江画工太猩院 第5节 凹凸、拐点、图形
江西理工大学理学院 第 5 节 凹凸、拐点、图形
江画工太猩院 曲线凹凸的定义 B 问题:如何研究曲线的弯曲方向? y=f(r) y=f(r) x三 x,式 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方
江西理工大学理学院 一、曲线凹凸的定义 问题 :如何研究曲线的弯曲方向 ? x y o x y o x 1 2 x y = f ( x ) 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o y = f ( x ) x 1 2 x 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 A B C
江画工太猩院 定义设f(x)在区间I上连续,如果对Ⅰ上任意两 点x1,x2,恒有f( 1+x2f(x1)+f(x2 < 2,那末称 2 f(x)在I上的图形是(向下)凹的(或凹弧) Xr. 如果恒有f( )f(x)+(x2,那末称f(x) 在Ⅰ上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 如果f(x)在a,b上连续,且在(a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那末称∫(x)在{a,b内的图形是凹(或凸)的
江西理工大学理学院 定义 在 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）． 如果恒有 那末称 在 上的图形是（向下）凹的（或凹弧） 点 恒有 那末称 设 在区间 上连续 如果对 上任意两 I f x x x f x f x f f x I x x f x f x x x f f x I I , ( ) 2 ( ) ( ) ) 2 ( ( ) ; , 2 ( ) ( ) ) 2 , , ( ( ) , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + > + + < + ( ) , ( ) [ , ] ( ) ; ( ) [ , ] , ( , ) 或凸 的 那末称 在 内的图形是凹 或凸 的 如果 在 上连续 且在 内的图形是凹 f x a b f x a b a b
江画工太猩院 二、曲线凹凸的判定 y=f( B y=f()B%1 b x b f(x)递增y">0f(x)递减y0.则f(x)在{a,b上的图形是凹的; (2)f"(x)<0,则f(x)在a,上的图形是凸的
江西理工大学理学院 二、曲线凹凸的判定 x y o y = f(x) x y o y = f ( x ) a b A B f ′( x ) 递增 a b B A y′′ > 0 f ′( x ) 递减 y′′
江画工太猩院 例1判断曲线y=x3的凹凸性 解∷y'=3x2,y"=6x, 当x0时,y">0,曲线在0,+∞)为凹的; 注意到,点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点
江西理工大学理学院 例1 . 判断曲线 y = x3 的凹凸性 解 3 , 2 Q y′ = x y′′ = 6x, 当x 0时， y′′ > 0, ∴曲线 在[0,+∞)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点
江画工太猩院 三、曲线的拐点及其求法 1、定义 连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点 (x,f(x0)称为曲线的拐点 注意拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 2、拐点的求法 定理2如果f(x)在(x1-8,x0+δ)内存在二阶导 数则点(xn,f(x)是拐点的必要条件是f(x)=0 证∵f(x)二阶可导,∫(x)存在且连续
江西理工大学理学院 三、曲线的拐点及其求法 连续曲线 y = f ( x )上凹弧与凸弧的分界点 ( , ( ) ) 0 x 0 x f 称为曲线的拐点. 定理 2 如果 f ( x ) 在 ( , ) x 0 − δ x 0 + δ 内存在二阶导 数,则点( ) , ( ) 0 x 0 x f 是拐点的必要条件是 ( ) 0 0 " f x = . 1、定义 注意 :拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 . 2、拐点的求法 证 Q f ( x ) 二阶可导 , ∴ f ′( x ) 存在且连续
江画工太猩院 又:(x,f(x)是拐点, 则∫"(x)=f(x)在x两边变号, :f(x)在x取得极值由可导函数取得极值的条件, f"(x)=0. 方法1:设函数f(x)在x的邻域内二阶可导, 且f"(x)=0, (1)x两近旁∫"(x)变号,点(x,f(x1)即为拐点; (2)x1两近旁∫"(x)不变号,点(x1,f(x1)不是拐点
江西理工大学理学院 ( ) [ ( )] , 则 f ′′ x = f ′ x ′在x0两边变号 ( , ( ) ) , 又Q x0 f x0 是拐点 ( ) , ∴ f ′ x 在x0取得极值 由可导函数取得极值的 条件, ∴ f ′′(x) = 0. 方法1: ( ) 0, ( ) , 0 0 f ′′ x = f x x 且 设函数 在 的邻域内二阶可导 (1) ( ) , ( , ( )) ; x0两近旁f ′′ x 变号 点 x0 f x0 即为拐点 (2) ( ) , ( , ( )) . x0两近旁 f ′′ x 不变号 点 x0 f x0 不是拐点
江画工太猩院 例2求曲线y=3x2-4x3+1的拐点及 凹、凸的区间 解:D:(-0,+) y=12x3-12x,y”=36x(x-3 令y”=0,得x1=0, 1023 0/ 0 //(x)吧的/参点 拐点 凸的 凹的 (0,1) 22
江西理工大学理学院 例2 . 3 4 1 4 3 凹、凸的区间 求曲线 y = x − x + 的拐点及 解 Q D :(−∞,+∞) 12 12 , 3 2 y′ = x − x ). 32 y′′ = 36x(x − 令y′′ = 0, . 32 0, 得 x1 = x2 = x (−∞,0) , ) 32 ) ( +∞ 32 0 (0, 32 f ′′(x) f (x) + 0 − 0 + 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 (0,1) ) 27 11 , 32(
江画工太猩院 1 0.5 0.5 1.5 凹凸区间为(∞,,3173+
江西理工大学理学院 , ). 3 2 ], [ 3 2 凹凸区间为 (−∞ , 0], [ 0 , +∞
江画工太猩院 方法2:设函数f(x)在x的邻域内三阶可导,且 f(x)=0,而f(x)≠0,那末(xn,f(x)是曲 线y=f(x)的拐点 例3求曲线y=sinx+c0sx(0,2π内)的拐点 Rf y'=cosx-sinx, y"=-sin x-COS x y=-coSx+sinx. 7兀 令y"=0,得x1 31 x 3π /冗 ≠0,∫"() 2≠0
江西理工大学理学院 方法2: ( ) . ( ) 0, ( ) 0, ( , ( )) ( ) , 0 0 0 0 0 线 的拐点 而 那末 是曲 设函数 在 的邻域内三阶可导 且 y f x f x f x x f x f x x = ′′ = ′′′ ≠ 例3 求曲线 y = sin x + cos x ([0,2π]内)的拐点. 解 y′ = cos x − sin x , y′′ = −sin x − cos x , y′′′ = −cos x + sin x . 令 y′′ = 0, . 47 , 43 1 2 π = π 得 x = x ) 2 43( = π f ′′′ ≠ 0, ) 2 47( = − π f ′′′ ≠ 0