2.1.一袋装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只球,以X表 示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的概率分布 解: 4 C3C1 C4C p(x) P(x)0 0.3 0.6
2.1. 一袋装有5只球，编号为1，2，3，4，5 .在袋中同时取3只球，以X表 示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的概率分布. 解： X 3 4 5 0.1 0.3 0.6 )x(p )x(p 1 1 3 5 C C 2 1 3 1 3 5 C C C 2 1 4 1 3 5 C C C
2.2.已知一批产品共20个,其中有4个次品,按两种方式抽样: (1)不放回抽样,抽取6个产品,求抽得的次品数X的概率分布; (2)放回抽样抽取6个产品,求抽得的次品数Y的概率分布 解:(1)不放回抽样(服从超几何分布)H(n,m,N)),n=6,N=20,m=4. P(x)0.20660.4508028170057800031 其中, p(x)= CCoA ,x=1,2,3,4 20 (2)放回抽样(服从二项分布B(n,p)),n=6,p=M/N=0.2 Y P(y) 210260.39320.24580.08190.0154000150.0001 p(y)=C(0.2)(-0.2),y=0,2,3,4,5,6
2.2. 已知一批产品共20个，其中有4个次品，按两种方式抽样： （1）不放回抽样，抽取6个产品，求抽得的次品数X的概率分布； （2）放回抽样抽取6个产品，求抽得的次品数Y的概率分布. 解：（1）不放回抽样 (服从超几何分布）H(n,m,N)) ,n=6 ,N=20,m=4. X 0 1 2 3 4 0.2066 0.4508 0.2817 0.0578 0.0031 其中， （2）放回抽样（服从二项分布 B ( n ,p )）,n = 6 ,p = M / N = 0.2 . Y 0 1 2 3 4 5 6 210.26 0.3932 0.2458 0.0819 0.0154 0.0015 0.0001 )x(p 6 4 16 6 2 0 ( ) , 1, 2, 3, 4 . x x C C p x x C − = = ( )( ) .,,,,,,y,..C)y(p y y y 20120 6543210 6 6 = − = − (p y )
2.3.对某一目标进行射击,直到击中为止,若每次射击命中率为p,求射击次数的 概率分布 解:X表示射击次数,显然,X的可能的取值是1,2,3 设 Ak={第发击中},k=1,2,3 P(X=1)=P(A1)=p; P(X=2)=P(A1A2)=(1-p)P; P(X=3)=P(A1A2A3)=(1-Pp)P;以此类推 所以,X的概率函数为: P(X=k)=P(A1A2…4k-1Ak)=(1-p)p,k=1,2,3
2.3. 对某一目标进行射击，直到击中为止，若每次射击命中率为 p，求射击次数的 概率分布 . 解: X 表示射击次数，显然，X 的可能的取值是 1,2,3 … 设 ,,k}k{A ,... k = 第 发击中 ， = 321 AA(P)kX(P ... ,,kp)p()AA ,... X ;p)p()AAA(P)X(P ;p)p()AA(P)X(P ;p)A(P)X(P k kk 1 321 3 1 2 1 1 1 21 1 2 321 21 1 == −= = == −= == −= === − − ， 所以， 的概率函数为： 以此类推 …
2.4.某射手有5发子弹,连续射击直到击中或子弹用尽为止,每次射击击中率为 0.9,求耗用的子弹数X的概率分布 解 P(X=k)=(0.10.9,k=1,2,3,4 (第5次射击有两种情况:子弹用完但未击中或击中,都是前4次未击中),因此 P(X=5)=(0.1)4 25.设随机变量X的概率函数为:P(X=k)=a k=1.2.3.4 其中>0为常数,试确定常数a (这道题并没有说明是泊松分布,故不能用泊松分布去求解) 解 ∑P(X=k)=∑a,=me2,(注:e2=∑ k=0k! k=0 k/ 已知∑P(X=k)=1,所以 k=0
2.4. 某射手有 5 发子弹，连续射击直到击中或子弹用尽为止，每次射击击中率为 0.9 ，求耗用的子弹数X的概率分布 . 解： 2.5. 设随机变量X的概率函数为： 其中 为常数，试确定常数 a . （这道题并没有说明是泊松分布，故不能用泊松分布去求解 ） 解： k P (X = k)= a , k 1, 2,3,4, k ! λ = λ> 0 k 1 P (X k ) (0.1) 0.9 , k 1, 2, 3, 4, − = = = 4 P (X 5 ) (0.1) . = = ) !k e(,ae !k a)kX(P k k k k k ∑∑ ∑ +∞ = +∞ = +∞ = === = 0 0 0 λ λ λ λ 注： .ea,)kX(P k − λ +∞ = 已知 ∑ == 1 所以 = 0 (第5次射击有两种情况：子弹用完但未击中或击中,都是前4次未击中),因此
