《微积分、线性代数》考研知识点解析：第3章 矩阵的初等变换与矩阵的秩

2008基础班 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 3.1矩阵的初等变换 矩阵的初等行(列)变换: (1)交换第i行(列)和第j行(列); (2)用一个非零常数乘矩阵某一行(列)的每个 元素; (3)把矩阵某一行(列)的元素的k倍加到另一行 列). 对矩阵施行初等变换时,由于矩阵中的元素已经 改变,变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等,所 以在表达上不能用等号,而要用箭号"→" 012 例1求矩阵A=11-1的逆矩阵 240 3.2初等矩阵 单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩 阵.概括起来,初等矩阵有3类,分别是 (1)交换第i行和第j行(交换第i列和第j列

2008 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 1 第 3 章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 ３．１ 矩阵的初等变换 矩阵的初等行（列）变换： （１） 交换第i行（列）和第 j 行（列）； （２） 用一个非零常数乘矩阵某一行（列）的每个 元素； （３） 把矩阵某一行（列）的元素的k倍加到另一行 （列）． 对矩阵施行初等变换时，由于矩阵中的元素已经 改变，变换后的矩阵和变换前的矩阵已经不相等，所 以在表达上不能用等号，而要用箭号＂→＂． 例1 求矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 4 0 1 1 1 0 1 2 A 的逆矩阵． ３．２ 初等矩阵 单位矩阵作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩 阵．概括起来，初等矩阵有３类，分别是 （１）交换第i行和第 j 行（交换第i列和第 j 列）

2008基础班 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 E(i. (2)用常数几乘第i行(几乘第i列) E(i() (3)第i行的k倍加到第j行 (第j列的k倍加到第i列)

2008 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( . ) % " " " # # # % # # # " " " % E i j （２）用常数λ 乘第i行（λ 乘第i列） ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 1 ( ( )) % % E i λ λ （３）第i行的k倍加到第 j 行 （第 j 列的k倍加到第i列）

2008基础班 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 E(j(R)) 显然,初等矩阵都可逆,其逆矩阵仍是初等矩阵, 且有 E(i,j)-=E(,j); E(i(1)=E//1 E((d=E(i(k) 初等矩阵与初等变换有着密切的关系: 左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初 等矩阵相应类型一样的初等行变换 例如要将矩阵A的第1行和第3行交换,则左乘一个 初等矩阵E(1,3): u11a12a13 32 33 22a 23 21 a 22 23 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩

2008 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 3 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 1 ( ( )) % " # % % k E ij k 显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵， 且有 ( , ) ( , ) 1 E i j = E i j − ； ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − λ λ 1 ( ( )) 1 E i E i ； ( ( )) ( ( )) 1 E ij k = E ij −k − ． 初等矩阵与初等变换有着密切的关系： 左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初 等矩阵相应类型一样的初等行变换． 例如要将矩阵 的第１行和第３行交换，则左乘一个 初等矩阵 A E(1,3)： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a ＝ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a ． 右乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初等矩

2008基础班 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 阵相应类型一样的初等列变换 13 例设A=a21a2a23 B 31 32 11 2l1 12-a 2213-a E1=0 0,E2=010 010 3 则以下选项中正确的是 (A)ELEE3A=B (B)AEE2E3=B (C)E3E2E1A=B; (D)AE3E,EI= B 例3设A是3阶可逆矩阵,将A的第1行和第3行 对换后得到的矩阵记作B (1)证明B可逆 (2)求AB1

2008 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 4 阵相应类型一样的初等列变换． 例2 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a A ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = 11 21 12 22 13 23 31 32 33 21 22 23 a a a a a a a a a a a a B ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 0 0 1 0 1 0 1 1 0 E1 ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E2 ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 E3 ． 则以下选项中正确的是 (A) E1E2E3A = B； (B) AE1E2E3 = B； (C) E3E2E1A = B； (D) AE3E2E1 = B． 例３ 设 是３阶可逆矩阵，将 的第１行和第３行 对换后得到的矩阵记作 ． A A B （１） 证明B可逆； （２） 求 ． −1 AB

2008基础班 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 123 例4设A= 34|,B=011,是否存 110 在可逆矩阵P,使得PA=B?若存在,求P; 若不存在,说明理由. 例5设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换 得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为 010 (A) B)|101 101 010 (C)100 (D)100 3.3矩阵的等价与等价标准形 若矩阵B可以由矩阵A经过一系列初等变换得 到,则称矩阵A和B等价 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系,它具有 如下性质: (1)反身性:任何矩阵和自己等价; (2)对称性:若矩阵A和矩阵B等价,则矩阵B和

