第二章小结 §1随机变量 §2离散型随机变量及其分布律 §3随机变量的分布函数 §4连续型随机变量及其概率密度 §5随机变量的函数的分布 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 第二章小结 §1 随机变量 §2 离散型随机变量及其分布律 §3 随机变量的分布函数 §4 连续型随机变量及其概率密度 §5 随机变量的函数的分布
主要内容 随机变量的定义 如果对于试验的每一个可能结果,也就是一个样本点e, 都对应着一个实数Y(e),而Xe)又是随试验结果的不同而变化 的一个变量,则称它为随机变量。 二、离散型随机变量及其分布律 (-)定义 所有可能的取值只有有限个或可列无限多个。 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 主 要 内 容 一、随机变量的定义 如果对于试验的每一个可能结果，也就是一个样本点e， 都对应着一个实数X(e)，而X(e)又是随试验结果的不同而变化 的一个变量，则称它为随机变量。 二、离散型随机变量及其分布律 所有可能的取值只有有限个或可列无限多个。 （一）定义
(二)离散型随机变量的分布律 设随机变量X所有可能的取值为 15~299n 且取每一个可能值的概率为 P{X=x}=P1i=1, 称(*)式为随机变量X的概率分布(或称为分布律)。 (*)式也可表为xx1x2 分布列 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 （二）离散型随机变量的分布律 分布列 设随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , , xn , 且取每一个可能值的概率为 P X = xi = pi { } i = 1,2, 称（*）式为随机变量X的概率分布（或称为分布律）。 （*） （*）式也可表为 n n P p p p X x x x 1 2 1 2
(三)几种重要的离散型随机变量 (1)(0-1)分布 设随机变量X所有可能的取值为0和1,其分布律为 P{X=k}=p(1-p)kk=0,1(0<p<1) 或写为X0 PI-P p 则称X服从参数为p的(01)分布。 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 （三）几种重要的离散型随机变量 （1） （0—1）分布 设随机变量X所有可能的取值为0和1，其分布律为 k k P X k p p − = = − 1 { } (1 ) k = 0,1 (0 p 1) 或写为 P p p X 1− 0 1 则称X服从参数为p的（0—1）分布
(2)二项分布 若随机变量X的分布律为 P(X=6)=(8p0(1-p)k=012,n 则称随机变量X服从参数为n,P的二项分布,记为 X 特别,当n=1时的二项分布为 X01 0-1分布=二 B(1,p)广 P 1
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 k n k p p k n P X k − − ( = ) = (1 ) k = 0,1,2, ,n 则称随机变量 X 服从参数为 n, p 的二项分布， X ~ B(n, p) 记为 特别，当n =1时的二项分布为 0 −1分布 B(1, p) （2）二项分布 若随机变量X的分布律为 P p p X 1− 0 1
(3)泊松分布 若随机变量X的分布律为 e PIX=k= k=0,1,2,3, Kl 其中λ>0,则称随机变量X服从参数为入的泊松分布。记为 X~(λ)或X~P(x 定理(泊松定理)设随机变量X~B(n,p)(p∈(0,1)并与n有关 且满足Iim即=,则 n lim P(X=k)=lim,lpq" e,k=0,1,2, n→0 n→ 大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 （3） 泊松分布 若随机变量X的分布律为 ! { } k e P X k k − = = k = 0,1,2,3, 则称随机变量X服从参数为 的泊松分布。记为 X ~ () X ~ P() 其中 0 ， 或 定理(泊松定理) 设随机变量X ~ B(n, p)( p(0,1)并与n有关)， 且满足 = ， 则 → np n lim 0,1,2, ! lim ( ) lim = = = = − − → → e k k p q k n P X k k k n k n n
随机变量的分布函数 1、分布函数的定义 设X一个随机变量,x为任意实数,函数 F(x)=P{X≤x} 称为随机变量X的分布函数。 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 1、分布函数的定义 设X为一个随机变量，x为任意实数，函数 F(x) = P{X x} 称为随机变量X的分布函数。 三、随机变量的分布函数
2、分布函数的性质 (1)F(x)为单调不减函数。即对任意x1≤x2,都有 F(x1)≤F(x2) (2)0≤F(x)≤1,且有 F(oo=lim F(x)=0 F(+oo)= lim F(x) x→》+0 (3)F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的。 (4)Pla<xsb =F(b-F(a) PX=a=F(a-F(a-0 P{≤X≤b}=F(b)-F(a-0) PasX<b=F(b-0)-F(a 广东工业大 Plasx<b=F(b-0-F(a-o
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 2、分布函数的性质 （1） F(x) 为单调不减函数。即对任意 x1 x2 ，都有 ( ) ( ) F x1 F x2 （2） 0 F(x) 1 ，且有 (−) = lim ( ) = 0 →− F F x x (+) = lim ( ) = 1 →+ F F x x （3） F(x + 0) = F(x) ，即 F(x) 是右连续的。 P{a X b} = F(b) − F(a) P{X = a} = F(a) − F(a − 0) （4） P{a X b}= F(b) − F(a − 0) P{a X b} = F(b − 0) − F(a) P{a X b} = F(b − 0) − F(a − 0)
3、离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量的分布律为 PX=X=p i=1,2, Xx x2 春 n 则X的分布函数为 F(x)=PX≤x=∑PX=x}=∑ x≤x xis 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 设离散型随机变量的分布律为 P X = xi = pi { } i = 1,2, 或 n n P p p p X x x x 1 2 1 2 3、离散型随机变量的分布函数 则X的分布函数为 ( ) { } { } = = = x x i i F x P X x P X x = x x i i p
四、连续型随机变量及其密度函数 (一)密度函数及其性质 1、定义 如果对于随机变量λ的分布函数F(x),存在非负函数f(x), 使得对任意实数x,都有 F(x)=f(t)dt 则称为连续型随机变量,其中∫(称为的概率密度函数 简称为密度函数、密度或概率密度记为X~f(x) X F(x) F(x)=P{X≤x ∫(x) 面积 广东工业大
广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 0 x x 面 积 1、定义 如果对于随机变量X的分布函数 F(x) ，存在非负函数 f (x) ， 使得对任意实数x，都有 F x f t dt x − ( ) = ( ) 则称X为连续型随机变量，其中 f ( 称为 x) X的概率密度函数， 简称为密度函数、密度或概率密度。 f (x) F(x) = P{X x} 记为 X ~ F(x) X ~ f (x) 四、连续型随机变量及其密度函数 （一） 密度函数及其性质