26.一大楼装有5个同类型的供水设备.调查表明在任一时刻t,每个设备被使用 的概率为0.1,且各个设备的使用是相互独立的.求在同一时刻被使用的设备 数的概率分布,并求在同一时刻: (1)恰有两个设备被使用的概率;(2)至少有3个设备被使用的概率; (3)最多有3个设备被使用的概率;(4)至少有1个设备被使用的概率 解:设X表示被使用的设备数,X~B(5,0.1),则X的概率函数: 2 4 P(x)0.59050.32810072900081000045000001 其中,p(x)=P(X=x)=C5(0.1)(0.9),x=0,1,2,3,4,5 (1)p(2)=0.0729 (2)∑p(x)=0081+0004510001-006 (3)∑p(x)=0.5905+0.3281+00729+0.0081=0.9954; x=0 (4)∑p(x)=1-p(0)=1-0.5905=0.4095 x=1
2.6. 一大楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明在任一时刻t，每个设备被使用 的概率为0.1，且各个设备的使用是相互独立的. 求在同一时刻被使用的设备 数的概率分布，并求在同一时刻： （1）恰有两个设备被使用的概率； （2）至少有3个设备被使用的概率； （3）最多有3个设备被使用的概率；（4）至少有1个设备被使用的概率 . 解：设X表示被使用的设备数，X～B(5,0.1)，则X的概率函数： X 0 1 2 3 4 5 0.5905 0.3281 0.0729 0.0081 0.00045 0.00001 其中， .,,,,,x,).().(C)xX(P)x(p x x x 5432109010 5 === 5 = − .01)0(1)()4( 5905 .0 4095 . .0)()3( 5905 .0 3281 .0 0729 .0 0081 .0 9954 ; .0)()2( 0081 .0 00045 .0 00001 .0 0086 ; .0)2()1( 0729 ; 5 1 3 0 5 3 =−=−= =+++= += + = = ∑ ∑ ∑ = = = x x x pxp xp xp p )x(p
2.7.设随机变量X~P(元),当m为何值时,概率P(X=m)取得最大值? P(X=m)Px=m=1=2xm=1)1°(m-1(m a e n (1)当0<九<1时,P(X=m)-P(X=m-1)<0, m=1,2,3…,。故P(X=m)在m=0时达到最大值。 P(Xm P(X-m) (2)当九为正整数,当m≤元时,有P(X=m)2P(X=m-1), 即P(X=m)是m的递增函数; 当m≥元时,P(X=m)是随m的增大而减小的递减函数 如图,所以当m=九时,P(X=)=P(X=元-1)达到最大值
2.7. 设随机变量X～P( )，当 m 为何值时，概率 P(X=m) 取得最大值？ 解： P(X=m) 0 1 2 m m P(X=m) λ , m m m( )! e e m( )! e !m )mX(P)mX(P m m m ÷ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − −=−=−= −− − − λ − λ λλ λ λ λ 1 1 1 1 1 。故 在 时达到最大值。 当 时， 321 0 101 01 = = = << <−=−= ,,m ,... m)mX(P )( λ ,)mX(P)mX(P λ 如图，所以当 时， 达到最大值。 当 时， 是随 的增大而减小的递减函 数。 即 是 的递增函数； 当 为正整数，当 时，有 m X(P)X(P ) m m)mX(P m)mX(P )( m mX(P)mX(P ), 1 2 1 = −=== ≥ = = ≤ −=≥= λ λ λ λ λ λ
(3)若几不是正整数, 当m≤/几/时(mP(X=m-1), 即P(X=m)是m的严格递增函数; 当m≥/时,有P(X=m)<P(X=m-1),即P(X=m)是m的严格递减函数。 如图,所以当m=//时,P(X=m)取得最大值。 P(Xm) [λ] m 综上所述,当九为正整数时,P(X=)=P(X=-1)为最 大;而当孔不是正整数时,当m=//时,P(X=m)取得最大值
λ ][ m P(X=m) 如图，所以当 时， 取得最大值。 当 时，有 ，即 是 的严格递减函数。 即 是 的严格递增函数； 当 时 有 （ ）若 不是正整数， )mX(P][m m)mX(P)mX(P)mX(P][m m)mX(P mm(][m ), mX(P)mX(P ), = = ≥ −== λ λ λ λ λ 1 1 1 3 大；而当 不是正整数时，当 时， 取得最大值。 综上所述，当 为正整数时， 为最 )mX(P][m X(P)X(P ) = = −=== λ λ λ λ λ 1
28.在一繁忙的汽车站,有大量汽车通过,设每辆车在一天的某段时间内出事 故的概率为0.0001,在某天的该段时间内有100辆车通过,问出事故的次 数不少于2的概率.可用二项分布计算,由于n很大p很小 (p<0.1),二项分布B(n,p)的概率函数近似等于泊松分布的概率 函数P(A) 解:设X为出事故的次数,由题意,由于n很大p很小(p<0.1),故 X~P().因为n=1000,p=0.0001则x=np=0.1 P(X≥2)=1-P(X<2)=1-∑P(X=k) 1-P(X=0)-P(X=1) 0 0.1 0 -0.1 e e =0.0047 0!
