6.1.设总体X~P(),若样本观测值X1,2,x求参数的矩估计值 与最大似然估计值. 解:由题意,X~P(λ),i=1,2n其概率函数为 x P(x;)=e-,x=01,2 (1)总体一阶原点矩v1(X)=E(X)=, 用样本一阶原点矩V1=-∑X估计总体一阶原点矩v1(X) 即=x=. 由此得到λ的矩估计量:元=x; 的矩估计值:=x
.x ˆ ˆ ;X .XX n X )X(v n V )( ,)X(E)X(v .....,,x,e !x );x(P .n,...,,i),(P~X n i i n i i x i = = = = = == = = = ∑ ∑ = = − λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 的矩估计值： 由此得到 的矩估计量： 即 用样本一阶原点矩 估计总体一阶原点矩 ， 总体一阶原点矩 解：由题意， 其概率函数为 1 1 1 1 1 1 1 1 210 21 6.1.设总体 x ∼ P(λ), 若样本观测值 ，求参数 的矩估计值 与最大似然估计值. 1 2 n x ,x , ,x , … λ
(2)似然函数:L()=Ⅱ e i=1x! hmL(4)=-n+∑x1m-∑hn(x1!) d In L(n) -n+ d元 n元 ∑x
λ λ Πλ − = = e !x )( )(L i x n i 1 2 似然函数： !x e n x i i λ Π λ =1 − = ∑∑ = = +−= − n i i n i i lnxn)(Lln )!xln( 1 1 λλ λ 0 1 1 ∑ =⋅+−= = n i i xn d )(Llnd λ λ λ ∑ = = n i i nx 1 λ .xx n n i ∑ i = = = 1 1 λ
6.2.设总体X的概率密度为 0x-,0 ∫(x;6)= 0,其它 其中6>0。若样本观测值 x1,x2y,xn,求参数6的矩估计值与 最大似然估计值。 解:(1)总体均值v1(X)=E(X)=0x°-d 样本一阶原点矩V1=∑X;=X,则 6 X X (2)似然函数 L(6)=Ⅱ,6xp hnL(6)=nlb+(6-1)∑mn d In L(8 n 0→6 de 6
. X ˆ X X ,XX n V )( dxx)X(E)X(v . n i i 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 − =⇒= − = = − = = = ∑ ∫ = − θ θ θ θ θ θ θ 样本一阶原点矩 则 解： 总体均值 )( )(L x ,x i n i n i n i 1 1 1 1 2 − = − = = = θ θ 似然函数 θΠθ Πθ . xln n ˆ xln n d )(Llnd ,xln)(lnn)(Lln n i i n i i n i i ∑ ∑ ∑ = = = += −=⇒= = −+ 1 1 1 0 1 θ θ θ θ θ θθ 最大似然估计值。 其中 。若样本观测值 求参数 的矩估计值与 ， 其它 设总体 的概率密度为 θ θ θ θ θ ,,...,, , , );( . xxx n x x xf X 21 1 0 0 0 1 6.2. > ⎩⎨⎧ << = −
6.3设总体X服从T分布,其概率密度为 c 0 ∫(x;a,B)={r(a 0,x≤0 其中参数c>0,B>0.若样本观测值 2 (1)求参数a及β的矩估计值 (2)已知 求参数B的最大似然估计值。 解:n1(X)=E(X)=「 ra xe px dx +∞ 令Bx=t x e px dx -t 厂(a) T(a)Jo(B B t e dt 厂(a+1)a Br(a) Br(a) B
. )( )( dtet )( dte t )( dxex )( dxex )( )X(E)X(v t t tx x x β α αΓβ αΓ αΓβ αΓ β β β αΓ β αΓ β α α β α βα α βα α = + = = ⋅ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∞+ − ∞+ − = ∞+ − ∞+ − 1 1 1 0 0 0 0 1 令 解： 已知 ，求参数 的最大似然估计值。 求参数 及 的矩估计值； 其中参数 若样本观测值 设总体 服从 分布 其概率密度为 αα β βα α β α β βα α β α 0 21 1 2 1 0 0 00 0 6.3 = > > ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤ > = −− )( )( ., , ,..., , ,, ;, ),;( )( . , n x xxx x xex xf X Γ Γ
X)=E(X2)=「Bx“e 令Bx rate pido dt r(a)0 (a)0(B +∞ 厂(a+2)F(a)a(a+1) BT(a) B r(a) 得方程组如下 nx B ∑(x1-x)2 (a+ nx
. )( )( )()( dtet )( dte t )( dxex )( dxex )( )X(E)X(v t t tx x x 2 2 0 1 2 0 1 0 1 0 2 1 2 1 2 1 1 β αα αΓβ αΓαΓ αΓβ αΓ β β β αΓ β αΓ β α α β α βα α βα α + = + = = ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∞+ −+ ∞+ − + = ∞+ −+ ∞+ −+ 令 得方程组如下： ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = = − = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ∑ ∑ ∑ = = = 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 11 σ β σ α β αα β α ~ x )xx( xn ˆ ~ x )xx( xn ˆ x n )( x n i i n i i n i i
(2尼已知α=a0,求参数β的最大似然估计值。 L(B)=nBo e 厂(a) n I 1,-Bx e /r(a)"=1 hnL(B)= n ao In B-nmr(a)+(ao-1)∑mx;-∑Bx d In l(B) na d B ∑x1=0→B
