2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 第8讲广义积分阶段综合问题 81广义积分的定义及收敛性 定积分研究的问题:有界函数在有界区间上的积分 广义积分研究的问题:有界函数在无界区间上的积分(第1类).无界函 数在有界区间上的积分(第2类) 定义8.1(第一类广义积分)设函数f(x)在[a,+∞)内的任意有限区间可积 并且极限im[∫(x)dx存在,则称f(x)在[a,+∞)广义积分收敛,其 广义积分为厂f(x)=mJ(x),若不收敛则称广义积分发散 定义8.2(第二类广义积分)设函数f(x)在[a,b)内的任意有限闭子区间可 积,并且极限1im「fx存在,则称f(x)在ab)上的广义积分 收斂其广义积分为 ∫r(x)tx=limJ”f(x)k 同样我们可以定义其它广义积分的收敛性 f(x)x=1m「fx)x,「f(xlx=lmn「f(x)lx。 A→a 82收敛性的判断准则 8.2.1第一类广义积分收敛性的判断准则 准则81若第一类广义积分∫(x)收敛则厂。f(x)x定收敛 此时称f(x)dx绝对收敛 当厂f(x)收敛,而「(x)方发散时称广义积分条件收敛 准则82若[a+∞)变限积分f()d单调有界,则f(x)dx-定收 斂。特别,非负函数f(x)在[a+0)上有界,则f(x)x一定收敛。 准则8.3(直接比较法)非负函数0≤f(x)≤g(x),x∈[a,+∞),若 g(x)收敛,∫”f(x)一定收歙;若「f(x)发散 g(x)dx一定发散 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 第 8 讲 广义积分 阶段综合问题 8.1 广义积分的定义及收敛性 定积分研究的问题: 有界函数在有界区间上的积分. 广义积分研究的问题: 有界函数在无界区间上的积分（第 1 类）.无界函 数在有界区间上的积分（第 2 类）。 定义 8.1 (第一类广义积分)设函数 f (x) 在[a,+∞) 内的任意有限区间可积, 并且极限 ∫ 存在, 则称 在 →+∞ A A a lim f (x)dx f (x) [a,+∞) 广义积分收敛,其 广义积分为 ，若不收敛,则称广义积分发散。 ∫ ∫ →+∞ +∞ = A a A a f (x)dx lim f (x)dx 定义 8.2 (第二类广义积分)设函数 在 内的任意有限闭子区间可 积, 并且极限 存在, 则称 在 上的广义积分 收敛,其广义积分为 f (x) [a,b) − ∫ → B B b a lim f (x)dx f (x) [a,b) ∫ − ∫ → = B B b a b a f (x)dx lim f (x)dx 。 同样我们可以定义其它广义积分的收敛性: ∫ ∫ −∞ →−∞ = a A A a f (x)dx lim f (x)dx , 。 ∫ + ∫ → = b A a A b a f (x)dx lim f (x)dx 8.2 收敛性的判断准则 8.2.1 第一类广义积分收敛性的判断准则 准则 8.1 若第一类广义积分 ∫ +∞ a f (x) dx 收敛,则 一定收敛, 此时称 绝对收敛. ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 当 ∫ 收敛，而 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a f (x) dx 方发散时,称广义积分条件收敛. 准则 8.2 若 变限积分 单调有界，则 一定收 敛。特别，非负函数 在 上有界，则 一定收敛。 [a,+∞) ∫ x a f (t)dt ∫ +∞ a f (x)dx f (x) [a,+∞) ∫ +∞ a f (x)dx 准 则 8.3( 直接比较 法)非负函 数 0 ≤ f (x) ≤ g(x), x ∈[a,+∞) , 若 收敛, 一定收敛; 若 发散, 一定发散. ∫ +∞ a g(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 1 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 准则84(极限比较法)设f(x),g(x)[a,+∞)内的任意有限区间可 积,g(x)非负,且limf(x)=A,则 x→g(x) )当2≠0时,广义积分”f(x)与厂g(xk有相同的敛散性; ()当=0时,广义积分”g(x)收则「f(x)收敛; ()当A=∞时,广义积分f(x)收敛则厂8(x)收敛 准则8.5(尺度法 bx女x(>0)当p>1时收敛当p≤1时发散 因此,若imxf(x)=220,且P>1,则.f(x)x收敛。 