一、概念的引入 在数的运算中,当数≠0时,有 aa =a= 生其中-2为n的倒数或称矿的逆) 在矩阵的运算中,单位阵E相当于数的乘法运算中 的1,那么,对于矩阵A,如果存在一个矩阵A4 使得A4=AA=E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵 上页
1, 1 1 = = − − aa a a , 1 1 AA = A A = E − − 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. −1 A 一、概念的引入 在数的运算中,当数 a 0 时,有 a a 1 1 = 其中 − 为 a 的倒数,(或称 a 的逆); 在矩阵的运算中,单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1, 那么,对于矩阵 A , −1 如果存在一个矩阵 A , 使得
庄二、逆矩阵的概念和性质 定义对于n阶矩阵A,如果有一个阶矩阵B 使得 AB=BA=E, 则说矩阵4是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵 A的逆矩阵记作A-1 牛例设A 1/212 = 21/2 AB=BA=E,∴B是4的一个逆矩阵 上页
二、逆矩阵的概念和性质 定义 对于 阶矩阵 ,如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的,并把矩阵 称为 的逆矩阵. n A B AB = BA = E, B A n A ,使得 . −1 A的逆矩阵记作A 例 设 , 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 1 1 1 − = − A = B AB = BA = E, B是A的一个逆矩阵
说明若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的 王若设B和C是A的可逆矩阵,则有 AB= BA=E. AC=CA=E 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C. 所以A的逆矩阵是唯一的,即 B=C=A-1. 上页
说明 若 A 是可逆矩阵,则 A 的逆矩阵是唯一的. 若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵,则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 . −1 B = C = A
21 例设A= 10 求A的逆阵. 王解谢用龙系数法是4的逆矩阵 则 AB= 21 ab)(1 0人cd丿(0 工工 2a+c2b+d)(10 b 01 上页
例 设 , 1 0 2 1 − A = 求A的逆阵. 解 设 是 的逆矩阵, = c d a b B A 则 − = c d a b AB 1 0 2 1 = 0 1 1 0 = − − + + 0 1 2 2 1 0 a b a c b d 利用待定系数法
→ a=0,/( 2a+c=1 2b+d=0, C= b=1, d=2 又因为 AB BA 2101_(0-1Y/2 10 10八12)(12人-10)7(0 0-1 所以 A-= 12 上页
− = − = + = + = 1, 0, 2 0, 2 1, b a b d a c = = = − = 2. 1, 1, 0, d c b a 又因为 − 1 0 2 1 − 1 2 0 1 − 1 0 2 1 = − 1 2 0 1 , 0 1 1 0 = 所以 . 1 2 0 1 1 − = − A AB BA
王定理1矩阵A可逆的充要条件是4≠0,且 A分NA 其中A为矩阵4的伴随矩阵 庄证明若A可逆,即有!使4=E 王故A1=B=1,所以4≠0 当A≠0时, 上页
定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ,且 , −1 1 = A A A A A 0 证明 若 A 可逆, A AA = E. 即有 −1使 −1 1, 1 = = − 故 A A E 所以A 0. 其中A 为矩阵A的伴随矩阵. 当A 0时
当4≠0时, 41+a12412+…+an4,n=4 n14n1+n2n2+…+a.4 A A 上页
当A 0时, = n n nn n n n n nn n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a AA 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 a11A11 + a12A12 ++ a1nA1n = A an1An1 + an2An2 ++ annAnn = A , = A A A A O O