2008春季 戋性代数第8章二次型 第8章二次型 8.1二次型与二次型的矩阵 n个变量的二次齐次多项式 ∫(x,x,,xn)=∑∑anx 称为n元二次型. 二次型有3种表达形式: (1)完全展开式 f(x1,x2,…,xn) =1x1+a12x12+…+a1nC1Cn 十a1x+X十:+nxx 十anxx1+a 12-n2 (2)和式 15-255n ∑∑an3 J (3)矩阵表达式 令x=(x1
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—1 第8章 二次型 8.1 二次型与二次型的矩阵 n个变量的二次齐次多项式 ∑∑= = = n i n j x x xn aij xi x j f 1 1 1 2 ( , ,", ) 称为n元二次型． 二次型有３种表达形式： （１） 完全展开式 ( , , , ) x1 x2 xn f " = a x a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 11 1 + + "+ a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 +"+ +"" ． 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 + "ann xn （２） 和式 ∑∑= = = n i n j x x xn aij xi x j f 1 1 1 2 ( , ,", ) ， ． ij ji a = a （３） 矩阵表达式 令 x = (x1 , x2 ,", xn ) T ， ( ) ij A = a ， ij ji a = a
2008春季 戋性代数第8章二次型 f(a 12,… n 12 1 =(x1,x2,…,xn 22 n 2 nn =X AX 二次型的矩阵表达式f(x1,x2,…,xn)=XAX中 的矩阵A叫二次型的矩阵 它是一个对称矩阵.其中a=an,即满足A=A 二次型矩阵A的秩称为二次型的秩 例1二次型 f∫(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1) 的秩为 8.2矩阵的合同 设A,B是两个n阶矩阵,若存在可逆方阵P,使 得PAP=B,则称B与A合同. 合同有以下三个性质 (1)自反性:任意方阵A和自身合同; (2)对称性:若方阵B和A合同,则A和B也合同; (3)传递性:若方阵B和A合同,方阵C和B合同, 则C和A合同
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—2 ( , , , ) x1 x2 xn f " ＝( , , , ) x1 x2 " xn ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n n nn n n a a a a a a a a a " " " " " " " 1 2 21 22 2 11 12 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ xn x x # 2 1 ＝ X AX T ． 二次型的矩阵表达式 f (x1 , x2 ,", xn )＝ X AX T 中 的矩阵 A叫二次型的矩阵． 它是一个对称矩阵．其中 ij ji a = a ，即满足 A A． T = 二次型矩阵 A的秩称为二次型的秩． 例 1 二次型 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 f (x , x , x ) = (x + x ) + (x − x ) + (x + x ) 的秩为 ． 8.2 矩阵的合同 设 A,B是两个n阶矩阵，若存在可逆方阵 ，使 得 ，则称 与 合同． P P AP B T = B A 合同有以下三个性质： （１） 自反性：任意方阵 A和自身合同； （２） 对称性：若方阵B和 A合同，则 A和B也合同； （３） 传递性：若方阵B和 A合同，方阵C 和 合同， 则 B C 和 A合同．
2008春季 戋性代数第8章二次型 矩阵的等价是对于两个同型的矩阵A和B来说, 如果存在可逆矩阵P和可逆矩阵Q,使得B=PAQ, 则A和B等价.而矩阵的相似是对方阵说的,两个同 阶的矩阵A和B,如果存在可逆矩阵P,使得 B=P-AP,则A和B相似.矩阵的合同也是对方 阵说的,两个同阶的矩阵A和B,如果存在可逆矩阵 P,使得B=PAP,则A和B合同.由此可见,相 似的矩阵一定等价,合同的矩阵也一定等价.等价的 矩阵的一个主要特征是有相同的秩,因此,相似的矩 阵及合同的矩阵也有相同的秩.显然,等价的矩阵不 一定相似,等价的矩阵也不一定合同. 矩阵的相似及矩阵的合同从定义的形式上很类 似.一个是可逆矩阵的逆,另一个是可逆矩阵的转 置.这是两个不同的概念,千万不要混淆.相似的矩 阵不一定合同,合同的矩阵也不一定相似.只有当存 在可逆矩阵是正交矩阵时,则有 B=PAP= P AP, 这时,A和B既相似又合同.实对称矩阵就有这个性 质,对任意实对称矩阵,都存在正交矩阵和对角矩阵 既相似又合同