例8.1判断 xInx =dx的收敛性 【解】由 lim Inx 0,存在X>0,使得当x>X>0时,lnx1,由直接比较法,收敛 arctan x 例82判断 dx的收敛性 解】与「比教,由极限比较法:∫" arctan xdx收敛 例8.3判断 的收敛性 解】xinx=mx30(x→+),因此P>1时厂在一收做 P=1时,∫ xInx p<1时,与厂比较,可知lm 因此答案为:P≥1时收敛,p<1时发散。 8.22第二类广义积分收敛性的判断准则 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 准 则 8.4( 极限比较 法 ) 设 f (x), g(x) [a,+∞) 内的任意有 限区间可 积, g(x) 非负, 且 = λ →+∞ ( ) ( ) lim g x f x x , 则 (1) 当λ ≠ 0 时, 广义积分 与 有相同的敛散性; ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx (2) 当λ = 0 时, 广义积分 ∫ 收敛则 收敛; +∞ a g(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx (3) 当λ = ∞时, 广义积分 收敛则 收敛. ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx 准则 8.5 （尺度法） dx x a ∫ p +∞ 1 (a > 0) 当 p >1时收敛;当 p ≤1时发散. 因此，若 lim ( ) = ≥ 0 ,且 ,则 收敛。 →+∞ x f x λ p x p >1 ∫ +∞ a f (x)dx 例 8.1 判断 dx x x x ∫ +∞ + 1 5 1 ln 的收敛性. 【解】 由 0 ln lim 3 = →+∞ x x x ，存在 X > 0 ，使得当 x > X > 0 时， 3 ln x + 1时 ∫ +∞ e p x x dx 2 ln 收敛. p = 1时， ∫ +∞ →+∞ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − e B B e x x x dx 1 ln 1 lim ln2 ， p <1时，与 ∫ +∞ e x dx 比较，可知 x n x p x 1 2 1 lim − →+∞ = +∞ ， 因此答案为： p ≥1时收敛， p <1时发散。 8.2.2 第二类广义积分收敛性的判断准则 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 2 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 准则86若第二类广义积分广(x收敛∫f(x)b一定收敛,此时 称」f(x)d绝对收敛」f(x)x收敛而(x)方发散则称广义积 分条件收敛 准则87(直接比较法)非负函数0≤f(x)≤g(x),x∈[a,b),若 g(x)d收敛,f(x)d一定收敛;若f(x)d发散,g(x)dr- 定发散 准则8.8函数(极限比较法)∫(x)g(x)在[{a,b)内的任意区间上可 积,g(x)非负,且1im∫(x)=A,则 1)当A≠0时,广义积分f(x)d与g(x)有相同的敛散性 (2)当λ=0时,广义积分g(x)收敛则f(x)d收敛 (3)当=∞时,广义积分f(x)x收敛则」g(x)d收敛 准则8.9(尺度法 dx当p<1收敛,p≥1时发散.因此,若 i(x-b)f(x)=λ≥0,且p<1,则[∫(x)d收敛。 例84判断广义积分 dx的收敛性 【解】 . sIn 2√Snx 第一个积分显然收敛,对第二个积分令x-丌=t,ax=dt, —dx=-√sin dt ,收敛 sinx 例85计算∫ dx (1+5x2) 【解】取变换x=tanl,as、 则 1+ 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 准则 8.6 若第二类广义积分 ∫ b a f (x) dx 收敛, 一定收敛, 此时 称 绝对收敛. 收敛而 ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x) dx 方发散,则称广义积 分条件收敛. 准 则 8.7 (直接比较法)非负函数 0 ≤ f (x) ≤ g(x), x∈[a,b) , 若 收敛, 一定收敛; 若 发散, 一 定发散. ∫ b a g(x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx 准则 8.8 函数(极限比较法 ) 在 内的任意区间上可 积, 非负, 且 f (x), g(x) [a,b) g(x) = λ → − ( ) ( ) lim g x f x x b , 则 (1) 当λ ≠ 0 时, 广义积分 与 有相同的敛散性; ∫ b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx (2) 当λ = 0 时, 广义积分 收敛则 收敛; ∫ b a g(x)dx ∫ b a f (x)dx (3) 当λ = ∞时, 广义积分 收敛则 收敛. ∫ b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx 准则 8.9（尺度法） dx x b b a ∫ p ( − ) 1 当 p <1收敛， 时发散. 