5.1.设抽样得到样本观测值为 38.240.042.437.639.241.044.043.238.840.4 计算样本均值、样本方差、样本标准差与样本二阶中心矩 解:x=1 x;=40.5 n i= S 2 nx2)=4.66,S=√4.66=2.1587 n U,=1(xx)2=4.194
5.1. 设抽样得到样本观测值为 38.2 40.0 42.4 37.6 39.2 41.0 44.0 43.2 38.8 40.4 计算样本均值、样本方差、样本标准差与样本二阶中心矩 . ..)( ( ,..,.) ;. 1944 1 4 66 4 66 2 1587 1 1 40 5 1 2 1 2 2 1 2 2 1 = =− ===− − = = = ∑ ∑ ∑ = = = xx n U xnx S n S x n x n i i n i n i i i 解：
5.2.设抽样得到100个样本观测值如下: 观测值 5 6 频数 15 21 25 20 12 计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩 解:F=1 ∑nx)=3.14, n ∑ x)2=2.121 n i=1 n;(r )2=2.1004
5.2. 设抽样得到100个样本观测值如下： 观测值 1 2 3 4 5 6 频数 15 21 25 20 12 7 计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩 . ..)( ~ ,.)( ,. )( )( )( 10042 1 1212 1 1 143 1 2 6 1 2 2 6 1 2 6 1 = =− =− − = = = ∑ ∑ ∑ = = = xxn n xxn n S xn n x i ii i ii i ii σ 解：
5.3.从某工厂生产的铆钉中抽取200个,测量铆钉头的直径,得到频率分布表如 下:(略) (1)计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩(计算时把各个子区间的 中点值取作观测值).(2)作直方图.(略) 解 x n. X 13.42 200 ∑ 0.01221; 199 ∑n,(x0-x) i=1 200 ∑n,(x0-x)=0.01215
5.3. 从某工厂生产的铆钉中抽取200个，测量铆钉头的直径，得到频率分布表如 下: (略) (1)计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩(计算时把各个子区间的 中点值取作观测值). (2)作直方图.（略） 解： ( ) ( ) ( ) i ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 13 42 200 1 0 01221 199 1 0 01215 200 i i i i i i i i i x nx . ; s nx x . ; σ nx x . . = = = = = = − = = − = ∑ ∑ ∑
54.从总体中抽取容量为n的样本X1,X2…,X,设C为任意常数,k为任 意正整数,作变换F=k(X1-c),1=12…,n 证明:(1)FsF +C,(2)52 s y 其中 k X及S2分别是X1,X2,Xn的样本均值及样本方差; Y及s2分别是Y1,y2,…,Yn的样本均值及样本方差 证明: (1)Y=∑y=∑[k(x-c) k ∑ X-kc n kX-kc=k(X-c)→FsYc ()s=n1(x可)=n15(x=)1(x=如 ∑(kx,一kX)=kS:2→S2
5.4. 从总体中抽取容量为 n 的样本 ，设 c 为任意常数，k 为任 意正整数，作变换 证明： ( 1 ) ( 2 ) 其中 及 分别是 的样本均值及样本方差； 及 分别是 的样本均值及样本方差 . 证明： X ,X , ,X 1 2 … n ( ) 12 Y k X c , i , , ,n . i i =−= … 2 2 2 y x Y S X c; S ; k k =+ = 2 2 x y X S Y S X ,X , ,X 1 2 … n Y ,Y , ,Y 1 2 … n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 22 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ii i i i i n n i y i i i n y i x x i Y Y k X c X kc nn n Y k X kc k X c X c . k k X c k X kc S YY n n S kX k X k S S . n k = = = = = = = = −= − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = − = − ⇒ =− 1 1 n n n k ⎡ −− − ⎤ = −= ⎣ ⎦ − − = − = ⇒= − ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑
5.5.从总体中抽取两组样本,其容量分别为1及2,设两组的样本均值分别 为X1及X2,样本方差分别为S1及S2,把这两组样本合并为一组容量 为n1+n2的联合样本,证明: (1)联合样本的样本均值n12X1+n2X2 H1+n2 (2)联合样本的样本方差 2_(n1-1)S2+(n2-1) h21 n XI-X n1+n2 n1+n2)(n1+n2
5.5. 从总体中抽取两组样本，其容量分别为 及 ，设两组的样本均值分别 为 及 ，样本方差分别为 及 ，把这两组样本合并为一组容量 为 的联合样本，证明： (1) 联合样本的样本均值 (2) 联合样本的样本方差 1 2 n n X X 1 2 2 2 1 2 S S 1 2 1 2 1 2 nX nX X n n + = + ()( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 1 12 2 1 2 1212 1 1 1 1 n Sn S nn X X S nn nn nn − +− − = + + − + +− 1 2 n n +
证明:设联合样本为X1,X12…,1n,X21,X2…,Y2n0则 X1=∑X 2 ∑(xn-Xx) ∑X 2i 3 n.12(x-x2) X1+)X n,+ n X,+ ∑X n,+ n 2 11 2j=1 n,XI+nX2 X1+ 2 X2 n 2 n1+n2
1 2 X ,X , ,X ,X ,X ,X 11 12 1 21 22 2 … … n n 证明：设联合样本为 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 12 2 12 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 n n i i i i n n i i i i n n i j i j n n i j i j X X ,S X X , n n X X ,S X X . n n X XX n n n Xn X nn n n nX n X nX n X . n n n n = = = = = = = = = =− − = =− − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ + = += + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ i i ∑ ∑
