《微积分、线性代数》考研知识点解析：第2章函数的极限与连续函数.pdf_大学文库

2008 水木艾迪考研辅导基础班清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 定理 2.2 极限 f x A （或 x x = → lim ( ) 0 ∞, ± ∞ ）存在的充要条件是：与都存在，且 f x A x x = → + lim ( ) 0 f x B x x = → − lim ( ) 0 A = B 。 2．3 极限存在的准则 2．3．1 单调有界准则定理 2。3 设函数 y = f ( x) 在区间 (a, a + δ ) （ δ > 0 ）内有定义且单调减有下界，则右极限 f x A x a = → + lim ( ) 存在。而当函数 y = f (x) 在区间(a − δ ,a)（δ > 0 ）内有定义且单调增有上界时，左极限 f x A x a = → − lim ( ) 存在。 2．3．2 夹逼准则定理 2.4 设函数 y = f ( x) 与 g( x),φ( x) 在区间(a − δ , a + δ )（δ > 0 ）内有定义且满足 φ( x) 0， ∀x ∈ (0, + ∞) 都有 f (x) ≤ M ， lim ( ) = 0 →+∞ g x x ，则 lim ( ) ( ) = 0 →+∞ f x g x x 。这可以作为极限存在的准则来应用。 2．4 两个标准极限利用上述两个准则可以得到下述两个标准极限（重要极限）标准极限 1 1 0 = → x x x sin lim 标准极限 2 x e x x + = → 1 0 lim(1 ) 2．5 函数极限的性质 2．5．1 运算性质（以下各条均适用于 x → ±∞, ∞ 的情形）（1）设 f x A ，C 为实常数，则 x x = → lim ( ) 0 (C f x ) CA x x ⋅ = → lim ( ) 0 。（2）设 f x A ， x x = → lim ( ) 0 g x B x x = → lim ( ) 0 ，则 ( f x g x ) A B x x ± = ± → lim ( ) ( ) 0 （3）设 f x A ， x x = → lim ( ) 0 g x B x x = → lim ( ) 0 ，则 ( f x g x ) AB x x ⋅ = → lim ( ) ( ) 0 。（4）设 f x A ， x x = → lim ( ) 0 g(x) ≠ 0 ， 0 0 = ≠ → g x B x x lim ( ) ，则 B A g x f x x x = → ( ) ( ) lim0 。（5）设 0 0 = ∞ ≠ → lim f (x) , f (x) x x ，则 0 1 0 = → ( ) limx x f x 。利用上述运算性质可以计算或判断某些极限。为方便计算，遇到无穷大量时，应设法将无穷大量转化为无穷小量。上述运算性质的命题形式均为充分条件，不满足前面条件时，刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 3 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 结论不一定不成立。在考试中，极限的运算法则的运用错误是常见错误，应特别注意避免这类错误。 2．5．2 解析性质及复合极限定理函数极限具有一些重要的解析性质，主要包括极限的保序性（保号性）与复合极限定理，掌握这些性质对处理极限以及后续的微分与积分内容会有较大帮助。下面给出这些性质均以的情形为例。 x → x0 定理 2.5 极限的保序性（保号性）若，则在的附近（除去）某区间内必然有。换言之，若，则存在的去心邻域 0 0 = > → f x A x x lim ( ) x0 x0 f ( x) > 0 0 0 = > → f x A x x lim ( ) x0 ( 0 , ) { 0 , } N x0 δ = x ，使当 ( ,δ ) x ∈ N x0 时，必然有 f ( x) > 0 。又若 0 0 = → f x A x x lim ( ) ∀ε > 0，都存在某个常数 A 与δ > 0，使当0 A ε ，则 2 3 ( ) 2 A f x A > A f x 。由此性质，可以推论：若 f x A x x = → lim ( ) 0 ， g x B x x = → lim ( ) 0 ，且 A > B ，则存在的某去心邻域 x0 ( 0 , ) { 0 , } N x0 δ = x ，使当 ( ,δ ) x ∈ N x0 时，有 f ( x) > g( x) 。并且，进一步有如下推论：极限保序性的逆（请读者自行练习证明）若在的附近（除去）某区间内，且极限存在，则；而当在的附近（除去）某区间内时，则。 x0 x0 f ( x) > 0 lim f (x) x→x0 0 0 = ≥ → f x A x x lim ( ) x0 x0 f ( x) < 0 0 0 = ≤ → f x A x x lim ( ) 定理 2.6 有界性若极限 lim f (x)存在，则在的附近（除去）某区间内有界。 x→x0 f ( x) x0 x0 定理 2.7 复合极限定理若 lim f (u) A, u u(x) u u = = → 0 , 0 0 u x u x x = → lim ( ) ， x ≠ x0 时， u ≠ u0 ，则 f u x A x x = → lim ( ( )) 0 （2.3）复合极限定理，也适用于序列的极限运算。这一定理可以使得极限计算变的更加快捷刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 4 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 方便。