因此，若 ,且 ,则 ∫ 收敛。 p ≥1 lim( − ) ( ) = ≥ 0 → − x b f x λ p x b p <1 b a f (x)dx 例 8.4 判断广义积分 dx x ∫ π 0 sin 1 的收敛性. 【解】 dx x ∫ π 0 sin 1 dx x dx x ∫ ∫ = + π π π 2 2 0 sin 1 sin 1 ， 第一个积分显然收敛，对第二个积分令 x −π = t, dx = dt ， dx x dt t dx x ∫ ∫ ∫ = − = 2 0 0 2 2 sin 1 sin 1 sin 1 π π π π ，收敛. 例 8.5 计算 ∫ +∞ + + 0 2 2 (1 5 ) 1 1 dx x x 。 【解】取变换 2 1 tan , t dt x t dx + = = ，则 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 3 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 sec t dt 01+5tan't 01+4sin2t2 arctan(2sin(2=-arctan2 2 例8.6设常数a>0,若 则 【解】 arctan a= arctan a, arctan=-.a=1 例8.7计算 arctan x 【解】 arctan xd() =--arctanx dx +li x 1+x +lim [=In(1+6-)+=In 2] In 2 例88 ct·tant d=12dt=或令x 用凑微分法,则 dx (--2)dt dt= arcsin= 例89广义积分 答案:- arccose 【解】取变换e=sect,则 x= In(sect ), e dx= sect tan tdt tan t -dt=--arccose= arcsine 例8.10计算广义积分∫xlm”xd 【解】采用分部积分,即有 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ∫ + = 2 0 2 1 5 tan sec π dt t t I arctan 2 2 1 arctan(2sin ) 2 1 1 4sin sin 2 0 2 0 2 = = + = ∫ π π t t d t 例 8.6 设常数 a > 0 ,若 ∫ ∫ +∞ + = + a a dx x dx x 2 0 2 1 1 1 1 ,则 a = 。 【解】 a arctan a 2 arctan = − π ， , 1 4 arctan a = a = π . 例 8.7 计算 ∫ +∞ 1 2 arctan dx x x . 【解】 ) 1 arctan ( arctan 1 1 ∫ 2 ∫ +∞ +∞ = − x dx xd x x ∫ +∞ +∞ + = − + 1 1 2 (1 ) 1 1 dx x x arctanx x dx x x x b b ) 1 1 lim ( 4 2 1 + = + − ∫ →+∞ π ln 2] 2 1 ln(1 ) 2 1 lim[ln 4 2 = + − + + →+∞ b b b π ln 2 2 1 4 = + π 例 8.8 ∫ +∞ = − 1 2 x x 1 dx 。 【解】 ∫ ∫ ∫ +∞ = = = ⋅ ⋅ = − 1 2 0 2 0 sec 2 sec tan 2 sec tan 1 π π π dt dt t t t t x x dx x t 或令 t x 1 = ， 用凑微分法，则 ∫ ∫ − − = − +∞ 0 1 2 2 1 2 ) 1 ( 1 1 1 dt t t t x x dx ∫ = = − = 1 0 2 0 2 1 arcsin 1 1 π dt t t . 例 8.9 广义积分 = − ∫ +∞ 1 2 1 x e dx . 答案： 1 arccos 2 − − e π . 【解】取变换e t ，则 x = sec x t e dx t tdt x = ln(sec ), = sec tan ， 1 1 2 arccos arccos arcsin tan 2 tan 1 − − = = − = ∫ − dt e e t t I e π π 例 8.10 计算广义积分 x xdx 。 