2008年全国研究生统一考试代数部分试题 2008年全国硕士研究生入学统一考试试题 ()选择题 数学一(5),数学二(7),数学三(5),数 学四(5) 设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵.若 A=0,则() (A)E-A不可逆,E+A不可逆 (B)E-A不可逆,E+A可逆 (c)E-A可逆,E+A可逆 (D)E-A可逆,E+A不可逆 答:(C) 解法 E-A=E (E-A)(E2+A+A2)=E E3+43=E (E+A)(E2-A+A2)=E 所以E-A可逆,E+A可逆. 解法二 由于A是幂零矩阵,只有0是A的特征值
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 1 2008 年全国硕士研究生入学统一考试试题 （I）选择题： 数学一（5），数学二(7)，数学三（5），数 学四（5） 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若 3 A = 0，则（ ） (A) E − A不可逆，E + A不可逆. (B) E − A不可逆，E + A可逆. (C) E − A可逆，E + A可逆. (D) E − A可逆，E + A不可逆. 答：（C） 解法一： 3 3 2 2 3 3 2 2 ( )( ) ( )( ) EAE E A E A A E E A E E A E A A E − = − + + = + = + − + = 所以E − A可逆，E + A可逆． 解法二： 由于A是幂零矩阵，只有０是A的特征值
2008年全国研究生统一考试代数部分试题 1和一1都不是A的特征值,于是 E-A≠0,E+A≠0,所以E-A可逆, E+A可逆 数学一(6) 设A为3阶非零矩阵,如果二次曲面方程 (x,y,z)4y|=1在正交变换下的标准方程 的图形如图,则A的正特征值个数为() (A)0.(B)1. (c)2.(D)3. 答:(B) 解:这是双叶双曲面,其标准方程是
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 2 1和−1 都不是A的特征值，于是 E A− ≠ 0 0 , E + A ≠ ，所以E − A可逆， E + A可逆． 数学一（6） 设 为 3 阶非零矩阵，如果二次曲面方程 在正交变换下的标准方程 的图形如图，则 的正特征值个数为（ ） A ( , , ) 1 x x y z A y z ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 答：（B） 解：这是双叶双曲面，其标准方程是 2 2 2 2 2 2 1 z x y c a b − − = ．
2008年全国研究生统一考试代数部分试题 数学二(8),数学三(6),数学四(6) 12 设1(21/,则在实数域上与A合同矩阵 为() 21 (B) 12 21 (c) (D) 21 答:(D) 解法1:A的第2行乘-1,第2列乘-1,即 令P 则P 0 0-1 1-2 P AP= 21小·其中P是可逆矩阵
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 3 数学二（8），数学三（6），数学四（6） 设 1 2 2 1 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，则在实数域上与 合同矩阵 为（ ） A (A) (B) 2 1 1 2 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 2 1 1 2 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − (C) (D) 2 1 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ ⎠⎟ 1 2 2 1 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 答：（D） 解法 1：A的第 2 行乘−1，第 2 列乘−1，即 令 P ， 则 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎝ ⎠ − 1 0 0 1⎟ T P ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ − ⎠ 1 0 0 1 ， 且 ．其中 是可逆矩阵． T P AP ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 1 2 2 1 P
2008年全国研究生统一考试代数部分试题 解法2:A的特征值为-1,3,选项(A)的特 征值为-1,-3;选项(B)的特征值为1,3; 选项(0)的特征值为1,3;选项(D)的特征值 为-1,3 解法3: A是不定的矩阵,选项中(A)的矩阵是负定 的,(B)和()是正定的,只有(0)是不定的 (l)填空题 数学一(13),数学二(14) 设A为2阶矩阵,a1,a2为线性无关的2维 列向量,Aa1=0,Aa2=2a1+a2,则A的 非零特征值为1 02 解:由题设,A(a12a2)=(a12a2) 02 A与矩阵 相似, 的特征值是 0.1
