第四单元 函数的极值、最大值与最小值
第四单元 函数的极值、最大值与最小值
本单元的内容要点 1函数的极值与极值点的定义 若存在点x的去心领域U(x0),使得vx∈U(x,06) e有f(x)>f(x)f(x)<f(x),则称∫(x)是f(x)的 个极大(小)值,x是f(x)的极大(小)值点 2函数的极值的判别法 必要条件:若函数f(x)在x处可导,且在x处取得极值 则f(x)=0
一、本单元的内容要点 1.函数的极值与极值点的定义 若存在点 x 0的去心领域 ，使得 ∀ x 0 ∈ 有 ，则称 f (x 0 ) 是 f (x )的一 个极大 ( 小 )值， x 0 是f (x )的极大 ( 小 )值点． 0 U x( , δ ) D 0 U x( , δ ) D 0 0 f ( ) x > < f ( x ) ( f ( x ) f ( x ) ) 2.函数的极值的判别法 必要条件：若函数 f (x ) 在 x 0处可导，且在 x 0处取得极值 则 ． 0 f x ′( ) = 0
充分条件 第一充分条件若x∈(x0-8,x)时,f(x)>0(0),则f(x)是极大(小)值; 若f(x)不变号,则∫(x)不是极值 o第二充分若f(x)=0,f(x)≠0,则x为极值点 当f(x)>0,f(xo)为极小值;当f(x)<0,f(xo) 为极大值
充分条件 第一充分条件 若x∈(x0-δ, x0)时， ， x∈(x0, x0+ δ)时， ，则 f (x)是极大(小)值； 若 不变号，则 f (x0)不是极值． f x ′( ) > 0) f ′( ) x 第二充分 若 ， ，则x0为极值点． 当 ，f (x0)为极小值；当 ，f (x0) 为极大值． 0 f x′( ) =0 0 f x ′′( ) ≠0 0 f x ′′( ) >0 0 f x ′′( )<0
3最大值与最小值 1)某些优化问题可归结为求函数f(x)在区间I上的最大值 与最小值.而由闭区间上连续函数的性质知:在闭区间 上的连续函数一定可取到最大值和最小值.问题是如何 求出闭区间,b上函数f(x)的最大值和最小值.先将求 解此问题的一般步骤表述如下: ①求出f(x)在(a,b)内的全部驻点和不可导点x1,x2,…,xn; ②计算函数值f(x1f(x2),…,f(xn)及f(a),f(b);
3.最大值 与最小值 ⑴某些优化问题可归结为求函数f (x)在区间I上的最大值 与最小值．而由闭区间上连续函数的性质知：在闭区间 上的连续函数一定可取到最大值和最小值．问题是如何 求出闭区间[a, b]上函数f (x)的最大值和最小值．先将求 解此问题的一般步骤表述如下： ①求出f (x)在(a, b)内的全部驻点和不可导点x1, x2, …, xn; ②计算函数值 f (x1), f (x2), …, f (xn)及f (a), f (b);
③则函数f(x)在区间(a,b)上的最大值M和最小值m由下 面计算公式得到: M=max f(x)=max(f(x),(x,),f(r,), f(a), f(b) x∈a m= min f(x)=min(f(x),f(x2), f(r, ), f(a),f(b) x∈[a,b] (2)有关最大值和最小值的应用问题,其关键是建立目 标函数,该函数的实际意义下的定义域称为约束域或 可行域
③则函数f (x)在区间(a, b)上的最大值M和最小值m由下 面计算公式得到： { 1 2 } [ , ] max ( ) max ( ), ( ), , ( ), ( ), ( ) , n x a b M f x f x f x f x f a f b ∈ = = " { 1 2 } [ , ] min ( ) min ( ), ( ), , ( ), ( ), ( ) . n x a b m f x f x f x f x f a f b ∈ = = " ⑵有关最大值和最小值的应用问题，其关键是建立目 标函数，该函数的实际意义下的定义域称为约束域或 可行域．
若f(x)在约束集/内有唯一的驻点,又根据问题的实际 意义知∫f(x)的最大(小)值存在,则该驻点即为最大(小)值 不必另外讨论
若 f (x)在约束集I内有唯一的驻点，又根据问题的实际 意义知 f (x)的最大(小)值存在，则该驻点即为最大(小)值 不必另外讨论．
本单元的教学要求 1理解函数的极值概念,掌握求函数极值的方法; 2会求闭区间上可导函数的最大最小值; 3会利用函数单调性与函数图形的凹凸性求函数的极值 和解决有关最大值与最小值的应用问题; 4根据实际问题,会建立目标函数与约束集,从而解决 有关的优化问题
二、本单元的教学要求 1.理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法； 2.会求闭区间上可导函数的最大最小值； 3.会利用函数单调性与函数图形的凹凸性求函数的极值 和解决有关最大值与最小值的应用问题； 4.根据实际问题，会建立目标函数与约束集，从而解决 有关的优化问题．
本单元教学的重点与难点 1.正确理解函数的极值与最大值、最小值这两个不同 的概念,以及相互间的关系; 2正确理解函数的极值点与驻点的概念,特别要注意 的是:驻点是相对于可导函数而言,只有可导函数的极 值点才是驻点,而可导函数的驻点是可疑极值点; 3掌握用多种方法去求函数的极值,但要注意的是, 用求导的方法来讨论函数的极值仅仅是充分而不是必要 条件
三、本单元教学的重点与难点 1.正确理解函数的极值与最大值、最小值这两个不同 的概念，以及相互间的关系； 2.正确理解函数的极值点与驻点的概念，特别要注意 的是：驻点是相对于可导函数而言，只有可导函数的极 值点才是驻点，而可导函数的驻点是可疑极值点； 3.掌握用多种方法去求函数的极值，但要注意的是， 用求导的方法来讨论函数的极值仅仅是充分而不是必要 条件．
本单元课时安排2~3课时
本单元课时安排 2 ∼ 3课时．
函数的极值及其求法 定义设函数的定义域为D,x0∈D,若存在x的某个空 心领域U(x26)<D,使得对于该空心领域中的一切x 都有 f(x)≤f(x)((x)≥f(x) 就称f(x)是函数f(x)的一个极大值(或极小值) 值得注意的是,对函数f(x)而言,极大值和极小值可 能存在多个,并且相互之间不存在一定的大小关系
函数的极值及其求法 定义 设函数的定义域为 D， x 0 ∈ D，若存在 x 0的某个空 心领域 ⊂D，使得对于该空心领域中的一切 x， 都有 0 U x( , δ ) D f ( x ) ≤ ≥ f ( x0 0 ) ( f ( x ) f ( x ) ), 就称 f (x 0 )是函数f (x )的一个极大值 (或极小值 )． 值得注意的是，对函数 f (x )而言，极大值和极小值可 能存在多个，并且相互之间不存在一定的大小关系．