n ∫ 1 0 ln 【解】 采用分部积分，即有 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 4 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 1=2x2m”x-2 x"-x.dx=-2- n (-1)"n! 2 或l n 补1.(20072-18)(本题满分1)设D是位于曲线y=√xa2(a>1,0≤x≤+∞)下方 x轴上方的无界区域 (I)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a) (Ⅱ)当a为何值时,V(a)最小?并求此最小值 Ina x In a 【解】(I)(a)= r.xa adx=r n”1+∫x a--Ina -In a In a (I)W(u、2m2 令V'(a)=0得唯一驻点a=e,V(a)在a=e两侧变 In a In3 号,且为先正后负,所以V(e)=e2r为最小值 8.3阶段复习综合问题 定积分定义在考研中的应用用于求特定极限 运用定积分求极限用公式为m=∑na+b=)=(x 其中k=∫(5k) =△ 例8.11求极限lim。答案:-。(清华大学考研辅导班2004强化班例题) 【解】记ynn ,则1my=lm2=1∑mk-lmn, k=1 或记为 lnyn=C∑lk-mln)=∑(k-lnn)=∑mn, n k=l n 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 5www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 1 1 0 2 1 1 0 2 2 1 ln 2 1 ln 2 1 − − = − ⋅ = − ∫ n n n n I n dx x I x x x n x 2 1 2 ( 1) ! 2 1 2 − + − ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − n n n n I n n L . 或 1 1 2 , 4 1 = − n = − n− I n I I 。 补 1. （2007-2-18）（本题满分 11）设 D 是位于曲线 ( 1, 0 ) 2 = > ≤ ≤ +∞ − y xa a x a x 下方、 x 轴上方的无界区域。 （Ⅰ）求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积V (a) ； （Ⅱ）当 a 为何值时，V (a) 最小？并求此最小值。 【解】（Ⅰ） a x a xe d a a V a xa dx a a x a x ln ln ( ) 0 ln ∫0 ∫ +∞ − +∞ − = π = π a a x xde a a ln 0 ln +∞ − ∫ = π ∫ +∞ − +∞ − − = − + 0 ln 2 2 0 ln ln ln ln x a a e d a a e a ax a a x a a x π π a a e a a a a x 2 2 0 ln 2 2 ln ln 0 π = − π = +∞ − （Ⅱ）V ′(a) a a a a 2 3 ln 2 ln 2π π = − ，令V ′(a) = 0 得唯一驻点a = e， 在 两侧变 号，且为先正后负，所以 为最小值。 V (a) a = e π 2 V(e) = e 8.3 阶段复习综合问题 定积分定义在考研中的应用 用于求特定极限 运用定积分求极限常用公式为 ∑ ∫ = − + − = →∞ b a n k k f x dx n b a f a n b a lim ( ) ( ) 1 n 。 其中 ( ) k k f n b a = ξ − ， k x n b a = ∆ − 。 例 8.11 求极限 n n n ! limn→∞ 。答案： e 1 。（清华大学考研辅导班 2004 强化班例题） 【解】 记 n n y n n ! = ，则 k n n n n y n k n n ln ln ! 1 ln ln 1 = = ∑ − = ， 或记为 ( ln ln ) 1 ln 1 k n n n y n k n = ∑ − = (ln ln ) 1 1 k n n n k = ∑ − = ∑= = n k n k n 1 ln 1 ， 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 5 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 极限 lim In y=lim-∑n-等于广义积分[ Inxdx的值, nn k=l n k-1 k 相应于将区间[0,1分割成 ](k=1,2,…,n)的积分和式的极限 且积分和式中的f()=ln 注意到广义积分nx为第二类广义积分,并且收敏,于是 lim In yn lim->In-=In xdx=(xlnx-x=-1, 所以imyn=lim=-。 