41.设随机变量X~N(5,22),且P(X>c)=P(X≤c求c的值 又若P(Xc)=1-P(X≤c) 又P(X>c)=P(X≤c) 1-P(X≤c)=P(X≤c) P(X≤c)=0.5且 c-5 )=0.5,查表知 0 2 c=5,而P(X<c)=0.9 a a-5 )=0.9,查表知 1.28 2 a=7.85
4.1. 设随机变量 ，且 ，求 c 的值； 又若 ，求 a 的值. 解： 2 X ~ N( , ) 5 2 P( X c ) P( X c ) >= ≤ P( X a ) . =− ≤ >= ≤ ∴ − ≤= ≤ ∴ ≤ = − − Φ = ∴ = < = − − Φ = ∴ = ∵ 又 且 即（ ） = . 查表知 而 （ ）= . 查表知
42.设机变量X~N0,1),借助标准正态分布表计算下列概率 PX176=1-P(X≤1.76)=1-d1.76)=0.0392 3)PX<-1.79)=dX-1.79)=1-Φ1.79=00367 (4)PXk.55=P(-1.55<X<1.55)=1.5-4(-1.55) 2Φ1.55)-1=0.8788
4.2. 设机变量 X ~ N( , ) 01 ，借助标准正态分布表计算下列概率. ( ) P(X . ); ( ) P(X . ); ( ) P(X . ); ( ) P( 1 22 2 176 3 179 4 155 <> = − ≤ = −Φ = <− =Φ − = −Φ = < = − < < =Φ −Φ − = Φ −= 解：
43.设随即变量X~N(-1,16),借助标准正态分布表计算下列概率 1)P(1)P(X-1.5);(3)PXk4) (4)P(-5-15)=1-P(X≤-15)=0.5478 3)PXK4)=P(-4<X<4)=(4)-d(-4)=0.668 (4)P(-5<X<2)=①)(2)-Φ(-5)=0.6147
4.3. 设随即变量 X ~ N( , ) −1 16 ，借助标准正态分布表计算下列概率. 1 1 2 44 2 1 5 3 4 45 2 ( ) P( ) P( X . ) ; ( ) P( X . ) ; ( ) P(| X | ) ; ( ) P( X ) . − − = − ≤− = < = − =Φ −Φ − = − < < =Φ −Φ − = 解： ∵
44.测量某一目标的距离时,测量误差X~N(0.402)(单位:m) (2)求测量误差的绝对值不超过30m的概率; (3)若做三次独立测量,求至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率 解: PX30/=0/30X-030 < 404040 Φ(0.75)-Φ(-0.75)=2Φ(0.75)-1=0.5468 (2)设A1=“第1次测量误差绝对值不超过30cm,则所求概率为 P=P(UA1)=1-P∩4,)=1-P∩4, =1-P(A1P(A2)P(A3)=1-[PXp30 =1-[1-P(X30=1-(1-05468)2=09069
4.4. 测量某一目标的距离时，测量误差 （单位：m）， （2）求测量误差的绝对值不超过30m的概率； （3）若做三次独立测量，求至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率. 2 X N 0 40 ~ (, ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) 3 111 3 123 3 3 30 0 30 1 30 40 40 40 0 75 0 75 2 0 75 1 0 5468 2 1 1 1 1 30 1 1 30 1 1 0 5468 0 9069 n n iii iii . X P(| X | ) P (. ) ( . ) (. ) . p P( A ) P( A ) P( A ) P( A )P( A )P( A ) P(| X | ) P(| X | ) . . === ⎛ ⎞ − ≤ =−≤ ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ =Φ −Φ − = Φ − = = =− =− = − =− > =− − ≤ =− − = ∪∩∩ 设 A i = “第 i 次测量误差绝对值不超过 30 cm”，则所求概率为 解：
4.5.设成年男子身高Ⅹ~N(170,102)(单位:cm) (1)求成年男子身高大于160cm的概率; (2)公共汽车车么门应设计多高才能使男子碰头的机会小于005 解 (1)P(X>160)=1-P(X≤160)=1-160-170 0.8413; 10 (2)设车门应设计的高度为hcm,则 P(X>h)0.95,即/h-170) >0.95,h=186cm 10
4.5. 设成年男子身高 （单位：cm） (1) 求成年男子身高大于 160 cm 的概率； (2) 公共汽车车么门应设计多高才能使男子碰头的机会小于 0.05 . 2 X ~N (170,10 ) ,.)( ,. . .)( .)( )( h cm, 则 )()()( ;. cmh h hXP hXP hXP XP XP 0 18695 10 170 0 95 0 05 1 0 05 2 0 8413 10 170160 1 160 1 160 1 ÷ => ⎠⎞ ⎜⎝⎛ − >≤ ÷= ⎠⎞ ⎜⎝⎛ − −=≤−=> Φ Φ 即 设车门应设计的高度为 解：
4.6.加工某种零件,若采用工艺A,则完成时间X~N(40,102);若采 用工艺B,则完成时间Ⅹ~N(50,42)(单位:min)·问: (1)若允许加工在60min内完成,应选何种工艺? (2)若允许加工在50min内完成,应选何种工艺? 解 (1)P4(X<60)=/60-40=①(2)=0.972, 10 a(X<60)=1/60-50 (2.5)=0.9938故采用工艺B 4 (2)P4(X<50)=/S0-40 ①(1)=0.8413, 10 P2(X<50)=/s0-50 Φ(0)=0.5.故采用工艺A
