第二单元 有理函数等一些特殊类型函数的积分
第二单元 有理函数等一些特殊类型函数的积分
本单元要点 利用部分分式,求出有理函数的积分;将一些复杂的 三角函数的积分,经过适当的转换化为有理函数的积 分;简单无理根式的积分
本单元要点 利用部分分式，求出有理函数的积分；将一些复杂的 三角函数的积分，经过适当的转换化为有理函数的积 分；简单无理根式的积分．
本单元教学要求 1掌握有理函数的部分分式分解方法,会将三角函数 的有理式、简单无理根式化为有理函数; 2会求一些有理函数、三角函数的有理式,简单无理 根式的不定积分
本单元教学要求 1.掌握有理函数的部分分式分解方法，会将三角函数 的有理式、简单无理根式化为有理函数； 2.会求一些有理函数、三角函数的有理式，简单无理 根式的不定积分．
本单元的重点与难点 1重点:有理函数的部分分式分解方法 2难点:将三角函数的有理函数,简单无理根式化为有 理函数的方法 教学时数3-4学时
本单元的重点与难点 1.重点：有理函数的部分分式分解方法． 2难点：将三角函数的有理函数，简单无理根式化为有 理函数的方法． 教学时数 3-4学时．
有理函数的不定积分 1有理函数的部分分式分解方法 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具 有如下形式的函数: P() ax+ax a2x+…+a,1X+a o()box+bx+b2-xm+.+bm-x+b 其中m,n为非零整数,a1,b都是实数,且a0≠0,b0≠0
一、有理函数的不定积分 1.有理函数的部分分式分解方法 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具 有如下形式的函数： ( ) ( ) 1 2 0 1 2 1 1 2 0 1 2 1 , n n n n n m m m m m P x a x a x a x a x a Q x b x b x b x b x b − − − − − − + + + + + = + + + + + " " 其中m n, 为非零整数，a bi j , 都是实数，且 0 0 a b ≠ 0, ≠ 0
有理函数可以分解成多项式与若干个部分分式只和 有理函数的原函数都是初等函数,它们一定可以通过有 理函数、对数函数、反正切函数表出 假设多项式P(x)Q(x)之间没有公因式,且P(x)的 次数小于Q(x)的次数,此时称该有理函数为真分式 而P(x)的次数大于或等于Q(x)的次数,此时称该有理 函数为假分式.利用多项式的除法,可将一个假分式化 为一个多项式之和的形式
有理函数可以分解成多项式与若干个部分分式只和， 有理函数的原函数都是初等函数，它们一定可以通过有 理函数、对数函数、反正切函数表出． 假设多项式 之间没有公因式，且 的 次数小于 的次数，此时称该有理函数为真分式； 而 的次数大于或等于 的次数，此时称该有理 函数为假分式．利用多项式的除法，可将一个假分式化 为一个多项式之和的形式． P ( x Q), , ( x ) Q x( ) P ( x ) P( ) x Q x( )
由代数学知道,多项式Q(x)总可以在实数范围内分 解成一次因式与二次因式的乘积,即: Q(x)=b1(x-a)0(x-b)(x2+p+g)…(x2+rx+s 其中p2-4g<0,…y2-4<0,因此有理函数中的真分 式可以分解成若干个部分分式之和
由代数学知道，多项式 总可以在实数范围内分 解成一次因式与二次因式的乘积，即： Q x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 Q x b x a x b x px q x rx s , α β λ µ = − " " − + + + + 其中 因此有理函数中的真分 式可以分解成若干个部分分式之和： 2 2 p q −4 0 < − ," r 4s < 0
P o(x)(x-a)(x-a) X-a B B B Mx+n ∴ 。(x-b)(x=b x-b t px t q Mx+w Mx+N 2 x t px+ g x+ px+ Rx+ Rx+s Rx+ x2+rxt +rx + s x+rx+s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 . P x A A A Q x x a x a x a B B B M x N x b x b x b x p x q M x N M x N x p x q x p x q R x S R x S R x S x rx s x rx s x rx s α α α β β β λ λ λ λ µ µ µ µ − − − − = + + + + − − − + + + + + + − − − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + " " " " " " "
其中A,…B,M,N…R,S等都是需要确定的常数, 它们可以通过下面方法确定: 方法一:将部分分式通分后,再比较分子系数,通过解 方程组确定系数:例如 x+3 x+3 B x2-5x+6(x-2)(x-3)x-2x-3 A(x-3)+B(x-2)(4+B)x-3A-2B (x-2)(x-3)(x-2)(x-3) 比较分子系数,得方程组:
其中 等都是需要确定的常数， 它们可以通过下面方法确定： , , , , , Ai j B Mi Nj Ri j " " S 方法一：将部分分式通分后，再比较分子系数，通过解 方程组确定系数：例如 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 3 3 5 6 2 3 2 3 3 2 3 2 , 2 3 2 3 x x A B x x x x x x A x B x A B x A B x x x x + + = = + − + − − − − − + − + − − = = − − − − 比较分子系数，得方程组：
A+B=1 →A B=6. -(3A+2B) x+3 6 即 x2-5x+6x-2 方法二:部分分式通分后,在分子恒等式中代入特殊的 值从而确定常数:例如 A B +Bx+Cxlx XIx
( ) 1 , 5, 6. 3 2 3 A B A B A B ⎧ + = ⎨ ⇒ = − = − + = ⎩ 即： 2 3 5 6 . 5 6 2 3 x x x x x + = − + − + − − 方法二：部分分式通分后，在分子恒等式中代入特殊的 值从而确定常数：例如 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 , 1 1 1 1 A B C A x Bx Cx x x x x x x x x − + + − = + + = − − − −
