2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 基础班微积分辅导第2章 函数的极限与连续函数 2.1函数的极限概念 2.1.1函数在无穷远处的极限 在掌握好数列极限的概念与方法的前提下,可以顺利地学好函数的极限,只需要注意在 函数极限问题里,自变量的趋向应包括以下6种情况 x→x,x→x,x→x,x→>+∞,x+-0,x→∞ 掌握好函数极限的概念与方法,是进一步为学习函数连续性、导数等后续概念的重要基 定义2.1设函数y=f(x)在区间(a,+∞)内有定义,VE>0,若存在某个常数A与 X>0,使当x>X时恒有(x)-40,若存在某个X>0,使当 x>X时,恒有f(x)>G,则称f(x)是当x趋于正无穷大时的无穷大量。记为 imf(x)=∞。 当然,还有有如下的两种情况: lim f(x)=+oo (f(x)>G) 5 lim f(x)=-o0( f(x)0,使 当冈>x时,恒有(x)-4<E,则称y=f(x)当x趋于无穷大时的极限为A,或收敛 于A。记为lim∫(x)=A 若在上述的常数A=0,则称∫(x)是当x趋于无穷大时的无穷小量。若上述定义中 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 1网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 基础班微积分辅导第 2 章 函数的极限与连续函数 2．1 函数的极限概念 2．1．1 函数在无穷远处的极限 在掌握好数列极限的概念与方法的前提下，可以顺利地学好函数的极限，只需要注意在 函数极限问题里，自变量的趋向应包括以下 6 种情况： → − 0 x x ， x → x0 + ， x → x ， x → +∞ ， x → −∞ ， x → ∞ 。 掌握好函数极限的概念与方法，是进一步为学习函数连续性、导数等后续概念的重要基 础。 定义 2.1 设函数 y = f ( x) 在区间 (a, + ∞) 内有定义， ∀ε > 0 ，若存在某个常数 A 与 X > 0 ，使当 x > X 时恒有 f (x) − A 0，若存在某个 ，使当 时，恒有 X > 0 x > X f (x) > G ，则称 是当 趋于正无穷大时的无穷大量。记为 。 f (x) x = ∞ →+∞ lim f (x) x 当然，还有有如下的两种情况： = +∞ →+∞ lim f ( x) x （ f (x) > G ）与 = −∞ →+∞ lim f ( x) x （ f (x) 0 x > X 时，恒有 f (x) − A < ε ，则称 y = f ( x) 当 x 趋于无穷大时的极限为 A ，或收敛 于 A 。记为 f x A。 x = →∞ lim ( ) 若在上述的常数 A = 0，则称 f ( x) 是当 x 趋于无穷大时的无穷小量。 若上述定义中 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 1 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 的A不存在,则称∫(x)当x趋于无穷大时的极限不存在,或发散。应特别注意,这里x以 双向方式趋于无穷大 类似前面的定义,还可以给出当x(双向)趋于无穷大时,f(x)为无穷大量的三种描 述,即正无穷大量,负无穷大量和(双向)无穷大量。请读者完成这些练习。 2.1.2函数在一点处的极限 定义24设函数y=f(x)在x的去心邻域N(x,6)={x00 内有定义,若vE>0,都存在某个常数A与>0(60)内有定义,若VE>0,都存在 某个常数A与6>0(60)内有定义,若VE>0,都存在某个 常数A与>0(6<6),使当-60<x-x0<0时,恒有f(x)-4<,则称∫(x) 当x趋于x0时的左极限为A,记为limf(x)=A 特别,上述三个极限)式中的A易为O或土(即f(x)取值无限变大)时,分别称 ∫(x)在相应趋向下的无穷大量或正、负无穷大量。记为 limf(x)=∞,limf(x)=±,limf(x)=± x→x0 2.2函数极限存在的条件 定理31极限lm∫(x)=A(或∞,土∞)存在的充要条件是:Iim∫(x)=A(或∞,±∞) 与limf∫(x)=B(或∞,±∞)都存在,且A=B(或∞,土∞) 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 2网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 的 A 不存在，则称 当 趋于无穷大时的极限不存在，或发散。应特别注意，这里 以 双向方式趋于无穷大。 f ( x) x x 类似前面的定义，还可以给出当 （双向）趋于无穷大时， 为无穷大量的三种描 述，即正无穷大量，负无穷大量和（双向）无穷大量。请读者完成这些练习。 x f ( x) 2．1．2 函数在一点处的极限 定义 2.4 设函数 y = f ( x) 在 的去心邻域 x0 ( , ) { , } * N x0 δ = x 0 0 内有定义，若∀ε > 0，都存在某个常数 A 与δ 0 > 0（δ 0 0 ）内有定义，若∀ε > 0，都存在 某个常数 A 与δ 0 > 0（δ 0 0 ）内有定义，若∀ε > 0，都存在某个 常数 A 与δ 0 > 0（δ 0 < δ ），使当 − δ 0 < x − x0 < 0时，恒有 f (x) − A < ε ，则称 当 趋于 时的左极限为 f ( x) x 0 x A ，记为 f x A x x = → − lim ( ) 0 。 