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—3 矩阵的等价是对于两个同型的矩阵 和 来说， 如果存在可逆矩阵 和可逆矩阵Q，使得 A B P B = PAQ， 则 和 等价．而矩阵的相似是对方阵说的，两个同 阶的矩阵 和 ，如果存在可逆矩阵 ，使得 ，则 和 相似．矩阵的合同也是对方 阵说的，两个同阶的矩阵 和 ，如果存在可逆矩阵 ，使得 A B A B P B P AP −1 = A B A B P B P AP T = ，则 和 合同．由此可见，相 似的矩阵一定等价，合同的矩阵也一定等价．等价的 矩阵的一个主要特征是有相同的秩，因此，相似的矩 阵及合同的矩阵也有相同的秩．显然，等价的矩阵不 一定相似，等价的矩阵也不一定合同． A B 矩阵的相似及矩阵的合同从定义的形式上很类 似．一个是可逆矩阵的逆，另一个是可逆矩阵的转 置．这是两个不同的概念，千万不要混淆．相似的矩 阵不一定合同，合同的矩阵也不一定相似．只有当存 在可逆矩阵是正交矩阵时，则有 B P AP −1 = P AP T = ， 这时， 和 既相似又合同．实对称矩阵就有这个性 质，对任意实对称矩阵，都存在正交矩阵和对角矩阵 既相似又合同． A B
2008春季 戋性代数第8章二次型 400 例2已知A=040,B=04 000 C=22 试判断A,B,C中哪些矩阵相似,哪些矩阵合同? 83二次型的标准形 形如 yi +d2y2+ 的二次型称为二次型的标准形 二次型的标准型的特征就是只有变量的平方项, 没有变量的交叉乘积项 通常用两种方法化二次型为标准形,分别是正交 变换法,和配方法 正交变换法只能用于实二次型,不能用于复二次 型.由于常见的题目都是实二次型,所以它是一种主 要的方法.配方法可以用在实二次型,也可以用在复 二次型.配方法实际上就是初等代数里的配平方,有 时候用起来很方便,对于简单的题不失为一种好方 法
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—4 例2 已知 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 4 0 4 0 4 0 0 A , ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 0 0 4 1 4 1 0 B , ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 2 2 2 0 2 2 0 C ， 试判断 A,B,C 中哪些矩阵相似, 哪些矩阵合同? 8.3 二次型的标准形 形如 2 2 2 2 2 1 1 n n d y + d y +"+ d y 的二次型称为二次型的标准形． 二次型的标准型的特征就是只有变量的平方项， 没有变量的交叉乘积项． 通常用两种方法化二次型为标准形，分别是正交 变换法，和配方法． 正交变换法只能用于实二次型，不能用于复二次 型．由于常见的题目都是实二次型，所以它是一种主 要的方法．配方法可以用在实二次型，也可以用在复 二次型．配方法实际上就是初等代数里的配平方，有 时候用起来很方便，对于简单的题不失为一种好方 法．
2008春季 戋性代数第8章二次型 8-5 用正交变换化实二次型为标准形的计算步骤: (1)写出二次型的矩阵A; (2)求矩阵A的特征值,得A1,12,…,λn; (3)求相应的特征向量; (4)将特征向量作施密特正交化,得到正交的特 征向量; (5)将正交的特征向量单位化; (6)将这些向量按列排成矩阵,得到正交矩阵Q, 这时有QAQ=QQ=D,其中D是对角矩 阵,它由A的特征值构成, D=lig(1,A2,…,n),写的时候要注意与特 征向量写的顺序一致; (7)写出可逆线性替换X=QY,则有 ∫=λ1y2+气2y2+…+ny2 例3已知实二次型 f(x1,x2,x3) =a(x1+x2+x3)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换x=Py化成标准型f=6y, 则a=
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—5 用正交变换化实二次型为标准形的计算步骤： （１） 写出二次型的矩阵 A； （２） 求矩阵 A的特征值，得λ λ λ n , , , 1 2 " ； （３） 求相应的特征向量； （４） 将特征向量作施密特正交化，得到正交的特 征向量； （５） 将正交的特征向量单位化； （６） 将这些向量按列排成矩阵，得到正交矩阵Q， 这时有Q AQ Q AQ D T = = −1 ，其中D是对角矩 阵，它由 A的特征值构成， ( , , , ) D = diag λ1 λ 2 " λ n ，写的时候要注意与特 征向量写的顺序一致； （７） 写出可逆线性替换 X = QY ，则有 f = 2 2 2 2 2 1 1 n n λ y + λ y +"+ λ y ． 例3 已知实二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 1 2 3 ( ) 4 4 4 ( , , ) a x x x x x x x x x f x x x = + + + + + 经正交变换 x = Py化成标准型 ， 2 6 1 f = y 则a = ．
