江画工太猩院 第3节 初等函数求导 高阶导数
江西理工大学理学院 第 3 节 初等函数求导 高阶导数
江西理工大学理学院 初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数公式 初等函数的导数仍为初等函数,下面给出 基本初等函数的求导公式: (1(C)=0 (2)(x)=x-1 (3) (sinx) =cosx (4) (cosx)'=-sin x ()(tanx)'= sec x 2 (6) (cotx)=-csc x (7) (secx)'=secxtanx (8) (csc)=-cscxcotx (9)(a) ina 10)(e) (11) (log,)= (12)(ln xina
江西理工大学理学院 一、初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数公式 ( 1 ) ( C )′ = 0 1 ( 2 ) ( ) − ′ = µ µ x µ x 初等函数的导数仍为初等函数，下面给出 基本初等函数的求导公式： ( 3 ) (sin x )′ = cos x ( 4 ) (cos x )′ = −sin x x x 2 ( 5 ) (tan )′ = sec x x 2 ( 6 ) (cot )′ = −csc ( 7 ) (sec x )′ = sec x tan x ( 8 ) (csc )′ = −csc x cot x x x a a a (10 ) ( e )′ = e x x ( 9 ) ( )′ = ln x x 1 (12 ) (ln )′ = x a x a ln 1 (11 ) (log )′ =
江画工太猩院 13)(arcsin.r '=I (14)(arccos.x) (15)(arctan) fr2(16)(arccot x 1+x 2函数的和、差、积、商的求导法则 设u=以(x),v=v(x)可导,则 (1)(n±v)=±,()(cu)=cm'(C是常数) (3)(mp)=nv+mp,(4)() u y-uv ≠
江西理工大学理学院 2.函数的和、差、积、商的求导法则 设u = u(x),v = v(x)可导，则 （1）(u v)′ = u′ v′, （2）(cu)′ = cu′ （3）(uv)′ = u′v + uv′, （4）( ) ( 0) 2 ≠ ′ − ′ ′ = v v u v uv v u . ± ± ( 是常数) C 2 1 1 (13) (arcsin ) x x − ′ = 2 1 1 (14) (arccos ) x x − ′ = − 2 1 1 (15) (arctan ) x x + ′ = 2 1 1 (16) ( cot ) x arc x + ′ = −
江画工太猩院 3复合函数的求导法则 设y=f(u),而=g(x则复合函数y=∫|(x)的 导数为中dm或y(x)=f(,y(x d x du dx 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数
江西理工大学理学院 3.复合函数的求导法则 ( ) ( ) ( ). ( ), ( ) [ ( )] y x f u x dxdu dudy dxdy y f u u x y f x ϕ ϕ ϕ = ⋅ ′ = ′ ⋅ ′ = = = 导数为 或 设 而 则复合函数 的 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解 决. 注意:初等函数的导数仍为初等函数
江画工太猩院 例1求函数y=x+x+《x的导数 1 解y= x+√x+√x 2x+√x+√x (x+√x)) 2、√x+√x+√x2√x+√x (1 2、x+、x+x2√x+x2、x 4x2+xx+2x+1 8√x+√x+√x·x2+x√x
江西理工大学理学院 例1 求函数 y = x + x + x 的导数. 解 ( ) 2 1 + + ′ + + ′ = x x x x x x y ( ) ) 2 1 (1 2 1 + ′ + + + + = x x x x x x x )) 2 1 (1 2 1 (1 2 1 x x x x x x + + + + + = . 8 4 2 1 2 2 x x x x x x x x x x + + ⋅ + + + + =
江画工太猩院 例2求函数y=f"lp(inx")的导数. 解 y=nfl(sin x ")·∫p"(sinx") np"(sinx")·g(sinx")·c0sx"·nxn1 n.x"-cosx"f"-Io"(sin x") (sinx")fio"(sinx")) (sinx")
江西理工大学理学院 例2 求函数 [ (sin )]的导数. n n n y = f ϕ x 解 [ (sin )] [ (sin )] n 1 n n n n y′ = nf ϕ x ⋅ f ′ ϕ x − (sin ) (sin ) n 1 n n ⋅ nϕ x ⋅ ϕ′ x − 1 cos − ⋅ ⋅ n n x nx (sin ) [ (sin )] (sin ). cos [ (sin )] 1 3 1 1 n n n n n n n n n n x f x x n x x f x ϕ ⋅ ′ ϕ ⋅ ϕ′ = ⋅ ⋅ ϕ ⋅ − − −