2.8. 在一繁忙的汽车站，有大量汽车通过，设每辆车在一天的某段时间内出事 故的概率为 0.0001，在某天的该段时间内有1000辆车通过，问出事故的次 数不少于 2 的概率. 可用二项分布计算，由于 n 很大 p 很小 ( p <0 .1)，二项分布 B( n ,p )的概率函数近似等于泊松分布的概率 函数P( )). λ 解： 设X为出事故的次数，由题意，由于n很大p很小( p < 0.1 ),故 X～P( ). 因为 n = 1000 ， p = 0.0001，则 = n p = 0.1. λ λ ..e ! . e ! . )X(P)X(P )X(P)X(P )kX(P . . k 0 0047 1 10 0 10 1 1 0 1 12 12 10 1 10 0 1 0 −= − = =−=−= −=<−=≥ = − − = ∑
29.电话站为300个电话用户服务.在小时内每一电话用户使用电话的概率等于 0.01,求在1小时内恰有4个用户使用电话的概率:先用二项分布计算,再用 泊松分布近似计算并求相对误差 解:用二项分布计算:P(X=4)=Cm0(0.01)(0.99)3≈0.1689; 用泊松分布计算:P(X=4)=e≈0.1680 相对误差:e 53‰ 210.函数f(x)=/。,-∞<x<∞,可否是连续随机变量X的概率密度函数 解固为f(x)b=」 d x arctan x=a=丌≠1, ∞1+x 故f(x)不是连续随机变量X的概率密度函数
2.9. 电话站为300个电话用户服务. 在1小时内每一电话用户使用电话的概率等于 0.01，求在1小时内恰有4个用户使用电话的概率：先用二项分布计算，再用 泊松分布近似计算.并求相对误差 . 解： 2.10.函数 可否是连续随机变量X的概率密度函数. 解：因为 故 f(x) 不是连续随机变量X的概率密度函数. 5 3 ‰ 16800 4 3 4 168909900104 2 21 4 4 2 4 4 296 1 300 . P |PP| e ..e ! )X(P ;.).().(C)X(P ≈ − = ≈== == ≈ − 相对误差： 用泊松分布计算： 用二项分布计算： ,x, x )x(f −∞ ∞<< + = 2 1 1 arctan x , x dx )x(f dx 1 1 2 = ≠= + = ∞+ ∞− ∞+ ∞− ∞+ ∞− ∫ ∫ π
lx|<1 21设随机变量X的概率密度为f(x)=1-x2 求: (1)系数A; ExPl (2)随机变量X落在区间(-12,1/2)内的概率;(3)随机变量X的分布函数 解 +∞ coS t (1)由于」f(x)x=」,A x= sin t dt=A丌 cos t 且f(x)dx=1,所以A= (2)P d x cos tdt 1 <x< x= sin t 2丌√1-x 丌cost3 (3)当x-时,F(x)=f()d=0, 当15x<时,F(x)上(=)m=一后,d arcsine 元 2 当x≥时,F(x)=」f(h-fh+上f(rum+()h=1 0 所以分布函数F(x)=1 arcsin x+, 1≤x<1
2.11. 设随机变量 X的概率密度为 求： （ 1）系数 A ； （ 2）随机变量 X落在区间（-1/2，1/2）内的概率；（ 3）随机变量 X的分布函数. 解： . |x|, |x|, x A )x(f ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < = − 0 1 1 1 2 . 1 ,1)( , cos sin 1 1 )( 2 2 1 2 π π π = = = = − = ∫ ∫∫ ∫ ∞+ ∞− ∞− − − dxxf A Adt t Atx x Adxxf 且 所以 ）由于（ cos 1 π ∞+ dx t . cos t cos tdt x sin t x dx xP 3 1 2 1 1 2 1 2 6 6 2 1 2 1 2 = = − ÷= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ <<− ∫ ∫ − − π π π π ）（ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − ∞− − − ∞ ∞− − − ∞− ≥ = = + + = = + − <≤− = = = −< = = 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 11 13 0 .dt)t(fdt)t(fdt)t(fdt)t(f)x(Fx dt arcsin ,x t dt)t(fdt)t(f)x(Fx x)( ,dt)t(f)x(F x x x x x x 时，当 当 时， 当 时， π π ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ + <≤− −< = .x arcsin ,x x , x )x(F 1 1 11 2 1 1 0 1 π 所以分布函数
