江画工太猩院 第6节 定积分的换元法
江西理工大学理学院 第 6 节 定积分的换元法
江画工太猩院 计算定积分的关键在于求被积函数的原函 数而求原函数需要换元积分时须把不定积分的 换元法运用到定积分上去 例1求 x√1+lnx d 1+Inx 解 x√1+ln√1+lnx 2(1+nx) =2(2-1)=2
江西理工大学理学院 计算定积分的关键在于求被积函数的原函 数 ,而求原函数需要换元积分时 ,须把不定积分的 换元法运用到定积分上去 . ∫ + 3 1 1 ln 1 e x x dx 例 求 解 ∫ ∫ + + = + 3 3 1 1 1 ln ( 1 ln ) 1 ln e e x d x x x dx 3 1 2 1 2 ( 1 ln ) e = + x = 2 ( 2 − 1 ) = 2
江画工太猩院 求原函数时,只凑微分而未换元,即原函数 的变量还是原被积函数的变量,代入上下限相 减即可 对形如山x的积分, 求原函数需换元x=sin,则求出的原函数 是以t为变量,必须退回为x的函数才能代入 上下限若在换元的同时把x的区间换为t的 区间计算会更简便这就是定积分的换元法
江西理工大学理学院 求原函数时,只凑微分而未换元,即原函数 的变量还是原被积函数的变量,代入上下限相 减即可. , 1 1 2 1 2 2 对形如∫ 的积分 −xx dx 求原函数需换元 x=sint ,则求出的原函数 是以 t 为变量,必须退回为 x 的函数才能代入 上下限.若在换元的同时把 x 的区间换为 t 的 区间,计算会更简便,这就是定积分的换元法
江画工太猩院 、定积分的换元公式 定理假设 (1)函数f(x)在,b上连续; (2)函数x=0(t)在(,月上是单值的且有连续 导数 (3)当变量t在区间[a,6上变化时,x=p() 的值在,b上变化,且g(a)=a、p(6)=b 有f(x)=fp(p(M
江西理工大学理学院 假设 定理 （1）函数 f (x)在[a,b]上连续； （2）函数x = ϕ(t)在[α, β ]上是单值的且有连续 导数； （3）当变量 t在区间[α, β ]上变化时，x = ϕ(t) 的值在[a,b]上变化，且ϕ(α ) = a、ϕ(β ) = b， 则 有 f x dx f t t dt b ∫a ∫ = ′ βα ( ) [ϕ( )]ϕ ( ) . 一、定积分的换元公式
观西理工大院 证∫(x)连续,x=p()、g(t)连续,故两边被积 函数的原函数存在,设F(x)是f(x)的原函数, 则有/(x)=F(b)-F( 令F()=(, df dx (t) =f(x)(t)=∫|p)p(t) dx dt Φ(t)是∫p(t)]p(t)的一个原函数 ∫p(t)lp(yt=p(β)-Φ(a) Flo(B)l-Flp(a)l
江西理工大学理学院 证 f (x)dx F(b) F(a), ba 则有 ∫ = − 令 F[ϕ(t)] = Φ(t), dt dx dx dF Φ′(t) = ⋅ = f (x)ϕ′(t) = f [ϕ(t)]ϕ′(t), [ϕ( )]ϕ′( ) = Φ(β) − Φ(α), ∫βα f t t dt ∴Φ(t)是 f [ϕ(t)]ϕ′(t)的一个原函数. f ( x)连续, x = ϕ(t)、 ϕ′(t)连续， 故两边被积 函数的原函数存在 ,设F( x)是f ( x)的原函数 , = F[ϕ(β )]− F[ϕ(α)]
江画工太猩院 o(ax)=a、p(B)=b, ()-(a)=Fp(6)-Fp(a) =F6-F(a), ,f(rMx=F(b)-F(@)=d(B)-(a) "p()l()M 注意:区间(a,B是引入函数x=g(t)x的 区间a,b得到的的区间[a,B,(aB),上述公式仍成立