n 类似方法可以计算lm=∑i= sin dr n- n k=l k 其中A 5k 请看2004年考题 (2004-209) lim In a ll1+-|1+ n 等于[B] (A),In'xdx (B2[Inxdx ()∫m+x(D)(+x)h 【解】 lim In1+-1 lin n→n =2lim- 2 In(1+x)dx=2.In tdt=(B n→nk=1l 2 In tdt=2(tInt-o,=4 In2-2 例812设an=5「 n/(n+1) xⅥ1+x"dx,则 lim na=[B] (A)(l+e)+1。(B)(1 (C)(1+)3 (D)(1+e)32-1。 【解】积分得 (1+x")2d(1+x") 2 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 极限 n n lim ln y →∞ ∑= →∞ = n k n n k n 1 ln 1 lim 等于广义积分 的值， ∫ 1 0 ln xdx 相应于将区间[0,1]分割成 , ]( 1, 2, , ) 1 [ k n n k n k = L − 的积分和式的极限， 且积分和式中的 n k f k (ξ ) = ln 。 注意到广义积分 为第二类广义积分，并且收敛，于是 ∫ 1 0 ln xdx n n lim ln y →∞ ∑= →∞ = n k n n k n 1 ln 1 lim ∫ = 1 0 ln xdx ( ln ) 1 1 0 = x x − x = − ， 所以 n n y →∞ lim = = →∞ n n n ! limn e 1 。 类似方法可以计算 π π π 2 sin sin `1 lim 1 0 1 = = ∑ ∫ = →∞ xdx n k n n k n 。 其中 n k k xk k π ,sinξ sin 1 ∆ = = 。请看 2004 年考题： （2004-209） n n n n n n 2 2 2 1 2 1 1 limln 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + →∞ L 等于 [B] ( )∫ Α 2 1 2 ln xdx. ( ) ∫ Β 2 1 2 ln xdx. ( ) ( ) ∫ + 2 1 C 2 ln 1 x dx. ( ) ( ) ∫ + 2 1 2 D ln 1 x dx. 【解】 n n n n n n 2 2 2 1 2 1 1 limln 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + →∞ L ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + →∞ n n n n n n 1 2 1 1 ln 1 2 lim L ∑= →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + n k n n k n 1 ln 1 1 2 lim ( ) ∫ = + 1 0 2 ln 1 x dx ∫ = 2 1 2 ln tdt = (B)。 2 ln 2( ln ) 4 ln 2 2 2 1 2 1 = = − = − ∫ tdt t t t 例 8.12 设 ∫ + − = + ( 1) 0 1 1 2 3 n n n n an x x dx ，则 = →∞ n n lim na [ B ]。 (A)(1 ) 1。 (B) 3 / 2 + e + ) 1 1 (1 3/ 2 + − e 。 (C) ) 1 1 (1 3 / 2 + + e 。 (D)(1 ) 1。 3/ 2 + e − 【解】 积分得 (1 ) (1 ) 1 2 3 1 2 /( 1) 0 n n n n n x d x n a = ⋅ + + ∫ + 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 6 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 1+x") 取极限得 lim na=lin+(-)]2-1=(1+-)2-1 n→① 例813已知f(e)=xe,且f(l)=0,则f(x)=(nx) 【分析】先求出∫(x)的表达式,再积分即可。 【解】令e=t,则x=lnt,于是有 Int f(1) 即f(x) x 积分得f(x)=2=5(mx)2+C、利用初始条件/()=0,得C=,故所求 函数为f(x)=(nx)2 例8.14设f(x)= 则|f(x-1)atr=、1 【分析】对分段函数的定积分,先取区间变换:x-1=1,再利用对称区间上奇偶函 的积分性质 【解】令x-1=1, (x-1k=」1(=」.(x) 2x+(-)k=0+(-2)= ex,x≤0 例8.15设F(x)={-2xx>0 S表示夹在x轴与曲线y=F(x)之间的面积。