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 4 解法 2：A的特征值为−1,3，选项(A) 的特 征值为−1,−3；选项(B)的特征值为1,3； 选项(C)的特征值为 ；选项(D)的特征值 为 ． 1,3 −1,3 解法 3： A是不定的矩阵，选项中(A)的矩阵是负定 的，(B)和(C)是正定的，只有(D)是不定的． （II）填空题 数学一（13），数学二（14） 设A为 2 阶矩阵， , α1 α 2为线性无关的 2 维 列向量， 1 Aα = 0, 2 1 2 Aα = α +α2，则 的 非零特征值为 A 1 ． 解：由题设， ( , 1 2 ) ( 1 2 , ) ， 0 2 0 1 A α α α α ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A与矩阵 相似， 的特征值是 ． 0 2 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎟ 0 2 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ ⎠ 0,1
2008年全国研究生统一考试代数部分试题 数学二(13)矩阵A的特征值是λ,2,3,其 中未知,且4=24,则凡=4 解:2×3×=24 数学三(13)设3阶矩阵A的特征值为 1,2,2,4A-1-E 解:A的特征值为1,2,2,A的特征值为 1,,,4A1-E的特征值为3 22 所以44-E=3×1×1=3 数学四(13)设3阶矩阵A的特征值互不相 同,若行列式4=0,则A的秩为2
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 5 数学二（13）矩阵A的特征值是λ ，2,3,其 中λ 未知，且 A = 24,则λ ＝ 4 ． 解：2 3 × × λ = 24． 数学三 (13) 设 3 阶矩阵 的特征值为 ， A 1 2, ,2 1 4A E − − = 3 ． 解： A的特征值为1 2, ,2， 1 A− 的特征值为 , , 1 1 1 2 2 ， 的特征值为 ， 1 4A− − E 3 1, ,1 所以 1 4A E 3 1 − − = × ×1 = 3． 数学四（13）设 3 阶矩阵 的特征值互不相 同，若行列式 A A = 0，则A的秩为 2 ．
2008年全国研究生统一考试代数部分试题 解:由A=0,A有特征值为0,又A的特 征值互不相同,另外两个特征值都非零,且 A和对角矩阵相似,对角矩阵的元素为A的 特征值,A的秩等于对角矩阵的秩,故A的 秩为2 (I)解答题 数学一(20)(本题满分11分) 设A=aa+BB,其中a为a的转置, B为β的转置 证r(A)≤2; 若a,B线性相关,则r(A)<2 证法1:1.r(aa1)≤r(a)≤1, 同理,r(BB)≤1
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 6 解：由 A = 0， 有特征值为 0，又 的特 征值互不相同，另外两个特征值都非零，且 和对角矩阵相似，对角矩阵的元素为 的 特征值， 的秩等于对角矩阵的秩，故 的 秩为 2． A A A A A A （III）解答题 数学一（20）（本题满分 11 分） 设 T A T = αα + ββ ，其中 T α 为α 的转置， T β 为β 的转置. I．证r A( ) ≤ 2； II．若α,β 线性相关，则r A( ) < 2． 证法１：I． ( ) ( ) 1 T r αα ≤ r α ≤ ， 同理， ( ) 1 T r ββ ≤
2008年全国研究生统一考试代数部分试题 r(a=r(aa+BB) ≤r(aa1)+r(BB) 1+1=2 1.若a,B线性相关,不妨设β=ka, (a=r(aa+BB) r(aa+ ka(ka) =(1+k2)a2) =r(co)≤1<2 证法2: A=(a+BB)=(a,,0)Bx, 令B=(a,0),则A=BB A=BB =B=0 所以,r(4)≤2. 证法3
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 7 ( ) ( ) ( ) ( 1 1 2 T T T T r A r r r ) αα ββ αα β = + ≤ + ≤ + = β ． II．若α,β 线性相关，不妨设β = kα ， ( ) ( ) 2 T T ( ) ( ) ( ( (1 k ) 1 2 T T T T r A r r k k r r αα ββ αα α α αα αα = + = + = + = ≤ < )) , ． 证法２： I． ( ) T T T T ( ) , ,0 0 A α αα ββ α β β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 令B = ( ) α, , β 0 ，则 T A B = B ， 2 0. T A B = = B B = 所以，r A( ) ≤ 2. 证法 3：
2008年全国研究生统一考试代数部分试题 T A=(aa+B8)=(a, B) B r(A)≤r(a,月)≤2. 若a,B线性相关,不妨设B=k A=(aa+BB)=(a, ka (e7/ r(A)≤r(a,ka)≤1<2 证法4 a A=(aa+BB)=(a, B B 由于线性方程组x=0的方程个数2 小于未知数的个数3, 所以方程组x=0有非零解, B 从而线性方程组4x=(an)2(1x=0有 B 非零解