利用极限运算性质及复合极限定理可以得到极限的等价描述，以及两个标准极限的变形表达式如下 lim ( ) ( ) ( ) ( ) f x A f x A x x = ⇔ = +α → ⋅ （2.4） = 1 → ⋅ ( ) sin ( ) lim ( ) x x x α α （2.5） ( x ) x e x + = → ⋅ ( ) ( ) lim α( ) α 1 1 (2.6) 其中α(x) 为某种趋向 x → (⋅) 时的无穷小量，且（2.5）与（2.6）中的α( x) ≠ 0 。 2．6 无穷小量比阶定义 2.6 设α(x) 与 β ( x) 为某种趋向 x → (⋅) 时的无穷小量，若满足 µ β α = → ⋅ ( ) ( ) lim ( ) x x x 则（1）当 µ ≠ 0 时，称α(x) 与 β ( x) 为同阶无穷小量（ x → (⋅) ），特别 µ = 1 时，称α(x) 与 β ( x) 为等价无穷小量（ x → (⋅) ），可记为α(x) ~ β ( x) 。（2）当 µ = 0 时，称α(x) 是比 β ( x) 高阶的无穷小量（ x → (⋅) ）。（3）当 µ = ∞ 时，称α(x) 是比 β ( x) 低阶的无穷小量（ x → (⋅) ）。利用极限性质及运算，可以得到下列几组常用等价无穷小量（ x → 0 ） x ~ sinx ~ tanx ~ ln(1 + x) ； 2 2 1 1 − cos x ~ x ；（）；；（ a x a x − 1 ~ ln a > 0 e x x − 1 ~ x λx λ ( 1 + 1) − ~ λ ∈ R）； 3 6 1 sin x − x ~ − x 注：（1）以上等价关系可在广义下应用，即等价关系中的 x 在应用中常换为满足 lim ( ) 0 ( ) = → ⋅ x x α 的某个α(x) 。（2）在极限运算中，可以用等价价无穷小量进行替换，但必须注意，替换只能在因子位置上进行，因等价无穷小量是用因子乘积 ( ) ( ) x x β α 1 ⋅ 定义的。非法替换是常见错误。例 2．1 极限 + − + = →∞ lim( 2 2 1) 2 2 x x x x （A） 2 2 1 ; （B） 2 1 ; （C） 2 2 −1 ; （D）不存在【解】 lim ( 2 2 1) 2 2 + − + → +∞ x x x x 2 2 1 1 2 2 + + + − = →+∞ x x x x x lim 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 5 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 1 1 − →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − x x x x a lim (1 ) 1 1 1 1 lim 1 a a x x x a ⋅ − − − →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = + a a x x x a − − − →∞ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = + 1 1 1 1 1 lim 1 由 e x a a x x ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⋅ − − →∞ 1 1 1 1 lim 1 ，应用复合极限定理得到 1 1 − →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − x x x x a lim a e − = 1 −2 = e ，令，即有 a e 1− −2 = e 1 − a = −2, a = 3。例 2.4 求极限 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − →+∞ 1 1 2 x e e x x cos lim 【解】 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − →+∞ 1 1 2 x e e x x cos lim ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − →+∞ 1 1 1 1 2 x x e x e cos lim lim ( cos ) x e x x 1 1 1 2 = − − →+∞ 1 2 1 2 2 1 2 − 1 − →+∞ = ⋅ = e x e x x lim 。例 2.5 求极限 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →+∞ 1 1 1 2 3 3 x x x lim x 【解】 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →+∞ 1 1 1 2 3 3 x x x lim x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ − + − + →+∞ 3 3 1 1 1 1 1 1 2 x x x x lim x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ − + + →+∞ 3 1 3 1 1 1 1 2 ln ( ) lim x x x x x e 3 1 1 3 1 1 3 1 1 2 ln ln ( ) lim = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + →+∞ x x x x x 。下列做法是错误的！第二个等号犯了极限运算法则运用错误，答案对实属巧合。 