对 任何1>0,S1(1)表示矩形-1≤x≤,0≤y≤F(1)的面积求 (1)S()=S-S1(1)的表达式 (2)S()的最小值 【分析】曲线y=F(x)关于y轴对称,x轴与曲线y=F(x)围成一无界区域,所以 面积S可用广义积分表示.,属于基本题型 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 7www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 = 1 0 3 / 2 (1 ) 1 + n+ n n x n = ) ) 1] 1 [(1 ( 1 3 / 2 − + + n n n n 取极限得 ) 1 1 ) ] 1 (1 1 lim lim[1 ( 3 / 2 3 / 2 − = + − + = + →∞ →∞ n e n na n n n n 例 8.13 已知 ，且 x x f e xe− ′( ) = f (1) = 0 , 则 f (x) = 2 (ln ) 2 1 x . 【分析】 先求出 f ′(x) 的表达式，再积分即可。 【解】 令ex = t ，则 x = lnt ，于是有 t t f t ln ′( ) = ， 即 . ln ( ) x x f ′ x = 积分得 dx x C x x f x = = + ∫ 2 (ln ) 2 ln 1 ( ) . 利用初始条件 f (1) = 0 , 得 C=0，故所求 函数为 f (x) = 2 (ln ) 2 1 x . 例 8.14 设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≥ − ≤ 0， 表示矩形−t ≤ x ≤ t，0 ≤ y ≤ F(t)的面积. 求 ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ = − , 0 , 0 ( ) 2 2 e x e x F x x x ( ) 1 S t (1) S(t) = S − S1(t) 的表达式； (2) S(t)的最小值. 【分析】曲线 y = F(x)关于 y 轴对称，x 轴与曲线 y = F(x)围成一无界区域，所以， 面积 S 可用广义积分表示. ，属于基本题型。 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 7 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 【解】()S=2e-2dk=-c26 矩形-≤x≤1,0≤y≤FO的面积为S(1)=2e-2 因此S()=1-21e,t∈(0,+∞) (I由于S(1)=-2(1-2n)e-2,故SO的唯一驻点为/≈1 又S()=8(1-1)e2,S"()=->0 所以,S()=1--为极小值,它也是最小值 例8.16设∫(x)在(-∞,+∞)上连续,且f(x)>0,f(-1)=f(1) (x)=x-|/(0t (1)证明当x∈[-a,a]时,F'(x)单调增 (2)x为何值时F(x)取最小值 (3)当把F(x)的最小值记为a的函数f(a)-a2-1时,试求f(x) 【解】(1)x∈[-a,a], F(x)=(r-Df(dt+(-x)f(dt xf(x)+f(rdt-xf(x)-xf(x)+rf(x)-f(r)dr F"(x)=f(x)+f(x)=2f(x)>0,x∈[-a,a 故F(x)单调增 (2)F(x)=n(M+oMt=(-n)-m)+0t 因为f(x)>0,F(x)=0有唯一解x=0.由F"(0)>0知x=0是F(x)的极小值 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 8www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 【解】(I) 2 1 0 2 0 2 = = − = +∞ − +∞ − ∫ x x S e dx e ， 矩形−t ≤ x ≤ t，0 ≤ y ≤ F(t)的面积为 ， t S t te 2 1( ) 2 − = 因此 ，t ∈ (0 , +∞). t S t te 2 ( ) 1 2 − = − (II) 由于 ，故 S(t)的唯一驻点为 t S t t e 2 ( ) 2(1 2 ) − ′ = − − 2 1 t = ， 又 ， t S t t e 2 ( ) 8(1 ) − ′′ = − 0 4 ) 2 1 ′′( = > e S ， 所以， e S 1 ) 1 2 1 ( = − 为极小值，它也是最小值. 例 8.16 设 f (x) 在(−∞,+∞) 上连续，且 f (x) > 0, f (−t) = f (t) ， ∫− = − a a F(x) | x t | f (t)dt （1）证明当 x∈[−a, a]时， F′(x) 单调增； （2） x 为何值时 F(x) 取最小值； （3）当把 F(x) 的最小值记为 a 的函数 ( ) 1时，试求 ． 