1.1.写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点: (1)同时掷三枚骰子,记录三枚骰子的点数之和 A=“点数之和大于10”,B=“点数之和小于15” (2)一盒中由5只外形相同的电子元件,分别标有号码1,2,3,4,5. 从中任取3只,C=”最小号码为1” 解:(1)9={34,5,…,18},A={111,…,18},B={34,5,…,14} (2)92=(,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5)(,4,5) (2,3,4)、(2,3,5),(2,4,5)(3,4,)} A=(,2,3),(1,2,4)(,2,5),(1,3,4)(1,3,5)、(1,4,5) 1.2.下列各式在什么条件A∪B=A,AB=A成立? 解:若A→B,A∪B=A;若AgB,AB=A
1.1.写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点： （1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和. A = “点数之和大于 10 ”，B = “点数之和小于15 ”. （2）一盒中由5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5. 从中任取3只，C =”最小号码为 1”. 解： 1.2. 下列各式在什么条件 成立？ 解： A ∪B A , AB A = = { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) } { } ( )( )( )( )( )( ) 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 A= 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 ,,,,,, ,,, ,,,,, . Ω = ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ； ，， ，， ，， ，， ，， ，， 若 若 A B A B A A B AB=A ⊃= ⊆ ,; . ∪ , ( ) { } { } { } ( ) 1 3,4,5, ,18 A 11 12 18 B 3 4 5 14 2 Ω = """ , , , , , ,,, , ; = =
1.3.设A,B,C表示三个事件,试将下列事件用A,B,C表示出来: (1)仅A发生; (2)A,B,C都发生; (3)A,B,C都不发生; (4)A,B,C不都发生; (5)A不发生,且B,C中至少有一事件发生; (6)A,B,C中至少有一事件发生; (7)A,B,C中恰有一事件发生; (8)A,B,C中至少有二事件发生; (9)A,B,C中最多有一事件发生 解: (1)ABC,(2)ABC,(3)ABC,(4)ABC (5)A(BUC),(6)AUBUC,(7) ABCU ABC ( 8)ABUBCUAC,(9) ABUBCUAC
1.3. 设A,B,C表示三个事件，试将下列事件用A, B, C表示出来： （1）仅A发生； （2）A,B,C都发生； （3）A,B,C都不发生； （4）A,B,C不都发生； （5）A不发生，且B,C中至少有一事件发生； （6）A,B,C中至少有一事件发生； （7）A,B,C中恰有一事件发生； （8）A,B,C中至少有二事件发生； （9）A,B,C中最多有一事件发生. 解： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) 123 4 5 67 8 9 ; ABC ; ABC ; ABC ; ABC ; A B C ; A B C ; ABC ABC ABC AB BC AC ; AB BC AC . ∪ ∪ ∪ ∪∪ ∪ ∪ ∪ ∪
1.4.设P(A)=0.5,P(B)=0.6,问: (1)在什么条件下P(AB)取得最大值,最大值是多少? (2)在什么条件下P(AB)取得最小值,最小值是多少? ff: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB 有P(AB)=P(A)+P(B)P(A∪B) 当A∈B时,P(A∪B)=P(B) 则P(AB)=P(A)=0.5; 当A∪B=9时,P(AUB)=P() 则P(AB)=1-P(A)-P(B)=0.1
1.4. 设P(A)=0.5,P(B)=0.6,问： （1）在什么条件下P(AB)取得最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P(AB)取得最小值，最小值是多少？ 解: (P AB ..)B(P)A(P) ,)(P)BA(P,BA (P AB ;.)A(P) B(P)BA(PBA ), (P AB BA(P)B(P)A(P) ), (P)B(P)A(P)BA(P AB ), 1 10 1 50 =−−= = == == ⊂ = −+= −+= 则 当 时 则 当 时， 有 ∪ Ω ∪ Ω ∪ ∪ ∪
1.5.设P(A)>0,P(B)>0,将下列四个数: P(A),P(AB),P(A)+P(B),P(AUB)按由小到大的顺序排列,用符号 “<”联系它们,并指出在什么情况下可能有等式成立 解:P(AB)≤P(A)≤P(AUB)≤P(A)+P(B, 当BA时,有P(AB)=P(A) 当ACB时,P(AUB)=P(A) 当A,B互不相容时,P(A∪B)=P(A)+P(B)
1.5. 设 P(A)>0，P(B)>0，将下列四个数： P(A)，P(AB)，P(A) + P(B)，P(A∪B)按由小到大的顺序排列，用符号 “ ” 联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立. 解： B,A B(P)A(P)BA(P, ). A(P)BA(PBA ), AB (P AB A(P) ); (P AB B(P)A(P)BA(P)A(P) ), += ⊂ = ⊃ = ≤≤ +≤ ∪ ∪ ∪ 当 互不相容时 当 时， 当 时，有 ≤
1.6.设A,B,C为三个事件,证明 P (AU B U C)=P(A)+ P(B)+ P(c)- P(AB)-P(ac)-P(BC)+ P(aBc) 证明:P( AU BU O)=P(AUB)+P(C)-P[(AUB)C P(A)+P(B)-P(AB)+ P(c)-P(Ac)-P(BC)+ P(aBc) 1.7.设P(A)=P(B)=P(C)=1/3,P(AB)=P(AC)=0,P(BC)=1/4, 求A、B、C至少有一事件发生的概率 At: P(AU BUC)= P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB)-P(Ac)-P(BC) P(abc) (由于AC与AB互不相容) 44