江西理工大学理学院 ϕ(α) = a、ϕ(β) = b, Φ(β)−Φ(α) = F[ϕ(β)]− F[ϕ(α)] = F(b)− F(a), f (x)dx F(b) F(a) ba = − ∫ = Φ(β)−Φ(α) f [ (t)] (t)dt. ∫ = ′ βα ϕ ϕ 注意 :区间[α,β ]是引入函数 x = ϕ(t)由x的 区间[a,b]得到的t的区间[α,β ],(α β ),上述公式仍成立
江画工太猩院 应用换元公式时应注意 (1)代换x=()必须是单值,且@(O是积分区 间②,B上的连续函数 (2)用x=(把变量x换成新变量f时,积分限也 相应的改变 (3)求出∫p()jp'(t)的一个原函数Φ(t)后,不 必象计算不定积分那样再要把Φ()变换成 原变量x的函数,而只要把新变量t的上、 下限分别代入Φ(t)然后相减就行了
江西理工大学理学院 应用换元公式时应注意 : （ 1 ） 求出 f [ϕ ( t)]ϕ′( t )的一个原函数 Φ ( t )后，不 必象计算不定积分那样再要把 Φ ( t )变换成 原变量 x的函数，而只要把新变量 t的上、 下限分别代入 Φ ( t )然后相减就行了. （ 3 ） 代换 x = ϕ( t )必须是单值，且ϕ′( t )是积分区 间 [α, β]上的连续函数. （ 2 ） 用 x = ϕ( t )把变量 x换成新变量 t时，积分限也 相应的改变
江画工太猩院 d 例2计算 解令x=t,x=t2,b=2t, x=4时,t=2,x=9,t=3, d x tdt rt-1+1 dt=2,(1+,)dt 2 2+ln|t-1=2(1+lm2)
江西理工大学理学院 例2 计算 解 令 ∫ − 9 4 x 1 dx x = t, , 2 x = t dx = 2tdt, x = 4时,t = 2, x = 9时,t = 3, ∫ ∫ − = − ∴ 3 2 9 4 1 2 1 t tdt x dx ∫ ∫ − = + − − + = 3 2 3 2 ) 1 1 2 (1 1 1 1 2 dt t dt t t 3 2 = 2[t + ln | t − 1 |] = 2(1 + ln2)
江画工太猩院 例3求 3 dx x2√1+x 解令x=tant→=sec2t, r17°以a x=|时, x=、3时, sec t d t an sect t=」 3sin td sint=| sin- t sint 23 2)=2
江西理工大学理学院 ∫ + 3 1 2 2 x 1 x dx 求 解 , 3 , 3 , 4 1 , π π x = 时 t = x = 时 t = ∫ = ∫ + 34 2 2 3 1 2 2 tan sec sec 1 π π dt t t t x x dx dt t t = ∫ 3 4 2 sin cos π π 3 4 3 4 2 ] sin1 sin sin [ π π ππ t = ∫ td t = − − . 3 2 3 2) 2 32 = −( − = − tan sec , 2 令 x = t ⇒ dx = tdt 例3
江画工太猩院 例4求 2X d 解令x=ect→= sect. tanto, x=1→t=0,x=2→t 2x一 tant d x sect tan tdt sec t Isec t-1 dt=(sect-cost)dt sect In sect +tant|-sint13=In(2+N3)
江西理工大学理学院 例4 求 ∫ 2 − 1 2 2 1dx x x 解 3 1 0, 2 π x = ⇒ t = x = ⇒ t = ∫ 2 − 1 2 2 1dx x x t tdt t t sec tan sec tan 3 ∫0 2 = π = ∫ 3 − 0 (sec cos ) π t t dt ∫ − = 30 2 sec sec 1 π dt t t 3 0 [ln |sec tan | sin ] π = t + t − t . 2 3 = ln(2 + 3) − 令 x = sec t ⇒ dx = sec t ⋅ tantdt