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →+∞ 1 1 1 2 3 3 x x x lim x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − + →+∞ lim (3 1) (3 1) 1 1 1 2 x x x x lim (3 1) lim (3 1) 1 1 2 1 2 = − − − + →+∞ →+∞ x x x x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − →+∞ →+∞ lim 1 lim 1 ln 3 1 1 2 ln 3 1 2 x x x x x e x e 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 7 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 1 ln 3 lim ln 3 lim 2 2 − = − →+∞ →+∞ x x x x n x ln 3 ( 1) (ln 3) lim 2 = − = →+∞ x x x x 2．7 连续函数概念连续函数的概念包括两个方面，首先是函数在一点处连续的概念，主要是用来刻画函数在一点及其附近的局部情况或微观性态；其次是函数在区间上连续的概念，主要是用来刻画函数在大范围内的全局情况或宏观性态。而所有这些概念都将是进一步研究函数性质的必备基础。 2．7．1 函数在一点连续的概念定义 3.6 设函数 y = f (x) （1）在的某邻域 x0 ( 0 , ) { , } N x0 δ = x x − x0 内有定义；（2）极限 f x A 存在； x x = → lim ( ) 0 （3） ( ) x0 A = f 则称函数在处连续。以上三条见可称为函数在一点连续的三要素，缺一不可。又若在上或内的任意一点处都连续，则称函数在上或内连续。 y = f ( x) x0 y = f ( x) [a, b] (a, b) y = f (x) [a, b] (a, b) y = f ( x) 在 x0 处连续的直观意义是，当 0 ∆x = x − x 任意小时， ( ) ( ) ( ) 0 0 ∆f x = f x − f x 也可以任意小。对初等函数而论，连续性的重要结论是：一元初等函数在其定义域内部的任意区间内都是连续的。函数在一点连续的定义可有以下两种等价性描述：等价性描述 1：设函数 y = f ( x) 在 x0 的某邻域 ( 0 , ) { 0 , } N x0 δ = x 内有定义，并且满足 f (x) = f (x ) +α(x) 0 ，其中α(x) 为无穷小量（）。则称函数在处连续。 x → x0 y = f ( x) x0 等价性描述 2：设函数 y = f ( x) 在 x0 的某邻域 ( 0 , ) { , } N x0 δ = x x − x0 内有定义，引入记号 ∆x = x − x0 ， ( ) ( ) ( ) 0 0 ∆y = ∆f x = f x − f x ，若有 0 0 ∆ = ∆ → y x lim ，则称函数 y = f ( x) 在处连续。 x0 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 8 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008水木艾迪考研辅导基础班清华东门同方广场B座609 电话:62701055 以上两种等价描述常常成为判断函数在一点处连续的手段。。定义2.7若满足Iim∫(x)=∫(x0),则称函数∫(x)在x处为右连续,而满足 imf(x)=f(x0)时,则称函数∫(x)在x0处为左连续。 x→x 于是,判断函数在一点处连续的方法还有以下定理定理2.8函数y=∫(x)在点x处连续的充要条件是:im∫(x)=f(x0)且 imf(x)=f(x0)。或描述为:在一点处连续的充要条件是在该点处左连续,且右连续定义28对函数y=∫(x)不连续的点,称之为∫(x)的间断点。对间断点做如下分类当单边极限lim∫(x)与lim∫(x)都存在却不连续时,称xo为第一类间断点。其中满足 x→x im∫(x)=limf(x)的间断点,称之为可去型间断点。可去型间断点的可能情况是:limf(x)=limf(x)≠f(x)或∫(x0)无定义而使得lim∫(x)≠im∫(x)的第一类间断点又常称为跳跃型间断点除去第一类间断点以外的所有间断点统称为第二类间断点。其中使得imf(x)=∞的点称为无穷间断点;当x→κ时,∫(x)正负交替取值或大小交替变化取值的点称为震荡间断点。 2.7.2函数在一点处连续的性质性质1若函数y=∫(x)在x处连续,则f(x)=f(x0)+a(x),其中Iima(x)=0。性质2(保号性)若函数y=f(x)在x处连续,并且∫(x0)>0,则存在x0的某邻域 N(x,6)={x|x-xl0},使得当x∈N(x,)时,恒有∫(x)>0 性质3(有界性)若函数y=∫(x)在x0处连续,则存在常数M>0与x0的某邻域 N(x,6)={x|x-x0},使得当x∈N(x,5)时,恒有f(x)≤M。即f(x)在某N(x0,)内有界注:性质1可以使得对连续函数极限的计算大为简化(变为简单的函数值计算);而性质2 称为连续函数的保序性或保号性,在后续内容学习中,这对函数的性态研究以及积分的保序性有着重要作用。性质3也常用于对函数性态研究的根据刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 9网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 以上两种等价描述常常成为判断函数在一点处连续的手段。。定义 2.7 若满足，则称函数在处为右连续，而满足时，则称函数在处为左连续。 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → + f ( x) x0 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − f ( x) x0 于是，判断函数在一点处连续的方法还有以下定理定理 2.8 函数在点处连续的充要条件是：且。 