1.7. 设 P(A) = P(B) = P(C) = 1/3，P(A B) = P(A C)=0，P(B C) = 1/4， 求 A、B、C 至少有一事件发生的概率. 解： P (A∪ B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC)- P(BC) + P(ABC) （ 由于 A C 与 A B互不相容 ） ==================== 1- . 1.6. 设A,B,C为三个事件，证明： P (A∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) 证明： P (A∪ B∪ C) = P(A ∪ B) + P(C) – P[(A∪ B)C] = P(A) + P(B) - P(AB) + P(C) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) 1 3 4 4 =
1.8.一批产品只有200件,其中6件废品,求: (1)任取3件产品中恰有一件是废品的概率; (2)任取3件产品中没有废品的概率; (3)任取3件产品中废品不少于2件的概率 解:基本事件总数:N=C20, (1)设事件A=“任取3个产品中恰有一件是废品”,事件A中的基本事件数 M 1=C9C6PA)、M=CB2C N 200 (2)设事件B=“任取3件产品中没有废品”,事件B中的基本事件数: 3 M 2C3 M P(B) 200 (3)设事件C=“任取3件产品中废品不少于2件” P(C) C 6C 1+C 94 C 200
1.8. 一批产品只有200件，其中6件废品，求： （1）任取3件产品中恰有一件是废品的概率； （2）任取3件产品中没有废品的概率； (3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解： （1）设事件A = “任取3个产品中恰有一件是废品” , 事件A中的基本事件数： P(A) （2）设事件B = “任取3件产品中没有废品” , 事件B中的基本事件数： P(B) （3）设事件C=“任取3件产品中废品不少于 2 件” P(C) = 21 3 6 194 6 3 200 cc c c + 3 200 3 2 194 C C N M == 3 2 CM 194 = 3 200 1 6 2 1 194 C CC N M == 1 6 2 1 = 194 CCM ,CN: 3200 基本事件总数 =
1.9.在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面四个数字全部相同的概 率(设后面四个数字中的每一个数字都等可能地取自0,1,2…,9). 解:设电话号码是7位数,事件B=“后面四个数字全不相等”,则 基本事件总数:N=C。106 事件A中的基本事件数:M=C1102A,4 10 P(B)=-=0.504 N
1.9. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数字全部相同的概 率（设后面四个数字中的每一个数字都等可能地取自 0, 1, 2 …, 9 ). 解： 设电话号码是 7 位数，事件 B = “ 后面四个数字全不相等 ”，则 基本事件总数： 事件 A中的基本事件数： 1 6 9 N C = 1 0 1 24 9 1 0 M = C A 1 0 ( ) 0.504 M P B N ∴ = =
1.10.从1-2000的整数中随机地取出一个数,求: (1)这个数能被5整除的概率;(2)这个数能被4和6整除的概率 解:基本事件总数:N=C 2000 (1)设事件A=“这个数能被5整除”,事件A中的基本事件数: M1=C400P(A) M C 40=0.2 N (2)设B=“这个数能被4和6整除”,事件B中的基本事件数: M2=C16P(B)= 0.83
1.10. 从 1-2000 的整数中随机地取出一个数，求： （1）这个数能被5整除的概 率；（2）这个数能被4和6整除的概率. 解： 基本事件总数： （ 1）设事件A=“这个数能被 5整除” , 事件 A中的基本事件数： （ 2）设B=“这个数能被 4 和 6整除” , 事件B 中的基本事件数： .. C C N M )B(P 830 1 2000 1 2 166 === 1 2 CM 166 = 1 1 CM 400 = 20 1 2000 1 1 400 . C C N M )A(P === 1 CN 2000 =
1.11.从0,1,2,…,9这10个数字中任意取出三个不同的数字,求下列事件的概率: A=“这三个数字中不含0和5” B=“这三个数字中包含0或5”, C=“这三个数字中含0但不含5” 解:基本事件总数:N=C3 事件A的基本事件数:MA=C3 P(A)=NC015 P(B)=1-P(A)=8/15 事件C的基本事件数:MC=C1C3 M Cic. 7 P(C) C 30
解：基本事件总数： 事件A的基本事件数： 38 M C A = P ( B ) = 1 – P ( A ) = 8 / 15 事件C的基本事件数： 1.11. 从0,1,2,…,9这10个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A =“ 这三个数字中不含 0 和 5 ”， B =“ 这三个数字中包含0或 5”， C =“ 这三个数字中含0但不含5”. . C CC N M )C(P C 307 310 28 11 === . C C N M )A(P A 157 31038 === 2 8 1 C = 1CCM 3 CN 10 =
1.12.将一枚均匀的骰子掷两次,已知出现的点数之和能被3整除,求恰好是两 次都出现3点的概率 解:试验的基本事件O=“出现点数对”,其中i(i=1,2…,6)是第一次 出现的点数,(j=1,2…,6)是第二次出现的点数 设事件A=“出现的点数之和能被3整除”,即A={O计+j能被 3整除},事件B=“恰好是两次都出现3点”,其中BCA.则 A={2221,O15,024,3,如,005、(Oa3,O6) B={0 又BcA P(BIA P(AB)P(B)1 P(A)P(A)12
1.12. 将一枚均匀的骰子掷两次，已知出现的点数之和能被3整除，求恰好是两 次都出现3点的概率. 解：试验的基本事件 = “出现点数对”，其中 是第一次 出现的点数， 是第二次出现的点数 . 设事件 A = “ 出现的点数之和能被 3 整除 ”，即 A = { | 能被 3 整 除} ， 事件 B = “ 恰好是两次都出现 3 点 ”，其中 B A . 则 = ,j( ,..., 621 ). ⊂ ωij + ji i = ,i( ,..., 621 ) j ω i j { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 21 15 24 33 42 51 36 45 54 63 66 33 B A 1 12 A ,,,,,,,,,,, , B , P AB P B P B|A PA PA ωωωωωωωωωωωω ω = = ⊂ ∴ = == ∵ 又