特别，上述三个极限)式中的 A 易为 ∞ 或 ± ∞ （即 f (x) 取值无限变大）时，分别称 f ( x) 在相应趋向下的无穷大量或正、负无穷大量。记为 = ∞ → lim ( ) 0 f x x x ， = ±∞ → + lim ( ) 0 f x x x ， = ±∞ → − lim ( ) 0 f x x x 。 2．2 函数极限存在的条件 定理 3.1 极限 f x A（或 x = →∞ lim ( ) ∞, ± ∞ ）存在的充要条件是： （或 ） 与 （或 ）都存在，且 f x A x = →+∞ lim ( ) ∞, ± ∞ f x B x = →−∞ lim ( ) ∞, ± ∞ A = B （或∞, ± ∞ ）。 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 2 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 定理2.2极限lim∫(x)=A(或∞,±)存在的充要条件是:imf(x)=A与 im∫(x)=B都存在,且A=B 2.3极限存在的准则 2.3.1单调有界准则 定理2。3设函数y=f(x)在区间(a,a+)(δ>0)内有定义且单调减有下界 则右极限lim∫(x)=A存在。而当函数y=f(x)在区间(a-,a)(>0)内有定义且 单调增有上界时,左极限lim∫(x)=A存在 2.3.2夹逼准则 定理24设函数y=f(x)与g(x),px)在区间(a-6,a+)(d>0)内有定义且满足 p(x)0, x∈(0,+∞)都有f(x)≤M,lim(x)=0,则limf(x)(x)=0 这可以作为极限存在的准则来应用。 两个标准极限 利用上述两个准则可以得到下述两个标准极限(重要极限 lim sinr 1 标准极限1 =1标准极限2 lim(l+x)=e 2.5函数极限的性质 2.5.1运算性质(以下各条均适用于x→,∞的情形) (1)设limf(x)=A,C为实常数,则lim(C·f(x)=CA (2)设limf(x)=A,img(x)=B,则lm((x)±g(x)=A±B (3)设limf(x)=A,img(x)=B,则im((x)g(x)=AB (4)设Iim∫(x)=A,g(x)≠0,img(x)=B≠0,则Imnf(x)=4 x-x g(x) B (5)设lim∫(x)=∞,∫(x)≠0,则lim 0 利用上述运算性质可以计算或判断某些极限。为方便计算,遇到无穷大量时,应设法将 无穷大量转化为无穷小量。上述运算性质的命题形式均为充分条件,不满足前面条件时, 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 3网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 定理 2.2 极限 f x A （或 x x = → lim ( ) 0 ∞, ± ∞ ）存在的充要条件是： 与 都存在，且 f x A x x = → + lim ( ) 0 f x B x x = → − lim ( ) 0 A = B 。 2．3 极限存在的准则 2．3．1 单调有界准则 定理 2。3 设函数 y = f ( x) 在区间 (a, a + δ ) （ δ > 0 ）内有定义且单调减有下界， 则右极限 f x A x a = → + lim ( ) 存在。而当函数 y = f (x) 在区间(a − δ ,a)（δ > 0 ）内有定义且 单调增有上界时，左极限 f x A x a = → − lim ( ) 存在。 2．3．2 夹逼准则 定理 2.4 设函数 y = f ( x) 与 g( x),φ( x) 在区间(a − δ , a + δ )（δ > 0 ）内有定义且满足 φ( x) 0， ∀x ∈ (0, + ∞) 都有 f (x) ≤ M ， lim ( ) = 0 →+∞ g x x ，则 lim ( ) ( ) = 0 →+∞ f x g x x 。 这可以作为极限存在的准则来应用。 2．4 两个标准极限 利用上述两个准则可以得到下述两个标准极限（重要极限） 标准极限 1 1 0 = → x x x sin lim 标准极限 2 x e x x + = → 1 0 lim(1 ) 2．5 函数极限的性质 2．5．1 运算性质（以下各条均适用于 x → ±∞, ∞ 的情形） （1）设 f x A ，C 为实常数，则 x x = → lim ( ) 0 (C f x ) CA x x ⋅ = → lim ( ) 0 。 （2）设 f x A ， x x = → lim ( ) 0 g x B x x = → lim ( ) 0 ，则 ( f x g x ) A B x x ± = ± → lim ( ) ( ) 0 （3）设 f x A ， x x = → lim ( ) 0 g x B x x = → lim ( ) 0 ，则 ( f x g x ) AB x x ⋅ = → lim ( ) ( ) 0 。 （4）设 f x A ， x x = → lim ( ) 0 g(x) ≠ 0 ， 0 0 = ≠ → g x B x x lim ( ) ，则 B A g x f x x x = → ( ) ( ) lim0 。 （5）设 0 0 = ∞ ≠ → lim f (x) , f (x) x x ，则 0 1 0 = → ( ) limx x f x 。 利用上述运算性质可以计算或判断某些极限。为方便计算，遇到无穷大量时，应设法将 无穷大量转化为无穷小量。