n+n-12(x2-x) n1+n2 ∑(x,-x)+∑(x-x) ny XI+n,X X X nI XI+nx H1+n2 n1+ n1+n2 XI-X n,IX1-Y ∑(xn-x)+2 +2 X1-X1 n1+ +n n1+n2 +∑(x-x:)+/2(E X.-X n1+n2 n, +n n, n2(X1-X2) +2hn2(X1-X2) H1+n2 n1+n2 H1+ +n n tn 1mh2(x1=x2) n2 X1-X2 -2 H1+ n1+n2 n1+n2 (n1+n2-1)(n2+n2) n1n2(X1-X2 H1+ n +n2)(n1+n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 n n n n k i j k i j n n i j i j n n i i i X X XX X X n n n n nX nX nX nX X X n n n n n n nX X X X n n n n + = = = = = = = ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ −+ − + − + − ⎣ ⎦ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ + + ⎡ ⎤ = − +− ⎨ ⎬ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + − + + ⎪ ⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎧ ⎡ ⎤ − = − + + ⎢ ⎥ ⎨ + − ⎩ ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 12 1 2 12 12 2 2 1 2 1 2 2 2 2 12 12 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 j n i i n n n j j j j j nX X X X n n nX X nX X X X X X nn nn n nn X X nn X X S nn nn n n nn nn n nn X X S nn nn n = = = = − − + ⎫ ⎡ ⎤ − − ⎪ + −+ − ⎢ ⎥ − ⎬ ⎢ ⎥ + + ⎪ ⎣ ⎦ ⎭ − − − = + + +− +− + +− + − − + + +− +− ∑ ∑ ∑ ∑ i i ( ) ( ) ( )( ) ()( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 2 2 2 12 12 2 2 2 1 2 1 2 1 12 2 1 2 1212 2 1 1 1 1 1 nn X X n nn nn n Sn S nn X X nn nn nn − − + +− + − +− − = + +− + +−
56.设随机变量X,Y,Z相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),求随机变量函 数 U=X2+Y2+Z2 的分布函数与概率密度;并验证定理1当k=3是成立, 即 x 解:X,,Z~N(01),且相互独立,∴f(x,yz)= Fu(u)=P(U0 0,u0 f()=√2z 0,0<0
5.6. 设随机变量 X, Y, Z 相互独立，都服从标准正态分布 N（0, 1），求随机变量函 数 的分布函数与概率密度；并验证定理 1 当 k=3 是成立， 即 . 解: 且相互独立， 22 2 UX Y Z = ++ ( ) 2 U ~ χ 3 ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 3 1 0 1 xyz X ,Y ,Z ~ N , , f x,y,z e , 2 2 22 2 22 2 2 2 2 3 0 00 2 2 2 0 1 2 2 2 2 1 2 2 0 2 0 0 2 11 0 22 2 0 00 U r u x yzu r u u u U F u PU u P X Y Z u f x, y,z dxdydz d d e r sin dr e r dr , u ; ,u . e u ue ,u ; f u u , . π π π θ ϕ ϕ π π π π − ++≤ − − − + + − ∴ = ∴ = ≤= ++ ≤ ⎧⎪ = ⎪⎪⎪ = ⎨ = > ⎪⎪⎪⎪⎩ ≤ ⎧⎪ = > = ⎨⎪⎩ ≤ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∵
57.设随机变量X服从自由度为k的t分布,证明:随机变量=X服从自由 度为(1,k)的F分布 证明: X t(k) U 不妨设X V/ k 其中U~N(0,1 x2(k) U U ∴Y=X V/k F(1,k)
5.7. 设随机变量 X 服从自由度为 k 的 t 分布，证明：随机变量 服从自由 度为 （1，k ）的 F 分布. 证明： 2 Y X = ( ) ( ) () ( ) ( ) 2 2 2 2 2 U X = V k U N01 V k U 1 U Y X F1 k V k X ~t k / ~ , ,~ , ~ ~ ,. / χ χ ∴ ∴ ∴== ∵ 不妨设 其中
5.设随机变量x服从自由度为(k,k)的F分布,证明:随机变量 服从自由度为 证明:X~F(k1,k2 ,k)的F分布从而证明:F(k1,k)=F(k2,) IW V/k, U~x2(k1),V~x2(k2) V/k X U/k 2~F(k2,k) P(X≥F2(k1,k)=a,P(Y≥F(k2,k)=1-a =a→P C X Fa(k,, k2 X Fa(k,, k2 Py≥ F(k,,k =1-a=P(Y≥F(k2,k) F2(k,k2) Fa(k2,k)
5.8. 设随机变量 X 服从自由度为 的 F 分布，证明：随机变量 服从自由度为 的 F 分布; 从而证明： 证明： ( ) 2 1 k ,k (k ,k 1 2 ) ( ) ( ) 1 12 2 1 1 F k ,k F k ,k α α − = ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 21 1 2 1 2 1 21 1 2 1 1 11 11 1 1 1 U/k X , U~ k ,V~ k , V/k V/k Y ~ F k , k , X U/k P X F k ,k ,PY F k ,k , P P X F k ,k X F k ,k P Y PY F k ,k F k ,k α α α α α α χ χ α α X ~F k ,k 1 2 α α α − − ∴ = ∴ = = ≥ =≥ = − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∴ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ≤ = ⇒≥ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ≥ = − = ≥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∴ ∵ ( ) ( ) 1 12 2 1 1 F k ,k F k ,k α α − =