概率密度为 所以当货源 n = 3500 吨才能使平均收益最大. 8250 1000 3500 2000 4 2000 3 3 3 4 2 2000 4000 + − −= − = + ≤ = > −=−−= ∫∫ n )n(nx )T(E Xn .XT Xn ;nX)Xn(XT n n 当 时，收益 当 时，收益dx dx dx . , ,/ x )x(f ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤ = 0 其它 1 2000 2000 4000
3.12.已知随机变量Ⅹ与Y相互独立,且E(X)=2,D(X)=1,E(Y)=1, D(Y=4).U=X-2Y,V=2X-Y E(U, D(U,E(V),D(V) 解:E(U)=E(X-2Y)=E(X)-2E(Y)=2-2×1=0 D(U)=D(Ⅹ-2Y)=D(X)+4D(Y)=1+4×4=17; E(V)=E(2X-Y)=2E(X)-E(Y)=2×2-1=3; D(V)=D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)=4×1+4=8 3.13.计算泊松分布P()的三阶原点矩及三阶中心矩 解:泊松分布的概率函数为:P2(x)=e 3X∥=E(X3)=∑xP2(x)=22+22=1 λ3+3x2+元; x=(x-1)! H3(X)=v3(X)-3v2(X用v1(X)+2v1(X)=
3.12. 已知随机变量 X 与 Y 相互独立，且 E( X ) = 2, D( X )=1, E( Y ) = 1, D( Y = 4 ). 设 U = X – 2 Y, V= 2 X - Y 求 E( U ), D( U ), E( V ), D( V ). 解： E( U ) = E( X – 2 Y ) = E( X)-2 E( Y) = 2 - 2×1 = 0; D( U ) = D( X – 2 Y ) = D( X ) + 4 D( Y ) = 1 + 4×4 = 17; E( V ) = E( 2 X – Y ) = 2 E( X ) - E( Y ) = 2×2 – 1 = 3; D( V ) = D( 2 X – Y ) = 4 D( X ) + D( Y ) = 4×1 + 4 = 8. 3.13. 计算泊松分布 的三阶原点矩及三阶中心矩. 解： .)X(v)X(v)X(v)X(v)X( ; x( )! xe)x(Px)X(E)X(v e !x )x(P x x x x μ λ λλλ λ λ λ λ λ λ λ −= + = ++= − = = = × = ∞ − = − ∞ = − ∑ ∑ 3 3 3 2 1 1 23 1 1 2 0 3 3 3 3 2 3 1 泊松分布的概率函数为 ： 。 λ )(P