上述运算性质的命题形式均为充分条件，不满足前面条件时， 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 3 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 结论不一定不成立。在考试中,极限的运算法则的运用错误是常见错误,应特别注意避免 这类错误。 2.5.2解析性质及复合极限定理 函数极限具有一些重要的解析性质,主要包括极限的保序性(保号性)与复合极限定 理,掌握这些性质对处理极限以及后续的微分与积分内容会有较大帮助。下面给出这些性质 均以x→xn的情形为例。 定理2.5极限的保序性(保号性) 若lim∫(x)=A>0,则在x0的附近(除去x)某区间内必然有f(x)>0。换言 之,若imf(x)=A>0,则存在x的去心邻域N(x,)={x00}, 使当x∈N(x0,)时,必然有f(x)>0。又若limf(x)=A0,则vE>0,都存在某个常数A与δ>0 使当00,则B,则存在x的 某去心邻域N(x0,)={x00,使当x∈N(x,6)时 有∫(x)>g(x)。并且,进一步有如下推论 极限保序性的逆(请读者自行练习证明) 若在x0的附近(除去x0)某区间内∫(x)>0,且极限lim∫(x)存在,则 imf(x)=A≥0;而当在x0的附近(除去x)某区间内∫(x)<0时,则 f(x)=A≤0 定理2.6有界性 若极限lim∫(x)存在,则∫(x)在x0的附近(除去x)某区间内有界 定理2.7复合极限定理 若limf(u)=A,=(x),im(x)=L0,x≠x时,a≠l,则 lim∫(u(x)=A (2.3) 复合极限定理,也适用于序列的极限运算。这一定理可以使得极限计算变的更加快捷 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 4网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 结论不一定不成立。在考试中，极限的运算法则的运用错误是常见错误，应特别注意避免 这类错误。 2．5．2 解析性质及复合极限定理 函数极限具有一些重要的解析性质，主要包括极限的保序性（保号性）与复合极限定 理，掌握这些性质对处理极限以及后续的微分与积分内容会有较大帮助。下面给出这些性质 均以 的情形为例。 x → x0 定理 2.5 极限的保序性（保号性） 若 ，则在 的附近（除去 ）某区间内必然有 。换言 之，若 ，则存在 的去心邻域 0 0 = > → f x A x x lim ( ) x0 x0 f ( x) > 0 0 0 = > → f x A x x lim ( ) x0 ( 0 , ) { 0 , } N x0 δ = x ， 使当 ( ,δ ) x ∈ N x0 时，必然有 f ( x) > 0 。又若 0 0 = → f x A x x lim ( ) ∀ε > 0，都存在某个常数 A 与δ > 0， 使当0 A ε ，则 2 3 ( ) 2 A f x A > A f x 。 由此性质，可以推论： 若 f x A x x = → lim ( ) 0 ， g x B x x = → lim ( ) 0 ，且 A > B ，则存在 的 某去心邻域 x0 ( 0 , ) { 0 , } N x0 δ = x ，使当 ( ,δ ) x ∈ N x0 时， 有 f ( x) > g( x) 。并且，进一步有如下推论： 极限保序性的逆（请读者自行练习证明） 若在 的附近（除去 ）某区间内 ，且极限 存在，则 ；而当在 的附近（除去 ）某区间内 时 ， 则 。 x0 x0 f ( x) > 0 lim f (x) x→x0 0 0 = ≥ → f x A x x lim ( ) x0 x0 f ( x) < 0 0 0 = ≤ → f x A x x lim ( ) 定理 2.6 有界性 若极限 lim f (x)存在，则 在 的附近（除去 ）某区间内有界。 x→x0 f ( x) x0 x0 定理 2.7 复合极限定理 若 lim f (u) A, u u(x) u u = = → 0 , 0 0 u x u x x = → lim ( ) ， x ≠ x0 时 ， u ≠ u0 ， 则 f u x A x x = → lim ( ( )) 0 （2.3） 复合极限定理，也适用于序列的极限运算。这一定理可以使得极限计算变的更加快捷 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 4 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 方便。利用极限运算性质及复合极限定理可以得到极限的等价描述,以及两个标准极限的 变形表达式如下 lim f(x)=Aof(x)=A+a(x) (2.4) lim sin a(x)=1 lim(I+a(x)a(r=e (2.6) 其中a(x)为某种趋向x→()时的无穷小量,且(2.5)与(2.6)中的a(x)≠0。 2.6无穷小量比阶 定义26设a(x)与B(x)为某种趋向x→()时的无穷小量,若满足!m(x) x-(B(x) 则(1)当4≠0时,称a(x)与B(x)为同阶无穷小量(x→()),特别=1时,称a(x) 与B(x)为等价无穷小量(x→()),可记为a(x)B(x)。 (2)当H=0时,称a(x)是比B(x)高阶的无穷小量(x→())。 (3)当=∞时,称a(x)是比B(x)低阶的无穷小量(x→())。 利用极限性质及运算,可以得到下列几组常用等价无穷小量(x→0) x -sinx- tanx -In(1+x): 1-cosx-=x: a-l-xlna (a>0) 1~x:(x+1)2-1~ax(λ∈R);sinx-x 6十 注:(1)以上等价关系可在广义下应用,即等价关系中的x在应用中常换为满足 lima(x)=0的某个a(x)。 (2)在极限运算中,可以用等价价无穷小量进行替换,但必须注意,替换只能在因子位 置上进行,因等价无穷小量是用因子乘积a(x) 定义的。非法替换是常见错误 p(r) 例2.1极限imn(√2x2+x-√2x2+1)= (A);(B) (C) (D)不存在 2 2√2 【解】lim(√2x2+x-√2x2+1)=lim x→0√2x2+x+√2x2+1 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 5网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 方便。 利用极限运算性质及复合极限定理可以得到极限的等价描述，以及两个标准极限的 变形表达式如下 lim ( ) ( ) ( ) ( ) f x A f x A x x = ⇔ = +α → ⋅ （2.4） = 1 → ⋅ ( ) sin ( ) lim ( ) x x x α α （2.5） ( x ) x e x + = → ⋅ ( ) ( ) lim α( ) α 1 1 (2.6) 其中α(x) 为某种趋向 x → (⋅) 时的无穷小量，且（2.5）与（2.6）中的α( x) ≠ 0 。 2．6 无穷小量比阶 定义 2.6 设α(x) 与 β ( x) 为某种趋向 x → (⋅) 时的无穷小量，若满足 µ β α = → ⋅ ( ) ( ) lim ( ) x x x 则 （1）当 µ ≠ 0 时，称α(x) 与 β ( x) 为同阶无穷小量（ x → (⋅) ），特别 µ = 1 时，称α(x) 与 β ( x) 为等价无穷小量（ x → (⋅) ），可记为α(x) ~ β ( x) 。 （2）当 µ = 0 时，称α(x) 是比 β ( x) 高阶的无穷小量（ x → (⋅) ）。 （3）当 µ = ∞ 时，称α(x) 是比 β ( x) 低阶的无穷小量（ x → (⋅) ）。 利用极限性质及运算，可以得到下列几组常用等价无穷小量（ x → 0 ） x ~ sinx ~ tanx ~ ln(1 + x) ； 2 2 1 1 − cos x ~ x ； （ ）； ； （ a x a x − 1 ~ ln a > 0 e x x − 1 ~ x λx λ ( 1 + 1) − ~ λ ∈ R）； 3 6 1 sin x − x ~ − x 注：（1）以上等价关系可在广义下应用，即等价关系中的 x 在应用中常换为满足 lim ( ) 0 ( ) = → ⋅ x x α 的某个α(x) 。 （2）在极限运算中，可以用等价价无穷小量进行替换，但必须注意，替换只能在因子位 置上进行，因等价无穷小量是用因子乘积 ( ) ( ) x x β α 1 ⋅ 定义的。非法替换是常见错误。 例 2．1 极限 + − + = →∞ lim( 2 2 1) 2 2 x x x x （A） 2 2 1 ; （B） 2 1 ; （C） 2 2 −1 ; （D）不存在 【解】 lim ( 2 2 1) 2 2 + − + → +∞ x x x x 2 2 1 1 2 2 + + + − = →+∞ x x x x x lim 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 5 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 2+-十,2 12√2 im(√2x2+x-√2x2+1)=lim 2x2+x+√2x2+1 因此该极限不存在,因此选(D) 例2.2求极限m/32, er sin x e 【解】错误做法举例 2+e 2+e 2e x+e 2+er 2, lim =0,因此lim 1-x4x 不存在 x→0 x→ i= lim sin x=-1,mSnx∠1, lim sinx也不存在 x→0 由此得出结论原极限不存在。这一做法的错误在于没有正确使用极限的运算准则。极限运算 准则均为充分条件,两个极限不存在的函数,其和的极限未必不存在。正确做法如下: 2+ sInx 2+ SIr lim =0+1=1 ±x→0|x 1+e 1 2+ex sinx 2+e li lim lim sin.r =2-1=1 1+ex 1+ex 2+ex sin x 于是lim 例2.3已知极限Im =e2,求常数a。 【解】已知极限为“1°”型,应考虑应用标准极限2。将已知极限表达式凑成标准型, 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 6网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 = + + + − = →+∞ x x x x lim lim ( 2 2 1) 2 2 + − + →−∞ x x x x 2 2 1 1 2 2 + + + − = →−∞ x x x x x lim 2 2 1 1 2 1 2 1 1 lim 2 = − − + − + − = →−∞ x x x x ，因此该极限不存在，因此选(D)。 例 2．2 求极限 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + → | | sin lim x x e e x x x 4 1 0 1 2 【解】错误做法举例 2 1 2 4 1 0 = + + → − x x x e e lim ， 0 1 2 1 2 4 4 3 0 4 1 0 = + + = + + − − − → + → + x x x x x x x e e e e e lim lim ，因此 x x x e e 4 1 0 1 2 + + → lim 不存在。 = → − | | sin lim x x x 0 1 0 = − − → − x x x sin lim ， 1 0 = → + | | sin lim x x x ， | | sin lim x x x→0 也不存在。 由此得出结论原极限不存在。这一做法的错误在于没有正确使用极限的运算准则。极限运算 准则均为充分条件，两个极限不存在的函数，其和的极限未必不存在。正确做法如下： = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + → + | | sin lim x x e e x x x 4 1 0 1 2 + + + → + x x x e e 4 1 0 1 2 lim 0 1 1 0 = + = → + | | sin lim x x x = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + → − | | sin lim x x e e x x x 4 1 0 1 2 + + + → − x x x e e 4 1 0 1 2 lim 2 1 1 0 = − = → − | | sin lim x x x 于是 1 1 2 4 1 0 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + → | | sin lim x x e e x x x 。 例 2．3 已知极限 2 1 1 − − →∞ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − e x x a x x lim ，求常数a 。 【解】已知极限为“ ”型，应考虑应用标准极限 2。将已知极限表达式凑成标准型， ∞ 1 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 6 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 由lm1+ e,应用复合极限定理得到 令 即有1-a=-2,a=3。 例2.4求极限 【解】limx2e =cx(=-) lim e x(1-cos lim e-1r2. I 例25求极限imx32-3 【解】imx2|3x-3+=imx2.3x+13xx+1-1 =imx2,3-|e-+%5 li ln3=1.1·ln3 x(x+1) 下列做法是错误的第二个等号犯了极限运算法则运用错误,答案对实属巧合。 imx23x-3x*|=limx(3x-1)-(3x+1-1 (3x-1)-limx2(3x+-1) 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 7网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 1 1 − →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − x x x x a lim (1 ) 1 1 1 1 lim 1 a a x x x a ⋅ − − − →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = + a a x x x a − − − →∞ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = + 1 1 1 1 1 lim 1 由 e x a a x x ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⋅ − − →∞ 1 1 1 1 lim 1 ，应用复合极限定理得到 1 1 − →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − x x x x a lim a e − = 1 −2 = e ， 令 ，即有 a e 1− −2 = e 1 − a = −2, a = 3。 例 2.4 求极限 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − →+∞ 1 1 2 x e e x x cos lim 【解】 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − →+∞ 1 1 2 x e e x x cos lim ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − →+∞ 1 1 1 1 2 x x e x e cos lim lim ( cos ) x e x x 1 1 1 2 = − − →+∞ 1 2 1 2 2 1 2 − 1 − →+∞ = ⋅ = e x e x x lim 。 例 2.5 求极限 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →+∞ 1 1 1 2 3 3 x x x lim x 【解】 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →+∞ 1 1 1 2 3 3 x x x lim x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ − + − + →+∞ 3 3 1 1 1 1 1 1 2 x x x x lim x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ − + + →+∞ 3 1 3 1 1 1 1 2 ln ( ) lim x x x x x e 3 1 1 3 1 1 3 1 1 2 ln ln ( ) lim = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + →+∞ x x x x x 。 