y = f ( x) x0 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → + lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → − 或描述为：在一点处连续的充要条件是在该点处左连续，且右连续。定义 2.8 对函数 y = f (x) 不连续的点，称之为 f ( x) 的间断点。对间断点做如下分类：当单边极限与都存在却不连续时，称为第一类间断点。其中满足的间断点，称之为可去型间断点。 lim f (x) x x → + 0 lim f (x) x x → − 0 0 x lim f (x) x x → + 0 lim f (x) x x → − = 0 可去型间断点的可能情况是： = → − lim ( ) 0 f x x x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x ≠ → + 或 ( )无定义， x0 f 而使得 lim f (x) 的第一类间断点又常称为跳跃型间断点。 x x → + 0 lim f (x) x x → − ≠ 0 除去第一类间断点以外的所有间断点统称为第二类间断点。其中使得的点称为无穷间断点；当时，正负交替取值或大小交替变化取值的点称为震荡间断点。 = ∞ → lim f (x) x x0 x → x0 f ( x) 2．7．2 函数在一点处连续的性质性质 1 若函数 y = f ( x) 在 x0 处连续，则 ( ) ( ) ( ) 0 f x = f x +α x ，其中 lim ( ) 0 0 = → x x x α 。性质 2（保号性）若函数 y = f ( x) 在处连续，并且，则存在的某邻域 x0 f (x0 ) > 0 x0 ( , ) { , 0} N x0 δ = x x − x0 ，使得当 ( ,δ ) x ∈ N x0 时，恒有 f ( x) > 0 。性质 3（有界性）若函数 y = f (x) 在 x0 处连续，则存在常数 M > 0 与 x0 的某邻域 ( , ) { , 0} N x0 δ = x x − x0 ，使得当 ( ,δ ) 时，恒有 f (x) ≤ M 。 x ∈ N x0 即 f ( x) 在某 ( ,δ ) N x0 内有界。注：性质 1 可以使得对连续函数极限的计算大为简化（变为简单的函数值计算）；而性质 2 称为连续函数的保序性或保号性，在后续内容学习中，这对函数的性态研究以及积分的保序性有着重要作用。性质 3 也常用于对函数性态研究的根据。刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 9 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

2008 水木艾迪考研辅导基础班清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 2．7．3 连续函数的运算性质复合函数与反函数的连续性定理 2。9 若函数 f ( x) 与 g( x) 在 x0 处连续，则函数af ( x) ± bg( x) ，在处连续，且当时，函数 f ( x)⋅ g( x) x0 g(x0 ) ≠ 0 ( ) ( ) g x f x 在处亦连续。 x0 定理 2。10 复合连续定理若 y = f (u)在 u = u0 处连续， u = u(x) 在 x = x0处连续，且， u x0 = u0 ( ) 则 f (u( x)) 在处连续。 x = x0 定理 2. 11 设函数 y = f ( x) 在闭区间[a, b]上严格单调且连续，则 y = f (x) 在上的反函数在 [a, b] f ( y) −1 [α, β ] 上严格单调连续。 2．8 闭区间上连续函数的性质函数在区间上连续的概念及一系列性质，是研究函数在大范围内的全局性态或宏观性态的重要手段，也是后续学习内容的重要基础。定理 2.12 有界性定理若函数在有界闭区间上连续，则在上有界，即存在，使，恒有 y = f ( x) [a, b] f ( x) [a, b] M > 0 ∀x ∈[a b] f (x) ≤ M 。定理 2.13 最大最小值定理设函数在闭区间上连续，则在上有最大最小值。即存在与 y = f (x) [a, b] f ( x) [a, b] xM ∈[a, b] x [a, b] m ∈ 使得 ( ) max ( ) [ , ] f x M f x x a b M ∈ = = 且 ( ) max ( ) [ , ] f x m f x x a b m ∈ = = 。注：若函数在闭区间上连续且单调，则在上的最大最小值只能在区间端点取得。 y = f (x) [a, b] f ( x) [a, b] 定理 2.14 零点定理（根的存在定理）设函数 y = f ( x) 在闭区间[a, b]上连续，且 f (a) f (b) < 0 ，则（至少）存在使得。 x ∈ (a, b) 0 f (x0 ) = 0 分析：几何意义是直观的。注 1：零点定理可以扩充为：若有不同的两点 , [ , ]( ) 1 2 1 2 x x ∈ a b x < x 使得 0 f (x1 ) f (x2 ) < ，则（至少）存在 ( , ) x0 ∈ x1 x2 使得 f (x0 ) = 0 。注 2: 零点定理给出了在闭区间[a, b]上连续函数 y = f ( x) 在上至少有一个零点的充分条件。读者可以思考，满足什么条件时，在上至多有一个零点？又满 [a, b] y = f (x) [a, b] 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 10 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805

《微积分、线性代数》考研知识点解析：第2章 函数的极限与连续函数

《微积分、线性代数》考研知识点解析：第2章函数的极限与连续函数