江画工太猩院 第十章 无穷般数
江西理工大学理学院 第十章 无穷级数
江画工太猩院 第一节 數项级数的 念及性质
江西理工大学理学院 第一节 数项级数的 概念及性质
江画工太猩院 问题的提出 计算圆的面积 R 正六边形的面积a1 正十二边形的面积a1+a2 正3×2形的面积a1+a2+…+an 即A≈a1+a2+…+an 1333 +— +…+—+ 3101001000 10″
江西理工大学理学院 一、问题的提出 1. 计算圆的面积 R 正六边形的面积 正十二边形的面积 a1 a1 + a2 正 形的面积 n 3× 2 a1 + a2 +L+ an n A ≈ a + a +L+ a 即 1 2 = + + +L+ n +L 10 3 1000 3 100 3 10 3 3 1 2
江画工太猩院 二、级数的概念 1.级数的定义 一般项 W1=L1+W2+W2+…+L n-=1 (常数项无穷级数 级数的部分和 Sn=l,+u, t Tu n 部分和数列 S1=W1,52=l1+W2,S3=l1+l2+l3,…', Sn=l1+l2+…+un
江西理工大学理学院 二、级数的概念 1. 级数的定义: ∑ = + + +L+ +L ∞ = n n un u1 u2 u3 u 1 (常数项)无穷级数 一般项 部分和数列 ∑ = = + + + = n i n u u un ui s 1 1 2 L 级数的部分和 , 1 u1 s = , 2 u1 u2 s = + , , s3 = u1 + u2 + u3 L sn = u1 + u2 +L+ un ,L
江画工太猩院 2.级数的收敛与发散: 当n无限增大时,如果级数∑Ln的部分和 -=1 数列S有极限s,即 lim s=S则称无穷级数 n→0 00 0o ∑u1收敛,这时极限叫做级数∑n的和并 -=1 H=1 写成 S=W1+L+…+n+ n 如果没有极限则称无穷级数∑n发散 n-=1
江西理工大学理学院 2. 级数的收敛与发散: 当 n无限增大时,如果级数 ∑ ∞ n = 1 u n 的部分和 数列 n s 有极限 s, 即 s s n n = → ∞ lim 则称无穷级数 ∑ ∞ n = 1 u n 收敛,这时极限 s叫做级数 ∑ ∞ n = 1 u n 的和.并 写成 s = u 1 + u 2 + L + u n + L 如果 n s 没有极限,则称无穷级数 ∑ ∞ n = 1 u n 发散
江画工太猩院 即常数项级数收敛(发散)令imsn存在(不存在) n1→0 余项=8-5n=lm1+n2+…=∑ n+I 即Sn≈S误差为r(imrn=0) 1→00 无穷级数收敛性举例:Koch雪花 做法:先给定一个正三角形,然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形.如此 类推在每条凸边上都做类似的操作,我们就得到 了面积有限而周长无限的图形“Koh雪花
江西理工大学理学院 即 常数项级数收敛(发散) ⇔ n n s → ∞ lim 存在(不存在) 余项 n n r = s − s = u n + 1 + u n + 2 + L ∑ ∞ = = + i 1 u n i 即 s s n ≈ 误差为 nr (lim = 0 ) → ∞ n n r 无穷级数收敛性举例：Koch雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花 ”．
江画工太猩院 观察雪花分形过程 设三角形 周长为P=3, 面积为A1=,; 第一次分叉: 周长为P2=P ‖播放 面积为A2=A1+3·A;依次类推
江西理工大学理学院 观察雪花分形过程 第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 2 1 1 2 1 A A A P P = + ⋅ ⋅ = 面积为 周长为 依次类推 ; 4 3 3, 1 1 = = A P 面积为 周长为 设三角形 播放播放
江画工太猩院 第n次分叉: 周长为P=()P1n=12, 面积为 A=4+34(y4 =A1+3A4+3.4·()241+…+3442·(A1 =A11+[+()+ 33939 39 n=2,3
江西理工大学理学院 ) 1,2,L 34( 1 1 = = − P P n n n ) ]} 91 3{4 [( 1 2 1 A A 1 A n n n n − − = − + 1 2 1 1 2 1 1 ) 91 ) 3 4 ( 91 3 4 ( 91 A 3 A A A n− n− = + ⋅ + ⋅ ⋅ +L+ ⋅ ⋅ n = 2,3,L 周长为 面积为 ) ]} 94( 31 ) 94( 31 ) 94( 31 31 {1 [ 2 2 1 − = + + + + + n A L 第 次分叉： n
江画工太猩院 于是有 limp=ao n→0 32、3 1m4=4(0+42=4(+=5 雪花的面积存在极限(收敛) 结论:雪花的周长是无界的,而面积有界
江西理工大学理学院 于是有 = ∞ →∞ n n lim P ) 9 4 1 3 1 lim 1(1 − = + →∞ An A n . 5 2 3 ) 53 = A1(1 + = 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界． 雪花的面积存在极限（收敛）．
江画工太猩院 例1讨论等比级数(几何级数) g"=a+mg+mg2+…+mq"+…(a≠0) 的收敛性 解如果≠时 n=a+ag+mg+…+m a-la
江西理工大学理学院 例 1 讨论等比级数(几何级数) ∑ = + + +L+ +L ∞ = n n n aq a aq aq aq 2 0 (a ≠ 0) 的收敛性. 解 如果 q ≠ 1时 2 −1 = + + + + n sn a aq aq L aq q a aqn − − = 1 , 1 1 q aq q a n − − − =