下列做法是错误的！第二个等号犯了极限运算法则运用错误，答案对实属巧合。 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →+∞ 1 1 1 2 3 3 x x x lim x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − + →+∞ lim (3 1) (3 1) 1 1 1 2 x x x x lim (3 1) lim (3 1) 1 1 2 1 2 = − − − + →+∞ →+∞ x x x x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − →+∞ →+∞ lim 1 lim 1 ln 3 1 1 2 ln 3 1 2 x x x x x e x e 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 7 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 lim x2 In3_ lim r In3 =(In 3)lim- x_=In3 x→+x(x-1) 2.7连续函数概念 连续函数的概念包括两个方面,首先是函数在一点处连续的概念,主要是用来刻画函 数在一点及其附近的局部情况或微观性态;其次是函数在区间上连续的概念,主要是用来 刻画函数在大范围内的全局情况或宏观性态。而所有这些概念都将是进一步研究函数性质 的必备基础。 2.7.1函数在一点连续的概念 定义36设函数y=f(x) (1)在x的某邻域N(x0,D)={x|x-x0}内有定义 (2)极限limf(x)=A存在 (3)A=f(x0) 则称函数y=∫(x)在x处连续。以上三条见可称为函数在一点连续的三要素,缺一 不可。又若y=f(x)在a,b上或(a,b)内的任意一点处都连续,则称函数y=∫(x)在 a,b上或(a,b)内连续 y=f(x)在x处连续的直观意义是,当1x1=|x-xl任意小时, A(x0)=f(x)-f(x0)也可以任意小。 对初等函数而论,连续性的重要结论是:一元初等函数在其定义域内部的任意区间内 都是连续的 函数在一点连续的定义可有以下两种等价性描述: 等价性描述1:设函数y=f(x)在x的某邻域N(x,6)={x00内 有定义,并且满足∫(x)=∫(x)+a(x),其中a(x)为无穷小量(x→x0)。则称函数 y=∫(x)在x处连续。 等价性描述2:设函数y=f(x)在x的某邻域N(x,6)={x|x-xl0内有定 ,引入记号Δx=x-x0,Ay=4(x0)=f(x)-f(x),若有limA=0,则称函数 y=f(x)在x处连续 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 8网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 1 ln 3 lim ln 3 lim 2 2 − = − →+∞ →+∞ x x x x n x ln 3 ( 1) (ln 3) lim 2 = − = →+∞ x x x x 2．7 连续函数概念 连续函数的概念包括两个方面，首先是函数在一点处连续的概念，主要是用来刻画函 数在一点及其附近的局部情况或微观性态；其次是函数在区间上连续的概念，主要是用来 刻画函数在大范围内的全局情况或宏观性态。 而所有这些概念都将是进一步研究函数性质 的必备基础。 2．7．1 函数在一点连续的概念 定义 3.6 设函数 y = f (x) （1）在 的某邻域 x0 ( 0 , ) { , } N x0 δ = x x − x0 内有定义； （2）极限 f x A 存在； x x = → lim ( ) 0 （3） ( ) x0 A = f 则称函数 在 处连续。以上三条见可称为函数在一点连续的三要素，缺一 不可。又若 在 上或 内的任意一点处都连续，则称函数 在 上或 内连续。 y = f ( x) x0 y = f ( x) [a, b] (a, b) y = f (x) [a, b] (a, b) y = f ( x) 在 x0 处连续的直观意义是， 当 0 ∆x = x − x 任意小时， ( ) ( ) ( ) 0 0 ∆f x = f x − f x 也可以任意小。 对初等函数而论，连续性的重要结论是：一元初等函数在其定义域内部的任意区间内 都是连续的。 函数在一点连续的定义可有以下两种等价性描述： 等价性描述 1：设函数 y = f ( x) 在 x0 的某邻域 ( 0 , ) { 0 , } N x0 δ = x 内 有定义，并且满足 f (x) = f (x ) +α(x) 0 ，其中α(x) 为无穷小量（ ）。则称函数 在 处连续。 x → x0 y = f ( x) x0 等价性描述 2：设函数 y = f ( x) 在 x0 的某邻域 ( 0 , ) { , } N x0 δ = x x − x0 内有定 义，引入记号 ∆x = x − x0 ， ( ) ( ) ( ) 0 0 ∆y = ∆f x = f x − f x ，若有 0 0 ∆ = ∆ → y x lim ，则称函数 y = f ( x) 在 处连续。 