习题课 本章主要讨论各种形式的曲线积分和曲面积分,以及 各类积分的计算方法及相互的关系。 、第一类曲线积分 1积分形式 (1)平面曲线积分 f(x, y)ds
习题课 本章主要讨论各种形式的曲线积分和曲面积分，以及 各类积分的计算方法及相互的关系。 一、第一类曲线积分 1.积分形式 (1)平面曲线积分 ( , ) . L f x y ds ∫
)空间曲线积分 ∫(x,y,z)ds. 2积分方法 (1)平面曲线积分 直角坐标下:设曲线 L:y=y(x),x∈[an,b],y(x)∈C[a,b f(r, y)ds=/6 f[x, y(x)]v1+yxdx
(2)空间曲线积分 f ( , x y, z d) s. ∫Γ 2.积分方法 (1)平面曲线积分 直角坐标下：设曲线 (1) L : y y = ∈ (x), x [a,b], y(x) ∈ C [a,b], 则 2 ( , ) [ , ( )] 1 . b x L a f x y ds = + f x y x y′ dx ∫ ∫
参数方程设曲线 x=x() t∈[,B],x(t),y(t)∈C[a,B, 则 B f(x, y)ds fIx(t),y(1x 2+y 2dt 极坐标设曲线 L:r=r(6),e∈[a,月,r()∈C[o,B] I, f(x, y)ds= f[r(O)cos e, r(O)sinOR(0)+r(e)de
则 2 2 ( , ) [ ( ), ( )] . t t L f x y ds f x t y t x y dt βα = + ′ ′ ∫ ∫ (1) ( ) : [ , ], ( ), ( ) [ , ], ( ) x x t L t x t y t C y y t α β α β ⎧ = ⎨ ∈ ∈ ⎩ = 参数方程 设曲线 极坐标 设曲线 (1) L r: = ∈ r(θ ), θ α[ ,β ],r(θ )∈C [α,β ], 则 2 2 ( , ) [ ( )cos , ( )sin ] ( ) ( ) . L f x y ds f r r r r d βα = + θ θ θ θ θ θ ′ θ ∫ ∫
)空间曲线积分 设曲线 x=x(t :{y=y(t)t∈[a,Bl-x(t)y(),=(0)∈C[a, 则 B f(x, y, 2)ds= f[(),y(t), 2(1 n+yi+2t dt
(2)空间曲线积分 设 曲线 (1) ( ) : ( ) [ , ], ( ), ( ), ( ) [ , ], ( ) x x t y y t t x t y t z t C z z t α β α β ⎧ = ⎪ Γ ∈ ⎨ = ∈ ⎪⎩ = 则 2 2 2 ( , , ) [ ( ), ( ), ( )] . t t t f x y z ds f x t y t z t x y z dt β Γ α = + ′ ′ ′ + ∫ ∫
第一类曲面积分 1积分形式, f(x, y, z)ds 积分方法设曲面Σ,方程z=z(x,y),投影区域为D,则 c(=1x:(x,y+2+:do
二、第一类曲面积分 1.积分形式， f x( , y, z ) ds. Σ ∫∫ 积分方法 设曲面 Σ，方程 z = z (x, y), 投影区域为 D，则 2 2 ( , , ) [ , , ( , ) ] 1 . x y D f x y z ds f x y z x y z z d σ Σ = + ′ ′ + ∫∫ ∫∫
、第二类曲线积分 1积分形式 (1)平面曲线设有向曲线L,函数P(x,y),Qx,y),连续, 曲线积分为 P(x, y)dx+o(x, y)dy (2)空间曲线设有向曲线/,函数P(x,y,z,Q(x,yz), R(x,y,功)连续,曲线积分为 P(x,y, z)dx+o(x,y, z)dy+r(x,y, z)dz
三、第二类曲线积分 1.积分形式 (1)平面曲线 设有向曲线 L，函数 P (x, y), Q (x, y )，连续， 曲线积分为 ( , ) ( , ) . L P x y dx + Q x y dy ∫ (2)空间曲线 设有向曲线 Γ，函数 P (x, y, z), Q (x, y, z )， R (x, y, z )连续，曲线积分为 P x( , y, )z dx Q x( , y, )z dy R x( , y, )z dz. Γ + + ∫
2积分方法 1)平面曲线 x=x(t t:a→,x(),y()∈C(1), y=y S, Pdx+ Ody=5(P[x(),(]x +Q[x(0), y(ly ydt
2.积分方法 则 { } [ ] ( ), ( ) [ ( ), ( )] . t t L Pdx Qdy P x t y t x Q x t y t y dt βα + = ′ + ′ ∫ ∫ ( ) (1) ( ) : : , ( ), ( ) , ( ) x x t L t x t y t C I y y t α β ⎧ = ⎨ → ∈ ⎩ = (1)平面曲线
)空间曲线 I:y=y(t)t:a→B,x(t),y(t),z(1)∈C( 「P(x,y:)女+Q(x,y21+R(x,y,)d P[x(,y(t),2z()]x2+Q[x(t),y(t),x() +R[x(t),y(1),2(1)1=1d
(2)空间曲线 (1) ( ) : ( ) : , ( ), ( ), ( ) ( ), ( ) x x t y y t t x t y t z t C I z z t α β ⎧ = ⎪ Γ→∈ ⎨ = ⎪⎩ = 则， ( , , ) ( , , ) ( , , ) { [ ( ), ( ), ( )] [ ( ), ( ), ( )] [ ( ), ( ), ( )] } . t t t P x y z dx Q x y z dy R x y z dz P x t y t z t x Q x t y t z t y R x t y t z t z dt β α Γ + + = +′ ′ + ′ ∫ ∫
四、第二类曲面积分 1积分形式 Pdydz + Odzdx Rdxdy e2积分方法设:z=xx,y),投影区域为D,则 Pdydz+Odzdx+Rdxdy=+RP(=2)+2(=)+Rdo
四、第二类曲面积分 1.积分形式 Pdydz Qdzdx Rdx dy. Σ + + ∫∫ 2.积分方法 设 Σ: z = z (x, y )，投影区域为 D，则 { ( ) ( ) } . x y D Pdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dσ Σ + + = ± − ′ ′ + − + ∫∫ ∫∫
五、基本公式 1格林公式 设D是平面上的有界闭区域,函数P(x,y),Q(x,y)在D 上有连续偏导,则 00 aP P(x, y)dx+o(x, y)dy do 曲线积分与路径无关条件:曲线积分 P(x,)dkx+Q(x,y)d与路径无关soP
五、基本公式 1.格林公式 设D是平面上的有界闭区域，函数P (x, y), Q (x, y)在D 上有连续偏导，则 ( , ) ( , ) . D D Q P P x y dx Q x y dy d x y σ + ∂ ⎛ ⎞ ∂ ∂ + = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∂ ∂ v∫ ∫∫ 曲线积分与路径无关条件：曲线积分 ( , ) ( , ) L Q P P x y dx Q x y dy x y ∂ ∂ + ⇔ = ∂ ∂ ∫ 与路径无关