《线性代数》第二章 矩终及其运算（2.2）矩阵的运算

矩陈及其运算 第二节矩阵的运算 矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的其它运算 五、小结思考题

、矩阵的加法 1、定义 设有两个mxn矩阵A=()B=(b)那末矩阵 A与B的和记作4+B,规定为 +b, a,+b, 12 In +b In a2+b21a2+b 2m+b, A+B= 22 2n a,+b m2 +b +b ml 2 n nn 上页

１、定义               + + + + + + + + + + = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B        1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 一、矩阵的加法 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为 mn A (a ), B (b ), = ij = ij A B A+ B

说明只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进 行加法运算 123-5)(189 例如1 90+654 368 32 12+13+8-5+9(13114 =1+69+50+4|=7-44 3+36+28+1(689 上页

说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例如           +           − − 3 2 1 6 5 4 1 8 9 3 6 8 1 9 0 12 3 5           + + + + − + + + + − + = 3 3 6 2 8 1 1 6 9 5 0 4 12 1 3 8 5 9 . 6 8 9 7 4 4 13 11 4           = −

2、矩阵加法的运算规律 (1)A+B=B+A; 生(4+)+C=A+(B+C 11 12 (3)-A= 21 22 2n mI m 1 称为矩阵A的负矩阵 (4)A+(-A)=0,A-B=A+(-B) 上页

2、 矩阵加法的运算规律 (1) A+ B = B + A; (2)(A+ B)+ C = A+ (B + C). ( )               − − − − − − − − − − = m m m n n n a a a a a a a a a A        1 1 21 22 2 11 12 1 3 (4) A+ (− A) = 0, A− B = A+ (− B). ( ), = − aij 称为矩阵A的负矩阵

庄二、数与矩阵相乘 1、定义 数λ与矩阵4的乘积记作4或4孔,规定为 12 λ a4=A= 21 122 上页

1、定义 . 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               = = m m mn n n a a a a a a a a a A A                   二、数与矩阵相乘 数与矩阵A的乘积记作A或A,规定为

2、数乘矩阵的运算规律 (设A、B为mXn矩阵,λ,为数) (1)(xu)A=4(u4 (2)(2+)A=4+4; (3)(4+B)=A4+aB 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算 上页

(1)()A = (A); (2)( + )A = A+ A; (3) (A+ B) = A+ B. 2、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算. （设 A、B 为 mn 矩阵，  , 为数）

三、矩阵与矩阵相乘 1、定义 设A=(an)是一个mxS矩阵,B=(b)是一个 sxn矩阵,那末规定矩阵4与矩阵B的乘积 是一个m×n矩阵C=(),其中 Cn=anb+a12b21+…+ab=∑a1kb (=12,m;j=1,2,,n 并把此乘积记作C=AB 上页

１、定义 = + + + =  = s k ij ai b j ai b j ai sbsj ai k bkj c 1 1 1 2 2  (i = 1,2, m; j = 1,2,  ,n), 并把此乘积记作 C = AB. 三、矩阵与矩阵相乘 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 ( ) A = aij m s ( ) B = bij sn mn ( )ij C = c A B

例C例 6 2 2 -16 18 31 26 2 2×2 2 设 0 A 10 13一 20 B 013 321 5 1 2

例１ 2 2 2 2 3 6 2 4 1 2 2 4         − −       − − C = 22       = −16 − 32 8 16 设           − − − = 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 A             − − = 1 2 1 3 1 1 1 2 1 0 3 4 B 例2 ?

解 4= /3×4 B=bi 4×3 ∴C=(c U/3×3 故 2 王c=AB=-13 5-14 567 =102-6 21710 上页

故   − −   − − − = = 1 2 1 3 1 1 1 2 1 0 3 4 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 C AB .  = 解 ( ) , 34  A = aij ( )4  3 , B = bij ( ) . 33  = ij C c − 5 6 7 10 2 − 6 − 2 17 10

注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时,两个矩阵才能相乘 123 例如 168 、580601不存在 321 23)2|=(1×3+2×2+3×1)=(0 上页

注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.                 6 0 1 1 6 8 5 8 9 3 2 1 1 2 3 例如 ( )           1 2 3 1 2 3 = (1 3 + 2 2 + 31) = (10). 不存在