x0 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 8 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 以上两种等价描述常常成为判断函数在一点处连续的手段。。 定义2.7若满足Iim∫(x)=∫(x0),则称函数∫(x)在x处为右连续,而满足 imf(x)=f(x0)时,则称函数∫(x)在x0处为左连续。 x→x 于是,判断函数在一点处连续的方法还有以下定理 定理2.8函数y=∫(x)在点x处连续的充要条件是:im∫(x)=f(x0)且 imf(x)=f(x0)。 或描述为:在一点处连续的充要条件是在该点处左连续,且右连续 定义28对函数y=∫(x)不连续的点,称之为∫(x)的间断点。对间断点做如下分类 当单边极限lim∫(x)与lim∫(x)都存在却不连续时,称xo为第一类间断点。其中满足 x→x im∫(x)=limf(x)的间断点,称之为可去型间断点。 可去型间断点的可能情况是:limf(x)=limf(x)≠f(x)或∫(x0)无定义 而使得lim∫(x)≠im∫(x)的第一类间断点又常称为跳跃型间断点 除去第一类间断点以外的所有间断点统称为第二类间断点。其中使得imf(x)=∞的 点称为无穷间断点;当x→κ时,∫(x)正负交替取值或大小交替变化取值的点称为震荡 间断点。 2.7.2函数在一点处连续的性质 性质1若函数y=∫(x)在x处连续,则f(x)=f(x0)+a(x),其中Iima(x)=0。 性质2(保号性)若函数y=f(x)在x处连续,并且∫(x0)>0,则存在x0的某邻域 N(x,6)={x|x-xl0},使得当x∈N(x,)时,恒有∫(x)>0 性质3(有界性)若函数y=∫(x)在x0处连续,则存在常数M>0与x0的某邻域 N(x,6)={x|x-x0},使得当x∈N(x,5)时,恒有f(x)≤M。 即f(x)在某N(x0,)内有界 注:性质1可以使得对连续函数极限的计算大为简化(变为简单的函数值计算);而性质2 称为连续函数的保序性或保号性,在后续内容学习中,这对函数的性态研究以及积分的保 序性有着重要作用。性质3也常用于对函数性态研究的根据 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 9网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 以上两种等价描述常常成为判断函数在一点处连续的手段。。 定义 2.7 若满足 ，则称函数 在 处为右连续，而满足 时，则称函数 在 处为左连续。 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → + f ( x) x0 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − f ( x) x0 于是，判断函数在一点处连续的方法还有以下定理 定 理 2.8 函 数 在 点 处连续的 充要条件 是 ： 且 。 y = f ( x) x0 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → + lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − 或描述为：在一点处连续的充要条件是在该点处左连续，且右连续。 定义 2.8 对函数 y = f (x) 不连续的点，称之为 f ( x) 的间断点。对间断点做如下分类： 当单边极限 与 都存在却不连续时，称 为第一类间断点。其中满足 的间断点，称之为可去型间断点。 lim f (x) x x → + 0 lim f (x) x x → − 0 0 x lim f (x) x x → + 0 lim f (x) x x → − = 0 可去型间断点的可能情况是： = → − lim ( ) 0 f x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x ≠ → + 或 ( )无定义， x0 f 而使得 lim f (x) 的第一类间断点又常称为跳跃型间断点。 x x → + 0 lim f (x) x x → − ≠ 0 除去第一类间断点以外的所有间断点统称为第二类间断点。其中使得 的 点称为无穷间断点；当 时， 正负交替取值或大小交替变化取值的点称为震荡 间断点。 = ∞ → lim f (x) x x0 x → x0 f ( x) 2．7．2 函数在一点处连续的性质 性质 1 若函数 y = f ( x) 在 x0 处连续，则 ( ) ( ) ( ) 0 f x = f x +α x ，其中 lim ( ) 0 0 = → x x x α 。 性质 2（保号性） 若函数 y = f ( x) 在 处连续，并且 ，则存在 的某邻域 x0 f (x0 ) > 0 x0 ( , ) { , 0} N x0 δ = x x − x0 ，使得当 ( ,δ ) x ∈ N x0 时，恒有 f ( x) > 0 。 性质 3（有界性）若函数 y = f (x) 在 x0 处连续，则存在常数 M > 0 与 x0 的某邻域 ( , ) { , 0} N x0 δ = x x − x0 ，使得当 ( ,δ ) 时，恒有 f (x) ≤ M 。 x ∈ N x0 即 f ( x) 在某 ( ,δ ) N x0 内有界。 