2 f a − a − f (x) 【解】（１） x∈[−a, a]， ∫ ∫ = − + − − a x x a F(x) (x t) f (t)dt (t x) f (t)dt F′(x) ∫ ∫ ∫ ∫ = + = + − − + − − − x a x a a x x a f t dt f t dt xf x f t dt xf x xf x xf x f t dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F′′(x) = f (x) + f (x) = 2 f (x) > 0, x∈[−a, a] 故 F′(x) 单调增． （２） ∫ ∫ ′ = + − x a x a F (x) f (t)dt f (t)dt ∫ ∫ = − − + − x a x a f ( u)d( u) f (t)dt ∫ ∫ ∫− − = − + = x x x a x a f (t)dt f (t)dt f (t)dt 因为 f (x) > 0，F′(x) = 0有唯一解 x = 0．由 F′′(0) > 0 知 x = 0是 的极小值 点． F(x) 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 8 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 (3)FO)=20()0h=/a)-a2-1,f(0)=1,对a求导得到一阶线性方程 2af(a)=f(a)-2a, f(a) 由f(0)=1,C=2,得到f(x)=2。x2-1 例8.17设f(x)在(a,b)内有定义,且在x0∈(a,b)处可导。数列{xn},{yn}满足条 fF: a<x,<xo<y,<b, lim x, =lim y=xo 试求Iim fo)-f(x,) 【解】(泰勒公式,无穷小的运算,或导数概念,极限与无穷小的关系) 由∫(x)在x处的可微性,并且lmxn= lim y=x0于是 f(xn)=f(ro)+f(xo)(x-xo)+o(x-xo), f(yn)=f(x)+f(x)X-x)+0(-)故1mn()-f(x) 时()×∞_)0(x2-x) y-x y-x 又因为a<x<x0<yn<b,所以得到 o so(-xolsJo(m-xo2 osolx-xo51xo(x-xo 所以lim f.)-f(x,) =f(x0) 例8.18求极限m回!m 其中[表示不超过t的最大整数 【解】考虑充分大的x:n<x<n+1时有 「(-)d=J。(-)d+(-)h+…」(-)t+J(t-!)d (t-)d+ (t-[])da 令l=t-(k-1),d=dt,则有 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 （３） (0) 2 ( ) ( ) 2 1， 0 = = − − ∫ F tf t dt f a a a f (0) =1。对 求导得到一阶线性方程 ， a 2af (a) = f ′(a) − 2a ∫ = + = − − ( ) ( 2 ) 1 2 2 2 a f a e ae da C Ce a a ， 由 f (0) =1, C = 2，得到 ( ) 2 1。 2 = − x f x e 例 8.17 设 f (x) 在(a,b) 内有定义，且在 ( , ) x0 ∈ a b 处可导。数列 满足条 件： { },{ } n n x y 0 0 a x x y b, lim x lim y x n n n < n < < n < n = = →∞ →∞ 。 试求 n n n n n y x f y f x − − →∞ ( ) ( ) lim 。 【解】（泰勒公式，无穷小的运算，或导数概念，极限与无穷小的关系） 由 f (x) 在 x0 处的可微性，并且 0 lim x lim y x n n n n = = →∞ →∞ 于是 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 f x f x f x x x o x x n = + ′ n − + n − , ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 f y f x f x y x o y x n = + ′ n − + n − 故 n n n n n y x f y f x − − →∞ ( ) ( ) lim ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = ′ + →∞ n n n n n n n y x o x x y x o y x f x ( ) ( ) lim ( ) 0 0 0 . 