2008春季 戋性代数第8章二次型 8-6 例4已知二次型 ∫(x1,x2,x3)=2x1+3x2+3x3+2ax2x3, 其中a>0,通过正交变换化作y+2y2+5y3试 确定参数a及所作的正交变换 例5已知二次型 15253 1-a)x1+(1-a)x2+2x3+2(1+a)x1x2 的秩为2 (1)求a的值; ()求正交变换x=y,把∫(x1,x2,x3)化成标 准形; (II)求方程∫(x1,x2,x3)=0的解 解(1)由于二次型∫的秩为2,对应的矩阵 1-a1+a0 A=1+a1-a0的秩为2,所以有 00 1-a1+a -4a=0,得a=0 1+a1
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—6 例4 已知二次型 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + 3x + 3x + 2ax x ， 其中a > 0，通过正交变换化作 ．试 2 3 2 2 2 y1 + 2 y + 5 y 确定参数a及所作的正交变换． 例 5 已知二次型 1 2 2 3 2 2 2 1 1 2 3 (1 ) (1 ) 2 2(1 ) ( , , ) a x a x x a x x f x x x = − + − + + + 的秩为 2. (I) 求a的值； (II) 求正交变换 x = Qy，把 化成标 准形； ( , , ) x1 x2 x3 f (III) 求方程 ( , , )=0 的解. x1 x2 x3 f 解(I) 由于二次型 f 的秩为 2，对应的矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + = 0 0 2 1 1 0 1 1 0 a a a a A 的秩为 2，所以有 4 0 1 1 1 1 = − = + − − + a a a a a ，得a = 0
2008春季 戋性代数第8章二次型 ()当a=0时,A=110|, 002 A-1 LE-A λ-10=(-2)2 0x-2 可知A特征值为A1=2=2,A3=0 A的属于1=2的线性无关的特征向量为 71=(1,1,0),n2=(0,0,1) A的属于3=0的线性无关的特征向量为 3=(-1,,0 易见,2,3两两正交 将1,2,3单位化得 2 (1,1,0),e2=(0,0,1) (-1,,0), 取Q=(e,e2,e3),则Q为正交矩阵.令x=Qy,得 f(x1,x2,x3)=41y2+12y2+13y2=2 +2,2 (II)解法1在正交变换x=Qy下, f(x1,x2,x3)=0化成2y2+2y2=0,解之得 y1=y2=0,从而
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—7 (II) 当a = 0时， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 2 1 1 0 1 1 0 A ， λ λ λ λ λ 2 ( 2) 0 0 2 1 1 0 1 1 0 = − − − − − − λE − A = 可知 A特征值为 2 λ1 = λ 2 = ，λ 3 = 0. A的属于 2 λ1 = 的线性无关的特征向量为 ， ； T η (1,1,0) 1 = T η (0,0,1) 2 = A的属于λ 3 = 0的线性无关的特征向量为 . T η ( 1,1,0) 3 = − 易见 两两正交. 1 2 η3 η ,η , 将 单位化得 1 2 η3 η ,η , T e (1,1,0) 2 1 1 = ， ， T e (0,0,1) 2 = ( 1,1,0) , 2 1 3 T e = − 取Q = (e1 ,e2 ,e3 )，则Q为正交矩阵. 令 x = Qy，得 2 2 2 1 2 3 3 2 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = λ1 y1 + λ y + λ y = 2 y + 2 y (III) 解法 1 在正交变换 x = Qy下， f (x1 , x2 , x3 ) = 0 化 成 ，解之得 ，从而 2 2 0 2 2 2 y1 + y = 0 y1 = y2 =