2008 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 5 例4 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 1 0 1 3 4 1 2 3 A ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 0 1 1 1 0 1 B ，是否存 在可逆矩阵 P ，使得 PA = B？若存在，求 P ； 若不存在，说明理由． 例 5 设 是 3 阶方阵，将 的第 1 列与第 2 列交换 得 ，再把 的第 2 列加到第3列得C ， A A B B 则满足 AQ = C 的可逆矩阵Q为 (A) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 0 1 1 0 0 0 1 0 (B) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 1 0 1 0 1 0 (C) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 1 1 1 0 0 0 1 0 (D) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 1 0 0 0 1 1 ３．３ 矩阵的等价与等价标准形 若矩阵 B 可以由矩阵 经过一系列初等变换得 到，则称矩阵 和 等价． A A B 矩阵的等价是同型矩阵之间的一种关系，它具有 如下性质： （１） 反身性：任何矩阵和自己等价； （２） 对称性：若矩阵 A和矩阵B等价，则矩阵B和

2008基础班 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 矩阵A也等价; (3)传递性:若矩阵A和矩阵B等价,矩阵B和 矩阵C等价,则矩阵A和矩阵C等价 形如 的矩阵称为矩阵的等价标准形. 00 任意矩阵A都与一个等价标准形 等 00 价.其中E是r阶单位矩阵.这个r是一个不变量, 它就是矩阵的秩 任何矩阵总存在一系列的初等矩阵 P1,P2,…,P,和初等矩阵Q1,Q2,…,Q使得 PP-1…B1Ag1Q2…Q1 令P=PP1…1,Q=Q1Q2…Q1,于是 对任意m×n的矩阵A,总存在m阶可逆矩阵P和n 阶可逆矩阵Q,使得 PAQ

2008 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 6 矩阵 A也等价； （３） 传递性：若矩阵 和矩阵 等价，矩阵 和 矩阵C 等价，则矩阵 和矩阵C 等价． A B B A 形如 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 Er 的矩阵称为矩阵的等价标准形． 任意矩阵 A都与一个等价标准形 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 Er 等 价．其中Er是r阶单位矩阵．这个r是一个不变量， 它就是矩阵的秩． 任何矩阵总存在一系列的初等矩阵 P P Ps , , , 1 2 " ，和初等矩阵Q Q Qt , , , 1 2 " 使得 Ps Ps−1 "P1 AQ1Q2 "Qt ＝ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 Er ． 令P ＝Ps Ps−1 "P1，Q＝Q1Q2 "Qt，于是 对任意m × n的矩阵 A，总存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q，使得 PAQ＝ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 Er ．

2008基础班 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 例6设n阶矩阵A与B等价,则必有 (A)当A=a(a≠0)时,B=a. (B)当A=a(a≠0)时,B=-a (0)当A≠0时,B=0 D)当A=0时,B=0 3.4矩阵的秩 在mxn矩阵A中,任取k行k列,位于这k行k 列交叉处的k个元素按其原来的次序组成一个k阶 行列式,称为矩阵A的一个k阶子式 若矩阵A中有一个r阶子式不为零,而所有r+1 阶子式全为零,则称矩阵A的秩为r.矩阵A的秩记 作r(A4) 零矩阵的秩规定为零 显然有 r(4)≥r冷A中有一个r阶子式不为零 r(A)≤r分A中所有r+1阶子式全为零 若n阶方阵A,有r(A)=n,则称A是满秩方阵 对于n阶方阵A, r(A)=n兮A≠0 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩

2008 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 7 例 6 设n阶矩阵 A与B等价，则必有 (A) 当 A = a (a ≠ 0)时， B = a． (B) 当 A = a (a ≠ 0)时， B = −a． (C) 当 A ≠ 0时， B = 0． (D) 当 A = 0时， B = 0． ３．4 矩阵的秩 在m × n矩阵 A中，任取k行k列，位于这k行k 列交叉处的 2 k 个元素按其原来的次序组成一个k 阶 行列式，称为矩阵 A的一个k阶子式． 若矩阵 A中有一个r阶子式不为零，而所有r + 1 阶子式全为零，则称矩阵 A的秩为r．矩阵 的秩记 作 ． A r(A) 零矩阵的秩规定为零． 显然有 r(A) ≥ r ⇔ A中有一个r阶子式不为零； r(A) ≤ r ⇔ A中所有r + 1阶子式全为零． 若n阶方阵 A，有r(A) = n，则称 A是满秩方阵． 对于n阶方阵 A， r(A) = n ⇔ A ≠ 0． 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩．