又因为 a < xn < x0 < yn < b ，所以得到： 0 0 0 ( ) ( ) 0 y x o y x y x o y x n n n n n − − ≤ − − ≤ 0 0 0 ( ) ( ) 0 x x o x x x y x o x x n n n n n − − ≤ − − ≤ ， 所以 ( ) ( ) ( ) lim 0 f x y x f y f x n n n n n = ′ − − →∞ 。 例 8.18 求极限 x t t dt x x ∫ − →+∞ 0 ( [ ]) lim ，其中[t]表示不超过t 的最大整数。 【解】考虑充分大的 x : n < x < n +1时有 − = ∫ x t t dt 0 ( [ ]) − + ∫ 1 0 (t [t])dt − + ∫ 2 1 (t [t])dt − + ∫ − n n t t dt 1 L ( [ ]) ∫ − x n (t [t])dt = − + ∫ x n (t [t])dt ∑∫ = − − n k k k t t dt 1 1 ( [ ]) 令u = t − (k −1) ， du = dt ，则有 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 9 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 (t-[])dt +(-)-(k-1)=frih=l 而J(-)t= Jo udu 0时,d (A)0 (B)f(cosx)cosx。(C)1 (D)-1 【解】令=x50n,则有C(x一M二h答第:c 例8.20设a>0,f(x)在-a,+a]上有二阶连续导数,且f(0)=0 (1)写出∫(x)的带 Lagrange余项的一阶麦克劳林公式公式 (2)证明在a+a上至少存在一点7,使得af(m)=3f(x 【解】(1)Vx∈[a,a]有 f(x)=f(0)+f(0)x+<(5) x2=f(0)x+<s x2其中(变量)在0,x之间 2! 2! (2)由上式两边取积分得到 f(x)dx f(O)xa+/°x2 f"() x f(sdx 由于∫"(x)在-a,+a]上连续,因此∫"(x)在-a,+a]上 存在最大最小值m,M,使m≤∫"(x)≤M。 于是由积分估值定理可得到 mx≤(x)x=2x5≤Mx 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 10www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ∫ − − k k t t dt 1 ( [ ]) ∫ = + − − − 1 0 [u (k 1) (k 1)]du 2 1 1 0 = = ∫ udu 而 ∫ ∫ ∫ − = 0时， = − ∫[ ( ) ] 0 2 2 dt x x t f dx d x （ C ）。 (A) 0。 (B) f (cos x) cos x 。 (C) 1。 (D) -1。 【解】令t = xsinu , 则有 ( ) (cos ) cos 1 2 0 0 2 2 = = − ∫ ∫ π dt f u udu x x t f x ，答案：（C）。 例 8.20 设 a > 0 ， f (x) 在[−a, + a] 上有二阶连续导数，且 f (0) = 0， （1）写出 f (x) 的带 Lagrange 余项的一阶麦克劳林公式公式。 （2）证明在[−a, + a]上至少存在一点η ，使得 。 ∫− ′′ = a a a f ( ) 3 f (x)dx 3 η 【解】（1）∀x ∈[−a, a]有 2 2 2! ( ) (0) 2! ( ) ( ) (0) (0) x f x f x f f x f f x ξ ′′ ξ = ′ + ′′ = + ′ + 其中ξ (变量)在0, x 之间。 （2）由上式两边取积分得到 ∫ ∫ − − ∫− = + ′′ a a a a a a f dx x f x dx f xdx ( ) 2 ( ) (0) 2 ξ ∫− = ′′ a a x f ( )dx 2 1 2 ξ 由于 f ′′(x) 在[−a, + a] 上连续，因此 f ′′(x) 在[−a, + a] 上 存在最大最小值 m, M ，使 m ≤ f ′′(x) ≤ M 。 于是由积分估值定理可得到 ∫ ∫− ≤ a a a m x dx f x xdx 0 2 ( ) ∫ ∫ = ′′ ≤ − a a a x f dx M x dx 0 2 2 ( ) 2 1 ξ 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 10 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