江画工太猩院 高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度 设s=f(0,则瞬时速度为vt)=f( 加速度a是速度对时间变化率 a(t)=v(t)=∫(t) 定义如果函数f(x的导数f(x)在点处可导,即 ((x)=lim ∫(x+△x)-f(x) △v 存在则称((x)为函数f(x)在点x处的二阶导数
江西理工大学理学院 二、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度 . 设 s = f ( t), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t ) Q加速度 a是速度 v对时间 t的变化率 ∴ a ( t ) = v′( t ) = [ f ′( t ) ]′. 定义 , ( ( ) ) ( ) . ( ) ( ) ( ( ) ) lim ( ) ( ) , 0 存在 则称 为函数 在点 处的二阶导数 如果函数 的导数 在点 处可导 即 f x f x x x f x x f x f x f x f x x x ′ ′ ∆ ′ + ∆ − ′ ′ ′ = ′ ∆ →
江画工太猩院 记作r(x)y,或“() d x d x dy 二阶导数的导数称为三阶导数,f"(x),y 三阶导数的导数称为四阶导数,八(xd dx 一般地,函数f(x)的n-阶导数的导数称为 函数f(x)n阶导数记作 f(r),y d yn df(r) d d x 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 相应地,∫f(x)称为零阶导数;f(x)称为一阶导数
江西理工大学理学院 记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dxd y f ′′ x y′′ 或 函数 的 阶导数 记作 一般地 函数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dxd y f x y 或 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地 , f ( x)称为零阶导数 ; f ′( x)称为一阶导数 . ( ), , . 3 3 dx d y 二阶导数的导数称为三阶导数 f ′′′ x y′′′ , ( ), , . 4 4 (4) (4) dx d y f x y
江画工太猩院 、高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数 例3设y= arctan x,求f"(0),f"(0) 2x 解 1+x 1+x r 2xy23x2-1) (1+x (1+x 2x x=0=0;f"(0) 2(3x2-1) 2 (1+x2)2 (1 X
江西理工大学理学院 三、 高阶导数求法举例 例3 设 y = arctan x , 求f ′′( 0), f ′′′( 0). 解 2 1 1 x y + ′ = ) 1 1 ( 2 ′ + ′′ = x y 2 2 ( 1 ) 2 x x + − = ) ( 1 ) 2 ( 2 2 ′ + − ′′′ = x x y 2 3 2 ( 1 ) 2 ( 3 1 ) x x + − = 2 2 0 ( 1 ) 2 ( 0 ) = + − ∴ ′′ = x x x f 2 3 0 2 ( 1 ) 2 ( 3 1 ) ( 0 ) = + − ′′′ = x x x = 0 ; f = − 2. 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数
江画工太猩院 例4设y=x(∈R),求y 解y=ax c-1 =(ox)=0(0-1)x -2 J"=(o(- )=0(-1)(a-2)xa3 y=a(a-1)…(a-n+1)x.n(n≥1) 若a为自然数n,则 (m)=(r"n)=n (n1+1
江西理工大学理学院 例4 ( ), . (n) 设 y = x α∈ R 求y α 解 α−1 y′ = αx ( ) 1 ′′ = α ′ α− y x 2 ( 1) α− = α α − x LL 3 ( 1)( 2) α− ( ( 1) ) = α α − α − x 2 ′′′ = α α − ′ α− y x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) = α α − α − + ≥ α− y n x n n L n 若 α 为自然数 n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = ′ + y n n = 0