注：性质 1 可以使得对连续函数极限的计算大为简化（变为简单的函数值计算）；而性质 2 称为连续函数的保序性或保号性，在后续内容学习中，这对函数的性态研究以及积分的保 序性有着重要作用。性质 3 也常用于对函数性态研究的根据。 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 9 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 2.7.3连续函数的运算性质复合函数与反函数的连续性 定理2。9若函数∫(x)与g(x)在x0处连续,则函数a(x)±bg(x),∫(x)·g(x)在x0 处连续,且当g(x)≠0时,函数f()(在x处亦连续 定理2。10复合连续定理 若y=∫(u)在=0处连续,"=u(x)在x=x0处连续,且u(x0)=l0, 则∫(u(x))在x=x处连续 定理2.11设函数y=∫(x)在闭区间{a,b上严格单调且连续,则y=f(x)在[a,b上 的反函数∫(y)在a,上严格单调连续。 2.8闭区间上连续函数的性质 函数在区间上连续的概念及一系列性质,是研究函数在大范围内的全局性态或宏观性 态的重要手段,也是后续学习内容的重要基础。 定理2.12有界性定理 若函数y=∫(x)在有界闭区间[a,b上连续,则∫(x)在{a,b上有界,即存在 M>0,使x∈lab,恒有∫(x)sM。 定理2.13最大最小值定理 设函数y=∫(x)在闭区间[a,b上连续,则∫(x)在[a,b上有最大最小值。即存在 xM∈la,b与xm∈[a,b使得∫(xM)=M=maxf(x)且f(xm)=m=maxf(x)。 x∈a,b 注:若函数y=∫(x)在闭区间[a,b上连续且单调,则f(x)在|a,b上的最大最小值只 能在区间端点取得。 定理2.14零点定理(根的存在定理) 设函数y=∫(x)在闭区间{a,b上连续,且∫(a)∫(b)<0,则(至少)存在x∈(a,b) 使得∫(x0)=0。 分析:几何意义是直观的 注1:零点定理可以扩充为:若有不同的两点x1,x2∈la,b(x1<x2)使得 f(x1)f(x2)<0,则(至少)存在x0∈(x1,x2)使得∫(x)=0。 注2:零点定理给出了在闭区间{a,b上连续函数y=f(x)在[a,b上至少有一个零点的 充分条件。读者可以思考,y=∫(x)满足什么条件时,在[a,b上至多有一个零点?又满 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 10网址:www.tsinghuatutorcom电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 2．7．3 连续函数的运算性质 复合函数与反函数的连续性 定理 2。9 若函数 f ( x) 与 g( x) 在 x0 处连续，则函数af ( x) ± bg( x) ， 在 处连续，且当 时，函数 f ( x)⋅ g( x) x0 g(x0 ) ≠ 0 ( ) ( ) g x f x 在 处亦连续。 x0 定理 2。10 复合连续定理 若 y = f (u)在 u = u0 处连续， u = u(x) 在 x = x0处连续， 且 ， u x0 = u0 ( ) 则 f (u( x)) 在 处连续 。 x = x0 定理 2. 11 设函数 y = f ( x) 在闭区间[a, b]上严格单调且连续，则 y = f (x) 在 上 的反函数 在 [a, b] f ( y) −1 [α, β ] 上严格单调连续。 2．8 闭区间上连续函数的性质 函数在区间上连续的概念及一系列性质，是研究函数在大范围内的全局性态或宏观性 态的重要手段，也是后续学习内容的重要基础。 定理 2.12 有界性定理 若函数 在有界闭区间 上连续，则 在 上有界，即存在 ，使 ，恒有 y = f ( x) [a, b] f ( x) [a, b] M > 0 ∀x ∈[a b] f (x) ≤ M 。 定理 2.13 最大最小值定理 设函数 在闭区间 上连续，则 在 上有最大最小值。即存在 与 y = f (x) [a, b] f ( x) [a, b] xM ∈[a, b] x [a, b] m ∈ 使得 ( ) max ( ) [ , ] f x M f x x a b M ∈ = = 且 ( ) max ( ) [ , ] f x m f x x a b m ∈ = = 。 注：若函数 在闭区间 上连续且单调，则 在 上的最大最小值只 能在区间端点取得。 y = f (x) [a, b] f ( x) [a, b] 定理 2.14 零点定理（根的存在定理） 设函数 y = f ( x) 在闭区间[a, b]上连续，且 f (a) f (b) < 0 ，则（至少）存在 使得 。 x ∈ (a, b) 0 f (x0 ) = 0 分析：几何意义是直观的。 注 1：零点定理可以扩充为：若有不同的两点 , [ , ]( ) 1 2 1 2 x x ∈ a b x < x 使得 0 f (x1 ) f (x2 ) < ，则（至少）存在 ( , ) x0 ∈ x1 x2 使得 f (x0 ) = 0 。 注 2: 零点定理给出了在闭区间[a, b]上连续函数 y = f ( x) 在 上至少有一个零点的 充分条件。读者可以思考， 满足什么条件时，在 上至多有一个零点？又满 [a, b] y = f (x) [a, b] 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 10 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