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 8 I． ( ) T T T T A ( ) , α αα ββ α β β ⎛ ⎞ = + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , r A( ) ≤ ≤ r(α,β ) 2． II．若α,β 线性相关，不妨设β = kα ， ( ) T T T T A k ( ) , k α αα ββ α α α ⎛ ⎞ = + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , r A( ) ≤ ≤ r(α,kα ) 1 < 2 , ． 证法 4： I． ( ) T T T T A ( ) , α αα ββ α β β ⎛ ⎞ = + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 由于线性方程组 T T x 0 α β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 的方程个数 2 小于未知数的个数 3， 所以方程组 T T x 0 α β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 有非零解， 从而线性方程组 ( ) T T Ax , x 0 α α β β ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 有 非零解
2008年全国研究生统一考试代数部分试题 因此,系数矩阵A不满秩, 即r(A)≤2 证法5:.设 (a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3) 贝 A=(aa+BB) af+bi a,a2+b,b2 a,43+b,b +bb. a+b aatb. aatbb. aabb atb (a,a+b,B,a,a+b,B, aaa+b3B) IA=a, a, a2 a, a,a+a,a, a2a, b3B +a, a, 2B, a3 a +a,a, b2B, b3B +月,a2anQc+bBa2a,2 +1月,bB,a3a+bBb月,b,B 0 所以,r(A)≤2 证法6:1.若α,B中有一个为0,不妨设 B=0,则
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 9 因此，系数矩阵A不满秩， 即r A( ) ≤ 2． 证法 5：I．设 ( , , ) , ( , , ) 1 2 3 1 2 3 T T α = = a a a β b b b ， 则 T T ( ) ( , , ) 2 2 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 1 1 2 2 3 3 A a b a a b b a a b b a a b b a b a a b b a a b b a a b b a b a b a b a b αα ββ α β α β α β = + ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ = + + + + + + ⎝ ⎠ = + + + | | , , , , , , , , , , , , , , , , . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 A a a a a a b a b a a b b b a a b a b b b a b b b α α α α α β α β α α β β β α α β α β β β α βββ = + + + + + + + = 所以，r A( ) ≤ 2． 证法 6：I．若α,β 中有一个为 0，不妨设 β = 0，则
008年全国研究生统一考试代数部分试题 r(A=r(aa)sr(a)<1<2 设a≠0,月≠0,必存在y≠0,使得 ay=0,By=0, 于是, Ay=(aa+6B7)y=0, 即齐次线性方程组Ax=0有非零解,所以 r(4)≤2 1.若a,B线性相关,不妨设β=ka, 显然存在线性无关的两个向量y1,y2,有 也有By1=0,By2=0, 于是Ay1=(aa+BB)y1=0, y2=(aa+BB)y2=0, 即Ax=0有两个线性无关的解,所以 r(4)<2. 证法7:1.若α,B中有一个为0,不妨设 B=0,则 r(A)=r(aa)≤r(a)≤1<2
2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 10 ( ) ( ) ( ) 1 T r A = ≤ r αα αr ≤ < 2 0 ， 设 α ≠ 0, β ≠ ，必存在 γ ≠ 0 ，使得 0 0 , T T α γ β = = γ ， 于是， ( ) 0 T T Aγ = + αα ββ γ = ， 即齐次线性方程组 Ax = 0有非零解，所以 r A( ) ≤ 2． II．若α,β 线性相关，不妨设β = kα ， 显然存在线性无关的两个向量 , 1 2 γ γ ，有 , 1 2 0 0 T T α γ α = = γ ， 也有 , 1 2 0 0 T T β γ β = = γ ， 于是 ( ) 1 1 0 T T Aγ = + αα ββ γ = ， ( ) 2 2 0 T T Aγ = + αα ββ γ = ， 即 Ax = 0 有两个线性无关的解，所以 r A( ) < 2． 证法 7：I．若α,β 中有一个为 0，不妨设 β = 0，则 ( ) ( ) ( ) 1 T r A = ≤ r αα αr ≤ < 2