4.6. 加工某种零件，若采用工艺 A ，则完成时间 ；若采 用工艺 B ，则完成时间 （单位：min）. 问： (1) 若允许加工在 60 min 内完成，应选何种工艺？ (2) 若允许加工在 50 min 内完成，应选何种工艺？ 2 X N 50 4 ~( , ) 2 X N 40 10 ~( , ) )( ..)( . )()( ,.)( )( ..).( . )()( ,.)( XP A XP XP B XP B A B A 故采用工艺 故采用工艺 解： 500 4 5050 50 01 8413 10 4050 2 50 052 9938 4 5060 60 02 9772 10 4060 1 60 ÷ ==⎠⎞ ⎜⎝⎛ − =< ÷ ==⎠⎞ ⎜⎝⎛ − =< ÷ ==⎠⎞ ⎜⎝⎛ − =< ÷ ==⎠⎞ ⎜⎝⎛ − =< Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
47设X1,X2y…,Xn相互独立,都服从正态分布N(A,02), 证明:Y=∑X~Nnn 证明:由题意X2~(H,σ2),E(X1)=,D(X)=σ.则 E(Y)=E(∑X1)=-∑E(X1)=A, n i=1 n i=1 D()=D( 1s xi ∑D(X) n 所以,F1 X~N(,)
.,~ ,...,,. ,( ), ⎜⎜⎝⎛ = ∑= NX n Y XXX N n i i n 1 2 21 1 4.7 μ σμ 证明： 设 相互独立，都服从正态 分布 2 n σ ⎞⎟⎠ , ,(~ ). .)()()( ,)()()( .)(,)(),(~ n NX n Y n XD n X n DYD XE n X n EYE X XDXE n i i n i i n i i n i i n i i i i i 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 σ μ σ μ σμ μ σ ∑ ∑∑ ∑∑ = = = = = = = = = = = = = = 所以 证明：由题意 ， 则
4.8.设X~N(1,2),Y~N(10,1)且X与Y独立.令Z=2XY+3,求E(Z),D(Z), 并写出Z的概率密度. X~N(1,2),Y~N(10,1) 解: E(X)=1,D(Ⅹ)=2,E(Y)=10,D(Y)=1 又X与Y相互独立 E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=-5,D(Z)=4D)+D(Y)=9 Z~N(-5,9) 49.设随机变量X~N(0,1),F=X",求X与Y的协方差 A*:COV(X, Y)=E(XY)-E(XE() =E(rm)j0,n为奇数 lnl!,n为偶数
4.8. 设 X～N(1,2),Y～N(10,1)且X与Y独立. 令 Z=2X-Y+3，求 E(Z),D(Z), 并写出 Z 的概率密度. X~N(1, 2) Y~N(10, 1) E X 1 D X 2 E Y 10 D Y 1 E Z 2E X E Y 3 5 D Z 4D X D Y 9 Z N 59 , () , () ,() , () () ( ) ( ) , () ( ) ( ) ~ ( , ). 解： ∴ === = ∴ = − + =− = + = ∴ − ∵ 又 X 与 Y 相互独立 4.9. 设随机变量 (0 1 ) ，求 X 与 Y 的协方差. n X ~N , ,Y X = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 n n!! n n cov X ,Y E XY E X E Y , E X , + = − ⎧ = = ⎨ ⎩ 为奇数， 为偶数. 解：
410.设X~N(,2),求Y=e的概率密度(称为对数正态分 布) 解: X~N(,a2),:f(x) e 2兀 所以Y的分布函数为: FY(y)=P(Y0 (y)=√2oy y≤0
对分布函数求导得概率密度： ( ) ( ) 2 2 2 1 0 2 0 0 ln y Y e ,y f y . y , y μ σ πσ − ⎧ − ⎪⎪ > = ⎨ ⎪ ≤ ⎪⎩ () ( ) ( ) ( ) ( ) X Y P X lny F lny y 0 F y P Y y =P e y 0 , y 0 ⎧ ≤ = ≥ , ⎪ = ≤ ≤= ⎨ ⎪ ≤ ⎩ 4.10. 设 ,求 的概率密度（称为对数正态分 布）. 解： ( ) 2 X X ~N , Y e μ σ = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 x X~N , , f x e . X μ σ μ σ − − ∵ ∴ = 2πσ 所以 Y 的分布函数为：
2uX 41设xN(∠,口2),Y=e2,求E(Y) 解: 2-2X 2u X E(Y=E e 丌O +00 dx令t X +00 e 2 dt=1
4.11. 设 求 . 解： ( ) ( ) 2 2 2 X 2 2 X N Y e EY ~, , , μ μ σ μ σ − = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 X x - 2 X 2 2 2 x 2 t 2 1 EY Ee e e 2 1 x e t = 2 1 e t1 2 dx dx d . μ μ μ μ μ σ σ σ σ πσ πσ σ πσ − − − +∞ −∞ − − +∞ −∞ − +∞ − −∞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = ∫ ∫ ∫ i 令
