江画工太猩院 第三节 全微分及其应用
江西理工大学理学院 第三节 全微分及其应用
江西理工大学理学院 全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f(x+,y)-f(x,y)(x,y) f(x,y+ Ay)-(x,)f (x, y) 二元函数 二元函数 对x和对y的偏增量对x和对y的偏微分
江西理工大学理学院 f (x + ∆x, y) − f (x, y) f x y x ≈ x ( , )∆ f (x, y + ∆y) − f (x, y) f x y y ≈ y ( , )∆ 二元函数 对x 和对 y的偏微分 二元函数 对x和对y的偏增量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、全微分的定义
江画工太猩院 全增量的概念 如果函数乙=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内 有定义,并设P(x+Ax,y+4y)为这邻域内的 任意一点,则称这两点的函数值之差 f(x+△x,y+Δy)-f∫(x,y) 为函数在点P对应于自变量增量△x,Ay的全增 量,记为Δ, 即Δz=f(x+△x,y+Δy)-f(x,y
江西理工大学理学院 如果函数z = f (x, y)在点(x, y)的某邻域内 有定义，并设P′(x + ∆x, y + ∆y)为这邻域内的 任意一点，则称这两点的函数值之差 f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量∆x,∆y的全增 量，记为∆z， 即 ∆z= f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) 全增量的概念
江画工太猩院 全微分的定义 如果函数乙=f(x,y)在点(x,y)的全增量 △z=∫(x+Ax,y+4y)-∫(x,y)可以表示为 △z=AΔx+BAy+0(p),其中A,B不依赖于 △x,△y而仅与x,y有关,p=△x)2+(4y)2 则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分, AAx+BAy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的 全微分,记为,即dz=A△x+B△y
江西理工大学理学院 如果函数z = f ( x, y)在点(x, y)的全增量 ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)可以表示为 ∆z = A∆x + B∆y + o(ρ )，其中A, B不依赖于 ∆x,∆y而仅与x, y有关， 2 2 ρ = (∆x) + (∆y) ， 则称函数z = f ( x, y)在点(x, y)可微分， A∆x + B∆y称为函数z = f ( x, y )在点(x, y)的 全微分，记为dz，即 dz=A∆x + B∆y. 全微分的定义
江画猩工式塑辱院 函数若在某区域D内各点处处可微分,则 称这函数在D内可微分 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,则 函数在该点连续 事实上Δ=Ax+By+(p),Iim△z=0, p→0 im∫(x+Δx,y+4y)=limf(x,y)+△z p-0 △y-0 f(x, y) 故函数乙=∫(x,y)在点(x,y)处连续
江西理工大学理学院 函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则 称这函数在 D 内可微分. 如果函数z = f (x, y)在点(x, y)可微分, 则 函数在该点连续. 事实上 ∆z = A∆x + B∆y + o(ρ ), lim 0, 0 ∆ = → z ρ lim ( , ) 0 0 f x x y y y x + ∆ + ∆ ∆ → ∆ → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + ∆z ρ→ = f (x, y) 故函数z = f ( x, y)在点( x, y)处连续
江画工太猩院 二、可微的条件 定理1(必要条件)如果函数z=∫(x,y)在点 (,可微分,则该函数在点()的偏导数 必存在,且函数z=∫(x,y)在点(x,y)的全微分 为 =。△x+。4y
江西理工大学理学院 二、可微的条件 定理 1（必要条件） 如果函数z = f (x, y)在点 (x, y)可微分，则该函数在点(x, y)的偏导数 x z ∂ ∂ 、 y z ∂ ∂ 必存在，且函数z = f (x, y)在点(x, y)的全微分 为 y y z x x z dz ∆ ∂∂ ∆ + ∂∂ = ．
江画工太猩院 证如果函数z=∫(x,y)在点P(x,y)可微分, P(x+△x,y+△y)∈P的某个邻域 △=A△x+BAy+0(p)总成立 当y=0时,上式仍成立,此时p=△xl, f(x+△x,y)-f(x,y)=AAx+o(△r|), lim f(x+ Ax, )-f(,)=4=Oz ax 同理可得B= y
江西理工大学理学院 证 如果函数z = f (x, y)在点P(x, y)可微分, P′( x + ∆x, y + ∆y)∈P的某个邻域 ∆z = A∆x + B∆y + o(ρ ) 总成立, 当∆y = 0时，上式仍成立，此时ρ =| ∆x |, f (x + ∆x, y) − f ( x, y) = A⋅ ∆x + o(| ∆x |), A x f x x y f x y x = ∆ + ∆ − ∆ → ( , ) ( , ) lim 0 , x z ∂ ∂ = 同理可得 . y z B ∂ ∂ =
江画工太猩院 一元函数在某点的导数存在<今微分存在 多元函数的各偏导数存在<今全微分存在 +y2≠0 y 例如,f(x,y)={√x2+y x2+y2=0 在点(0,0)处有 ∫(0,)=f1(0,0)=0
江西理工大学理学院 一元函数在某点的导数存在 微分存在． 多元函数的各偏导数存在 全微分存在． 例如， . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + x y x y x y xy f x y 在点 ( 0 , 0 )处有 f x ( 0 , 0 ) = f y ( 0 , 0 ) = 0
江画工太猩院 x·△ A-(0,0). Ax+f,(0,0) Ay= y (△x)2+(△y) 如果考虑点P(△x,△y)沿着直线y=x趋近于(0,0), △·△ 则(△2+(Ay))+(Ax2? △·△r1 说明它不能随着ρ→0而趋于0,当p→0时, Az-(0,0)△x+f1004l≠op) 函数在点(0,00不可微
江西理工大学理学院 z [ f (0,0) x f (0,0) y] ∆ − x ⋅ ∆ + y ⋅ ∆ , ( ) ( ) 2 2 x y x y ∆ + ∆ ∆ ⋅ ∆ = 如果考虑点P′(∆x,∆y)沿着直线 y = x趋近于(0,0)， 则 ρ 2 2 ( x) ( y) x y ∆ + ∆ ∆ ⋅ ∆ 2 2 ( x) ( x) x x ∆ + ∆ ∆ ⋅ ∆ = , 2 1 = 说明它不能随着ρ → 0而趋于 0, 当 时， ρ → 0 z [ f (0,0) x f (0,0) y] o(ρ ), ∆ − x ⋅ ∆ + y ⋅ ∆ ≠ 函数在点(0,0)处不可微
江画工太猩院 说明:多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在, 定理2(充分条件)如果函数z=∫(x,y)的偏 导数 在点(x,y)连续,则该函数在点 (x,y)可微分 证△z=f(x+△x,y+4y)-f(x,y) =f(x+Δx,y+Δy)-∫(x,y+Ay)l [∫(x,y+Δy)-∫(x,y)
江西理工大学理学院 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 定理２（充分条件） 如果函数z = f ( x, y)的偏 导数 x z ∂ ∂ 、 y z ∂ ∂ 在点( x, y)连续，则该函数在点 ( x, y)可微分． 证 ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y) = [ f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y)] + [ f (x, y + ∆y) − f (x, y)]