2008基础班 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 11223 例7求矩阵223 的秩 10115 23554 b 例8求m阶矩阵ba b 的秩, b b n22 例9设401-1b ,已知r(A)=3, 351 求a,b 常用的矩阵的秩的性质: (1)r(4)=r(A4); (2)r(4+B)≤r(A)+r(B); (3)r(AB)smin(r(), r(B)) (4) =r(A)+r(B); 0 0B0 (5) ≥r(4)+r(B); c B

2008 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 8 例 7 求矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 3 5 5 4 1 0 1 1 5 2 2 3 1 4 1 1 2 2 3 A 的秩． 例 8 求n阶矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = b b a b a b a b b A " " " " " " " 的秩， n ≥ 2． 例9 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 3 5 1 7 2 3 4 0 1 1 1 1 1 1 a b A ，已知r( A) = 3， 求a,b． 常用的矩阵的秩的性质： （１） ( ) ( )； T r A = r A （２）r(A + B) ≤ r(A) + r(B)； （３）r(AB) ≤ min(r(A),r(B))， （４） ( ) ( ) 0 0 r A r B B A r ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ； （５） ( ) ( ) 0 r A r B C B A r ⎟ ≥ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ；

2008基础班 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 (6)若AB=0,则r(A)+r(B)≤n, 其中n为矩阵A的列数 (7)若A可逆,则r(AB)=r(B) (8)若A列满秩,则r(AB)=r(B) (9)若B行满秩,则r(AB)=r( 例10设A,B都是n阶方阵,满足 A'-2AB=E, *r(AB-BA+A)=? 例11设A是4×3矩阵, 102 r(A)=2,B=020求r(AB) 103 123 例12已知A= 2-3,B是3阶非零 2t6 矩阵,且满足AB=0,则 (A)t=4时,B的秩必为1 (B)t=4时,B的秩必为2; (C)t≠4时,B的秩必为1 (D)t≠4时,B的秩必为2 例13设A,B都是n阶非零矩阵,且满足AB=0, 则A和B的秩

2008 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 9 （６）若 AB = 0，则r(A) + r(B) ≤ n， 其中n为矩阵 A的列数． （７）若 A可逆，则r(AB) = r(B) （８）若 A列满秩，则r(AB) = r(B) （９）若B行满秩，则r(AB) = r(A) 例 10 设 A,B都是n阶方阵，满足 A − 2AB = E 2 ，求r(AB − BA + A) =？ 例１1 设 A是4× 3矩阵， , 1 0 3 0 2 0 1 0 2 ( ) 2, ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − r A = B = 求r(AB)． 例１2 已知 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − 2 6 1 2 3 1 2 3 t A ，B是３阶非零 矩阵，且满足 AB = 0，则 (A) t = 4时，B的秩必为１； (B) t = 4时，B的秩必为２； (C) t ≠ 4时，B的秩必为１； (D) t ≠ 4时，B的秩必为２． 例13 设 A,B都是n阶非零矩阵，且满足 AB = 0， 则 A和B的秩

2008基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 (A)必有一个等于零; (B)都小于n; (C)一个小于n,一个等于n (D)都等于n 例14设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,若n<m 证明:AB=0 例15设A是2阶方阵,已知AS=0,证明A2=0 3.5伴随矩阵 设 12 21 22 a2n n2 记an;的代数余子式为A;,令 22 2n nn 为矩阵A的伴随矩阵因此,若A=(an),则 (41)

2008 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 10 (A) 必有一个等于零； (B) 都小于n； (C) 一个小于n，一个等于n； (D) 都等于n． 例14 设 A是m × n矩阵，B是n× m矩阵，若n < m 证明： AB = 0． 例 15 设 A是２阶方阵，已知 0 5 A = ，证明 0． 2 A = ３． 5 伴随矩阵 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n n nn n n a a a a a a a a a A " " " " " " " 1 2 21 22 2 11 12 1 ， 记 的代数余子式为 ，令 aij Aij ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n n nn n n A A A A A A A A A A " " " " " " " 1 2 12 22 2 11 21 1 * 为矩阵 A的伴随矩阵．因此，若 ( ) A = aij ，则 ( ) T A = Aij * ．