(数学模型 微分方程
微 分 方 程
§1、微分方程稳定性理论简介 般方程 =F(t,x), (0) x1 (fi(t, x) 其中x=∈",f(t,x)=∈r Xn f (t,x)) 设(a,b)R,DCR,当F(t,x)在(a,b)×D连续, 且关于x有连续的一阶偏导数时,对任意 (to,xo)∈(a,b)×D,方程组(0)存在唯一的解(积分曲 线)x=(tto,)满足x(to)=xo
2 一般方程 1 , n n x x R x 1 ( , ) ( , ) . ( , ) n n f t x F t x R f t x 其中 x F(t, x), (0) §1、微分方程稳定性理论简介
(数学模型 当方程组(0)的右端不显含t时,即 x=f(x), 称(1)为自治微分方程组(自治系统),R"称为相空间 方程组(1)在相空间中确定了一个速度场,f(x) 表示点x处速度的第个分量。φ(t;t0,x)是速度场中 的一个运动,这一表达式给出了动点在运动时的路 线,称为轨线。轨线也可理解为x=p(;t0,x0)在相空 间的投影
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(数学模型 定义1若存在x∈R使得F(x*)=0,则称x*是 方程组(1)的平衡点(或奇点)。x=x称为平衡解。 定义2设x*=(x1*,…,x)是方程组(1)的平 衡点,x=x(t)=(x1(1),,xn(t)是方程组(1)的任 解,如果存在κ*的某邻域U(x*),使得当 x(to)∈U(x)时,必有limx;(t)=x;(=1,…,n), 则称x是稳定的(稳定性理论中称渐进稳定);否 则,称x*是不稳定的(非渐进稳定的)
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(数学模型 判定平衡点稳定性的两种方法 (1)间接法求出解的表达式,再由稳定性的定义判 定平衡点的稳定性。 (2)直接法不求解,直接利用微分方程的性质判定 平衡点的稳定性
5 判定平衡点稳定性的两种方法： (1) 间接法——求出解的表达式，再由稳定性的定义判 定平衡点的稳定性。 (2) 直接法——不求解，直接利用微分方程的性质判定 平衡点的稳定性
(数学模型 阶自治方程的平衡点及稳定性 x=∫(x) 定理1设x0是方程(2)的平衡点,即f(x0)=0 当f(x0)0时,x是方程(2)的不稳定平衡点 定理2设x是方程(2)在U(x0)的唯一平衡点, f(x)在U(x0)连续,f(x0)=0.如果当δ0,当0<x-x0<8时f(x)<0,则x是方程 (2)的稳定平衡点;否则,x是方程(2)的不稳定平衡 点.6
6 一阶自治方程的平衡点及稳定性 x f (x) (2)
(数学模型 阶自治方程组的平衡点及稳定性 1、线性系统 x=ax+ a2y j=b,x+b 称为系数矩阵 当detA≠0时,方程组(5)只有唯一奇点O(0,0),称为初等 奇点,其稳定性由(5)的特征方程det(A-A)=0的根孔(特 征根)决定: 当特征根的实部均小于零时,奇点是稳定的;当存在实 部大于零的特征根时,奇点是不稳定的
7 一阶自治方程组的平衡点及稳定性 1、线性系统 1 2 1 2 a a A b b 称为系数矩阵 y b x b y x a x a y 1 2 1 2 (3) 当特征根的实部均小于零时，奇点是稳定的；当存在实 部大于零的特征根时，奇点是不稳定的
(数学模型 det(a an) 0 →x2-(a1+b2)元+(a1b2-a2b1)=0 记 P=-(a1+b2 q=det a=a,b2 -,b1, →22+p元+q=0 不稳定结点区 不稳定焦点区 稳定焦点区 稳定结点区 鞍点区 2 2(p+ 4c 8
8 ( ) ( ) 0 1 2 1 2 2 1 2 a b a b a b 记 1 2 p (a b ), det( ) 0 1 2 1 2 b b a a A I 0 2 p q d 1 2 2 1 q et A a b a b , 2 1,2 1 ( 4 ) 2 p p q p 4q 2 p q O 鞍点区 稳 定 结 点 区 不 稳 定 结 点 区 稳 定 焦 点 区 不 稳 定 焦 点 区 中 心 区 p 4q 2 p q O
(数学模型 2、非线性系统 「x=∫(x,y) j=g(x,y) 设系统(4)有孤立奇点P(x,y0),且∫,g在P处可微.将 f,g在P处作 Taylor展开,只取一次项,得(4)的阶近 似方程组: x=a,=x+a 2 (5) 0 b1(x-x)+b2(y-y) 其中a1=f(x",y9),a2=f(x0,p),b1=8x(x",y"), b2=g,(x°,y) y
9 2、非线性系统 ( , ) ( , ) y g x y x f x y (4) 0 0 1 2 0 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x a x x a y y y b x x b y y (5)
(数学模型 定理3当A的特征值不具有零实部时,非线性系统 (4)在奇点附近的相轨线性状由它的一次近似系统(5)决 定。当特征值的实部均小于零时,奇点是稳定的;当存在 实部大于零的特征值时,奇点是不稳定的。 注:对非线性方程 而言,平衡点的稳定性 往往指的是局部稳定 性,若要讨论全局稳定 性,可以用相轨线分析 g(x,y)=0 方法讨论
10 O x y g(x, y) 0 f (x, y) 0 P0