2008春季 戋性代数第8章二次型 0 0 x=Q0=(e1e2,23)0|=y323=k(-1,1,0) y 3 其中k为任意常数 解法2由于 f(x1,x2,x3)=x2+x2+2x3+2x1x2 =(x1+x2)2+2x3 2)2+2 0 所以 X,+x 其通解为x=k(-1,1,0),其中k为任意常数。 84实二次型的惯性定理 形如 z2+z2+…+z2-zn 的二次型叫实二次型的规范形. 惯性定理:任意一个实系数二次型总可经过一个 适当的可逆线性替换,化成规范形,规范型是惟 的.其中r是二次型的秩,p是二次型的正惯性指数, r-p是负惯性指数,2p-r是符号差
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—8 T y e k y e e e y x Q 0 ( 1,1,0) 0 0 ( , , ) 0 3 3 3 1 2 3 3 = = − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 其中k 为任意常数. 解法 2 由于 ( ) 2 0 ( , , ) 2 2 2 3 2 1 2 1 2 2 3 2 2 2 1 2 3 1 = + + = = + + + x x x f x x x x x x x x 所以 ⎩ ⎨ ⎧ = + = 0, 0. 3 1 2 x x x 其通解为 ，其中 T x = k(−1,1,0) k 为任意常数。 8.4 实二次型的惯性定理 形如 2 2 1 2 2 2 2 1 p p r z + z + + z − z − − z " + " 的二次型叫实二次型的规范形． 惯性定理：任意一个实系数二次型总可经过一个 适当的可逆线性替换，化成规范形，规范型是惟一 的．其中 r 是二次型的秩，p是二次型的正惯性指数， r − p是负惯性指数，2 p − r 是符号差．
2008春季 戋性代数第8章二次型 8-9 例6设A为n阶实对称矩阵,r(4)=n, f(x1,x2…,xn) c:x (1)记X=(x1,x2,…,xn),把 ∫(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式,并证明二次型 ∫(X)的矩阵为A; (2)二次型g(X)=XAX与∫(X)的规范形 是否相同?说明理由. 85实二次型的正定性 设Q(a)是实二次型,若对任意非零向量a,恒有 Q(a)>0,则称实二次型正定.正定二次型的矩阵 称为正定矩阵 这里讲的正定矩阵是实二次型的矩阵,因此必定 是实对称矩阵.在解有关正定矩阵的题目时,首先要 检验矩阵是否是实对称的 个二次型经过可逆线性替换变成另一个二次 型,它的正定性是不会改变的.因此可以通过二次型 的标准形以及规范形来讨论正定性
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—9 例 6 设 A为n阶实对称矩阵，r(A) = n， ∑ ∑= = = n i n j i j ij n x x A A f x x x 1 1 1 2 ( , ,", ) （１） 记 ，把 T X x x xn ( , , , ) = 1 2 " ( , , , ) x1 x2 xn f " 写成矩阵形式，并证明二次型 f (X)的矩阵为 ； −1 A （２） 二次型 g X X AX 与 T ( ) = f (X)的规范形 是否相同？说明理由． 8.5 实二次型的正定性 设Q(α)是实二次型, 若对任意非零向量α ，恒有 Q(α) > 0, 则称实二次型正定. 正定二次型的矩阵 称为正定矩阵． 这里讲的正定矩阵是实二次型的矩阵，因此必定 是实对称矩阵．在解有关正定矩阵的题目时，首先要 检验矩阵是否是实对称的． 一个二次型经过可逆线性替换变成另一个二次 型，它的正定性是不会改变的．因此可以通过二次型 的标准形以及规范形来讨论正定性．
008春季班 线性代数第8章二次型 从实二次型的规范形 2 +z+…+3p-列p+1 容易看出,只有当p=r=n的时候,才会对任意非 零的向量,保证函数值是正的.只要r<n,或p<r, 都能取到非零的向量,使函数值为0或为负值.因此 有 (1)n元实二次型正定◇正惯性指数p=n 这就是说,n元正定二次型的规范形一定是 ∫=1+z2+…+乙 (2)实对称阵A正定分A和单位阵合同 即存在可逆矩阵C,使得 A=C EC=CC (3)实对称阵A正定分存在可逆矩阵C,使得 A=CC (4)实对称阵A正定A的所有特征值全是正数
2008 春季班 线性代数 第 8 章 二次型 8—10 从实二次型的规范形 2 2 1 2 2 2 2 1 p p r f = z + z + + z − z − − z " + " 容易看出，只有当 p = r = n的时候，才会对任意非 零的向量，保证函数值是正的．只要r < n，或 p < r ， 都能取到非零的向量，使函数值为０或为负值．因此 有 （１）n元实二次型正定⇔正惯性指数 p = n． 这就是说，n元正定二次型的规范形一定是 2 2 2 2 1 n f = z + z +"+ z ． （２）实对称阵 A正定⇔ A和单位阵合同． 即存在可逆矩阵C ，使得 A C EC T = ＝C CT ． （３）实对称阵 A正定⇔存在可逆矩阵C ,使得 A C CT = ． （４）实对称阵 A正定⇔ A的所有特征值全是正数．