. x ˆ x n d )(Llnd xln)()(lnnlnn)(Lln x ex )]([ ex )( )(L )( n i i n i i n i i x i n i n n x i n i i i 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 0 0 α β βα β β βαβ ααΓ β Π αΓ β αΓ β Πβ α α β α β α α β α =⇒=−= = − −+ − = = = ∑ ∑∑ = = = −− = −− = 已知 ，求参数 的最大似然估计值
6.4.设总体X~e(孔,其中4>0,抽取样本X1,X2y,Xn,证明: (1)虽然样本均值X是的无偏估计量,但 X2却不是2的无偏 估计量; (2)统计量 X是A的无偏估计量 n+1 证明:(1)E(X)=∑E(X;)= 因此样本均值 X是的无偏估计量,但 E(X2)=D(X)+E(X川2 D∑X,+2 n+1 元2不是2的无偏估计量 n (2)E EX +1 n+1 故统计量 X是2的无偏估计量 n+1
故统计量 是 的无偏估计量。 不是 的无偏估计量。 因此样本均值 是 的无偏估计量，但 证明 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 λ λ λ λ λ λ λ X n n .)X(E n n X n n E)( n n X n D )]X(E[)X(D)X(E X ,)X(E n )X(E)(: n i i n i i + = + ⎟ = ⎠⎞ ⎜⎝⎛ + + =+ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = = + = = ∑ ∑ = = 统计量 是 的无偏估计量。 估计量； 虽然样本均值 是 的无偏估计量，但 却不是 的无偏 设总体 其中 抽取样本 证明： 2 2 2 2 21 1 2 1 6.4 0 λ λ λ λ λ X n n X X eX XXX n + > )( )( . (~ ), , , ,...,
6.5.从总体X中抽取样本X1,X2…,Xn,确定常数c的值,使得 是总体方差 的无偏估计量 证明:E(a2)=c∑E(X1-X1)2 =C∑E(x21)-2E(X)E(X1)+E(X2 =2c∑[E(x)=E(X3小=2c(n-1 故
[ ] [ ] . )n( c .)n(c)X(E)X(Ec )X(E)X(E)X(E)X(Ec (E: ˆ )XX(Ec) n i i i n i i i i i n i i i 12 1 2 12 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 − = = − −= = − + = − ∑ ∑ ∑ = + = + + − = + 故 证明 σ σ 是总体方差 的无偏估计量。 从总体 中抽取样本 确定常数 的值，使得 2 1 1 2 1 2 6.5 21 σ σ ∑ − = + = − n i i i n XXc X XXX c ˆ ( ) .
6.6.从总体X中抽取样本X1,X2…,Xn,证明下列三个统计量 XI.X2 X X-+ 13 XX 2 6 2 4 4 都是总体均值E(X)=的无偏估计量;并确定 哪个估计量 更有效。 证明:E(A)=EX1X2X3=; 236 E(2/=E/X1,X2+3 244 A;E(A3=E/X1,X2+23=p 而D(A1)=D XX X =0.39D(X) D(2)=D 从++2|=0.37D(X方; 4 4 D(兵3)=D1+2+3=0.,3D(X) 33 故D(A1)>D(a2)>D(A3),所以山3有效
故 所以 有效。 而 证明 1 2 3 3 21 3 3 21 3 2 21 3 1 21 3 3 21 3 2 21 3 1 30 333 370 442 390 632 442 333 632 μμμμ μ μ μ μ μμ μ μ μ (D ˆ (D) ˆ (D) ˆ ), ˆ ),X(D. XX X (D ˆ D) );X(D. XX X (D ˆ D) );X(D. XX X (D ˆ D) . XX X (E; ˆ E) XX X (E ˆ E) ; XX X (E: ˆ E) >> ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ++ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = ++= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= 更有效。 都是总体均值 的无偏估计量；并确定 哪个估计量 从总体 中抽取样本 证明下列三个统计量 μ μ μ μ = ++= ++= ++= )( ˆ , ˆ , ˆ . , ,..., , XE XX X XX X XX X X XXX n 632 442 333 6.6 1 2 3 3 1 2 3 2 1 2 3 1 21
6.7从总体X中抽取样本X1,X2…,Xn,设c1,C2y…,cn为常数, 且∑c1=1,证明 (1)=∑c1X是总体均值的无偏估计量 (2)在所有这些无偏估计量 A=∑cX中,样本均值 的方差最小 证明: (1)E(A)=E(∑c;X ; (2)D()=D(∑c;X;)=∑c2D(X) nar 1/ D(X ∑D(X;) D(X) 的方差最小
. )X(D n )X(D n )X(D c .n/ ct.s max c (D)( ˆ )Xc(D) )X(Dc (E)( ˆ )Xc(E) n i i i n i i n i i n i i n i ii n i ii 的方差最小 ； 证明： ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = = ⇒ = ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ = = = = = 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 μ μ μ . )( ˆ )( ˆ , . ,...,,,,...,, 的方差最小 在所有这些无偏估计量 中，样本均值 是总体均值 的无偏估计量； 且 证明： 从总体 中抽取样本 设 为常数， ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = = n i i n i ii n i ii n i i n n X n Xc X Xc c X cccXXX 1 1 1 1 21 21 1 2 1 1 6.7 μ μ μ