习题课 本章要点 数项级数及审敛法 ⊙二、幂级数 三、傅立叶级数
习题课 本章要点 一、数项级数及审敛法 二、幂级数 三、傅立叶级数
数项级数及审敛法 1数项级数及收敛性 设数项级数∑an部分和S=∑4,若部分和收 n=1 敛,即极限ms=∑4=存在,则称级数收敛,并记 k=1 n=1
一、数项级数及审敛法 1.数项级数及收敛性 敛，即极限 存在，则称级数收敛，并记 设数项级数 ，部分和 ，若部分和收 1 n n a ∞ = ∑ 1 n n k k s a = = ∑ 1 lim n n k n k s a s →∞ = = ∑ = 1 . n n a s ∞ = ∑ =
2正项级数及审敛法 1)比较判别法及极限形式 设正项级数∑n及∑vn且l1≤V,则若∑v收敛 n=1 6→∑n收敛;若∑发散,则∑v发散 设正项级数∑及∑vn,若im=1≠0,则级数 有相同的收敛性
2.正项级数及审敛法 1)比较判别法及极限形式 ⇒ 收敛；若 发散，则 发散。 设正项级数 及 且 ，则若 收敛 1 n n u ∞ = ∑ 1 n n v ∞ = ∑ n n u v ≤ 1 n n u ∞ = ∑ 1 n n v ∞ = ∑ 1 n n u ∞ = ∑ 1 n n v ∞ = ∑ 设正项级数 及 ，若 ，则级数 1 n n u ∞ = ∑ 1 n n v ∞ = ∑ lim 0 n n n u l →∞ v = ≠ 有相同的收敛性
设正项级数∑vn及∑,若m=0,且级数 n=1 ∑vn收敛,则级数∑vn收敛;若lm=+且级数 ∑v发散,则级数∑u发散
设正项级数 及 ，若 ，且级数 1 n n u ∞ = ∑ 1 n n v ∞ = ∑ lim 0 n n n u →∞ v = 收敛，则级数 收敛；若 且级数 1 n n v ∞ = ∑ 1 n n u ∞ = ∑ lim , n n n u →∞ v = +∞ 发散，则级数 发散。 1 n n v ∞ = ∑ 1 n n u ∞ = ∑
2)比值判别法 正项级数∑n,若ImH=p,则p1,级数发散。 3)根值法 正项级数∑Ln,若m4=p,则p1,级数发散
2)比值判别法 正项级数 ，若 ，则ρ1，级数发散。 3)根值法 正项级数 ，若 ，则ρ 1，级数发散
3交错级数及收敛性 交错级数∑(-1)an满足:(1)a1单调下降, (2) lim a=0,则级数收敛。 4绝对收敛及条件收敛 对级数∑n,若级数∑n|收敛,则称级数是绝对 收敛的,若级数∑n收敛,而级数∑xn发散,则 称级数是条件收敛的
3.交错级数及收敛性 交错级数 满足：(1) an单调下降， 1 1 ( 1)n n n a ∞ − = ∑ − lim 0 n n a → ∞ (2) = ，则级数收敛。 4.绝对收敛及条件收敛 对级数 ，若级数 收敛，则称级数是绝对 1 n n u ∞ = ∑ 1 n n u ∞ = ∑ 收敛的；若级数 收敛，而级数 发散，则 1 n n u ∞ = ∑ 1 n n u ∞ = ∑ 称级数是条件收敛的
若∑n绝对收敛,则 (1)∑un收敛,且∑ln=∑l-∑un; (2)级数∑n的更序级数也收敛,且和不变
若 绝对收敛，则 1 n n u ∞ = ∑ (1) 收敛，且 ； 1 n n u ∞ = ∑ 1 1 1 n n n n n n u u u ∞ ∞ ∞ + − = = = ∑ = − ∑ ∑ (2)级数 的更序级数也收敛，且和不变。 1 n n u ∞ = ∑
二、幂级数 1幂级数的收敛半径 设幂级数∑anx",收敛半径为R 1比值法:若limP=p,则R=n。 2)根值法:若 lim va|=p,则R=
二、幂级数 1.幂级数的收敛半径 设幂级数 ，收敛半径为R， 0 n n n a x ∞ = ∑ 1)比值法：若 lim n 1 , 则R= 。 n n a a ρ + → ∞ = 1 ρ 2)根值法：若 lim n n ，则R= 。 n a ρ → ∞ = 1 ρ
42幂级数的运算 设幂级数∑ax及∑bx,收敛半径分别为R1和 R2,令R=min{R,R2},则当x<R时,两级数均为绝对 收敛,且有 ∑b2x2=∑(an±bn) ∑ax”∑bx=∑∑
2.幂级数的运算 设幂级数 及 ，收敛半径分别为R1和 0 n n n a x ∞ = ∑ 0 n n n b x ∞ = ∑ R2，令R=min{R1, R2}，则当|x|<R时，两级数均为绝对 收敛，且有： ( ) 0 0 0 n n n n n n n n n n a x b x a b x ∞ ∞ ∞ = = = ∑ ∑± = ∑ ± 0 0 0 n n n n n i j n n n i j n a x b x a b x ∞ ∞ ∞ = = = + = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ d n+1 ∑qx|=∑(ax)=∑n na x
1 0 0 0 0 0 1 . 1 x x n n n n n n n n n a x dx axdx a x n ∞ ∞ ∞ + = = = ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ∫ ∫ ∑ ∑ ∑ ( ) 1 0 0 1 . n n n n n n n n n a x a x n a x ∞ ∞ ∞ − = = = ′ ⎛ ⎞ ′ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