《线性代数》第二章 矩终及其运算（2.3）矩阵的运算

矩及其运算 第三节逆矩阵 概念的引入 二、逆矩阵的概念和性质 三、逆矩阵的求法 四、小结思考题

一、概念的引入 在数的运算中,当数≠0时,有 aa =a= 生其中-2为n的倒数或称矿的逆) 在矩阵的运算中,单位阵E相当于数的乘法运算中 的1,那么,对于矩阵A,如果存在一个矩阵A4 使得A4=AA=E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵 上页

1, 1 1 = = − − aa a a , 1 1 AA = A A = E − − 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. −1 A 一、概念的引入 在数的运算中，当数 a  0 时，有 a a 1 1 = 其中 − 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A ， −1 如果存在一个矩阵 A , 使得

庄二、逆矩阵的概念和性质 定义对于n阶矩阵A,如果有一个阶矩阵B 使得 AB=BA=E, 则说矩阵4是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵 A的逆矩阵记作A-1 牛例设A 1/212 = 21/2 AB=BA=E,∴B是4的一个逆矩阵 上页

二、逆矩阵的概念和性质 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵. n A B AB = BA = E, B A n A ,使得 . −1 A的逆矩阵记作A 例 设 , 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 1 1 1       −  =      − A = B  AB = BA = E, B是A的一个逆矩阵

说明若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的 王若设B和C是A的可逆矩阵,则有 AB= BA=E. AC=CA=E 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C. 所以A的逆矩阵是唯一的,即 B=C=A-1. 上页

说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 . −1 B = C = A

21 例设A= 10 求A的逆阵. 王解谢用龙系数法是4的逆矩阵 则 AB= 21 ab)(1 0人cd丿(0 工工 2a+c2b+d)(10 b 01 上页

例 设 , 1 0 2 1       − A = 求A的逆阵. 解 设  是 的逆矩阵,      = c d a b B A 则             − = c d a b AB 1 0 2 1       = 0 1 1 0        =      − − + +  0 1 2 2 1 0 a b a c b d 利用待定系数法

→ a=0,/( 2a+c=1 2b+d=0, C= b=1, d=2 又因为 AB BA 2101_(0-1Y/2 10 10八12)(12人-10)7(0 0-1 所以 A-= 12 上页

       − = − = + = + =  1, 0, 2 0, 2 1, b a b d a c        = = = − =  2. 1, 1, 0, d c b a 又因为       − 1 0 2 1       − 1 2 0 1       − 1 0 2 1 =       − 1 2 0 1 , 0 1 1 0       = 所以 . 1 2 0 1 1       − = − A AB BA

王定理1矩阵A可逆的充要条件是4≠0,且 A分NA 其中A为矩阵4的伴随矩阵 庄证明若A可逆,即有!使4=E 王故A1=B=1,所以4≠0 当A≠0时, 上页

定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且 , −1 1  = A A A A A  0 证明 若 A 可逆， A AA = E. 即有 −1使 −1 1, 1  = = − 故 A A E 所以A  0. 其中A 为矩阵A的伴随矩阵.  当A  0时

当4≠0时, 41+a12412+…+an4,n=4 n14n1+n2n2+…+a.4 A A 上页

当A  0时,                             =  n n nn n n n n nn n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a AA               1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 a11A11 + a12A12 ++ a1nA1n = A an1An1 + an2An2 ++ annAnn = A ,               = A A A A O O 

AA=AA=AE→AM=1AA=E, 按逆矩阵的定义得 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 当A=0时,A称为奇异矩阵当A≠0时,A称为 非奇异矩阵 由此可得4是可逆阵的充要条件是4为非奇异矩阵 上页

AA = A A = AE   A E, A A A A  A = =   . 1 A A A  − = 按逆矩阵的定义得 证毕 . 0 , , 0 , 非奇异矩阵 当A = 时 A称为奇异矩阵当A  时 A称 为 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵

推论若AB=E(或BA=E)则B=A1 庄证明。4B=E=1故A4≠0 因而A存在,于是 B=EB=(414B=A1(B) =E= 证毕 A矩阵的运算性质 王若4可逆则亦可逆且(4)y=A 上页

A  B = E = 1, 故 A  0, , 因而A −1存在 于是 B = EB (A A)B −1 = A (AB) −1 = A E −1 = . −1 = A 证毕 ( ), . −1 推论 若AB = E 或BA = E 则B = A 证明 (1) , , ( ) . 1 1 1 A A A = A − 若 可逆 则 − 亦可逆 且 − 逆矩阵的运算性质