欧氏空间测试题 填空题(每空3分,共24分) 1.设V是一个欧氏空间,∈V,若对任意n∈V都有(4,n)=0,则 2.在欧氏空间R3中,向量a=(1,0,-1),B=(0,0),那么(a,B)=0, 3.在n维欧氏空间v中,向量在标准正交基m,2…,n下的坐标是 那么(5,m 4.两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们有相同的维数 5.已知A是一个正交矩阵,那么A=A,|42=1 二、判断题(每小题2分,共16分) 1.在实线性空间R2中,对于向量a=(x1,x2),B=(y2),定义 (a,B)=(x1y+x2y2+1),那么R2构成欧氏空间。(×) 2.在n维实线性空间R"中,对于向量a=(a1,a2,…,an,B=(b1,b2…,b,), 定义(a,B)=a1b,则R"构成欧氏空间。(×) 3.,l2,…,是n维欧氏空间v的一组基,(x1,x2,…,x,),(y,y2,…,yn与 分别是V中的向量a,B在这组基下的坐标,则 (a,B)=x1+x2y2+…+xyn。(×) 4.对于欧氏空间V中任意向量,m是V中一个单位向量。(×) 56,,…4是n维欧氏空间的一组基矩阵A=(q),其中q=(a,), 则A是正定矩阵。(√)
欧氏空间测试题 一、填空题(每空 3 分，共 24 分) 1．设 V 是一个欧氏空间, V ,若对任意 V 都有 ( , ) 0 = ,则 ＝ 0 . 2．在欧氏空间 3 R 中，向量 = − (1,0, 1)， = (0,1,0) ，那么 ( , ) ＝ 0 , ＝ 2 ． 3．在 n 维欧氏空间 V 中，向量 在标准正交基 1 2 , , , n 下的坐标是 1 2 ( , , , ) n x x x ，那么 ( , )i ＝ i x , ＝ 2 1 n i i x = ． 4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们有相同的维数． 5．已知 A 是一个正交矩阵，那么 1 A − ＝ A， 2 A ＝ 1 ． 二、判断题(每小题 2 分，共 16 分) 1 ． 在实 线 性 空间 2 R 中 ， 对 于 向量 1 2 1 2 = = ( , ), ( , ) x x y y ，定义 1 1 2 2 ( , ) ( 1) = + + x y x y ，那么 2 R 构成欧氏空间。( × ) 2．在 n 维实线性空间 n R 中，对于向量 1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ) n n = = a a a b b b ， 定义 1 1 ( , ) = a b ，则 n R 构成欧氏空间。 ( × ) 3． 1 2 , , , n 是 n 维欧氏空间 V 的一组基， 1 2 1 2 ( , , , ),( , , , ) n n x x x y y y 与 分别是 V 中的向量 , 在这组基下的坐标，则 1 1 2 2 ( , ) n n = + + + x y x y x y 。( × ) 4．对于欧氏空间 V 中任意向量 ， 1 是 V 中一个单位向量。( × ) 5．1 2 , , , n 是 n 维欧氏空间的一组基，矩阵 ( ij)n n A a = ，其中 ( , ) ij i j a = ， 则 A 是正定矩阵。( √ )
6.设是一个欧氏空间,a,B∈V,并且l=B,则a+尸B与a-B正交。 7.设V是一个欧氏空间,a,B∈H,并且(ax,B)=0,则a,B线性无关。(x) 8.若a,z都是欧氏空间v的对称变换,则oz也是对称变换。(X) 9.实对称矩阵总是与对角矩阵() 合同;相似:合同且相似 计算题(每小题20分,共40分) 1.把向量组a=(2,-,0),a2=(2,0,1)扩充成R3的一组标准正交基 解:ax=(2,-,),a12=(2,0,1,a1=(0,0,1)线性无关,施密特正交化过程 2-20 2.求正交矩阵T,使r4成对角形。其中A=-21-2 0-20 解:特征值:1-24;特征向量:(2,1,-2),(1,2,2),(2,-2,1).正交化得: 212 5=(2,1,),5=(1,2,2),5=(2,-2,1);令T TAT= 四、证明题(每小题20分,共40分) 1.设A,B为同级正交矩阵,且A4=-B,证明:A+B|=0 证明:|A‖A+BHA(A+B=A4+AB'HE+AB (1) BA+BBI(A+B)=BA+BBBA+EHE+AB(2) (1)减(2)得2|4A+B=0,由A≠0知A+B=0.# 2.设A为实对称半正定矩阵,且A≠0,证明:A+E|>0.证:特征值
6．设 V 是一个欧氏空间， , V ，并且 = ，则 + 与 − 正交。 (√) 7．设 V 是一个欧氏空间， , V ,并且 ( , ) 0 = ，则 , 线性无关。(×) 8．若 , 都是欧氏空间 V 的对称变换，则 也是对称变换。(×) 9. 实对称矩阵总是与对角矩阵（） 合同；相似；合同且相似 三、计算题(每小题 20 分，共 40 分) 1．把向量组 1 = − (2, 1,0)， 2 = (2,0,1) 扩充成 3 R 的一组标准正交基. 解: 1 2 3 = − = = ( , , ), ( , , ), ( , , ) 2 1 0 2 0 1 0 0 1 线性无关,施密特正交化过程… 2．求正交矩阵 T，使 T AT 成对角形。其中 2 2 0 2 1 2 0 2 0 A − = − − − 解:特征值:1,-2,4; 特征向量: (2, 1, -2), (1, 2, 2), (2, -2, 1). 正交化得: 1 1 3 = (2, 1, -2), 1 1 3 = (1, 2, 2), 1 1 3 = (2, -2, 1); 令 2 1 2 1 1 2 2 3 2 2 1 T = − − 则 1 2 4 T AT = − . 四、证明题(每小题 20 分，共 40 分) 1．设 A，B 为同级正交矩阵，且 A B = − ，证明： A B+ = 0． 证明: | || | | || ( ) | | | | | A A B A A B AA AB E AB + = + = + = + (1) | || | | || ( ) | | | | | | | B A B B A B BA BB BA E E AB + = + = + = + = + (2) (1)减(2)得 2 0 | || | A A B+ = ,由 | | A 0 知 A B+ = 0 . # 2．设 A 为实对称半正定矩阵，且 A 0 ，证明： A E+ 0 .证:特征值
