《高等代数》课程教学资源（下）线性变换答案

线性变换练习题 填空题(每空3分,共36分) 1.设1,B2是线性空间V的一组基,V的一个线性变换在这组基下的矩 阵是A=(an),a=x1+x22+x:∈V,则σ在基3a,61下的矩阵B a3a2a1,而可逆矩阵T=1满足B=T4T,m在基a,4,下的坐标 为 A(x1,x23x3) 2.设A为数域P上秩为r的n阶矩阵,定义n维列向量空间P的线性变换 :∞=4,5∈P",则σ(0)=(4=0.∈門),dm(0)=n, dim(o(P"))=I 3.复矩阵A=(an)m的全体特征值的和等于an+a2+…+an,而全体特征值的 积等于A 4.设σ是n维线性空间V的线性变换,且o在任一基下的矩阵都相同,则 0为数乘变换 5数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V为n2维 线性空间,它与Pm同构 6.设n阶矩阵A的全体特征值为λ,气2,…,,∫(x)为任一多项式,则f(4)的 全体特征值为f(41),f(2)…,f(x1) 二、判断题(每小题2分,共10分) 1.设是线性空间V的一个线性变换,a1ax2…a,∈V线性无关,则向量组 o(a1,r(a2)…,o(a)也线性无关 (×) 2.设为n维线性空间的一个线性变换,由a的秩+o的零度=n

线性变换练习题 一、填空题(每空 3 分, 共 36 分) 1．设 1 2 3    , , 是线性空间 V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩 阵 是 3 3 1 1 2 2 3 3 ( ) , , A a x x x V ij     = = + +   则σ在基 3 2 1  , , 下 的 矩 阵 B ＝ 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a           ，而可逆矩阵 T＝ 1 1 1           满足 1 B T AT, − =  在基 1 2 3    , , 下的坐标 为 1 2 3 ( , , )T A x x x . 2．设 A 为数域 P 上秩为 r 的 n 阶矩阵，定义 n 维列向量空间 P n的线性变换 σ： ( ) , n     =  A P ,则 1  (0) − ＝ { }n    | = 0, A P  ， ( ) 1 dim (0)  − ＝ n−r ， dim ( ) ( ) n  P ＝ r . 3．复矩阵 ( ) A a = ij n n 的全体特征值的和等于 11 22 nn a a a + + + ，而全体特征值的 积等于 A . 4．设σ是 n 维线性空间 V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则 σ为 数乘 变换. 5．数域 P 上 n 维线性空间 V 的全体线性变换所成的线性空间 L(V)为 n 2 维 线性空间，它与 n n P  同构. 6．设 n 阶矩阵 A 的全体特征值为 1 2 , , ,    n，f x( ) 为任一多项式，则 f A( ) 的 全体特征值为 1 2 ( ), ( ), , ( ) n f f f    . 二、判断题(每小题 2 分,共 10 分) 1．设σ是线性空间 V 的一个线性变换， 1 2 , , ,   s V 线性无关，则向量组 1 2 ( ), ( ), , ( )      s 也线性无关. （ × ） 2．设σ为 n 维线性空间 V 的一个线性变换，由 σ的秩＋σ的零度＝n

可知v=a(V)a(0 (×) 3在线性空间R2中定义变换σ:a(x,y)=(+x,y),则是R2的一个线性变 换 ( 4.若o为n维线性空间v的一个线性变换,则o是可逆的当且仅当a(0) 0 5.设a为线性空间v的一个线性变换,W为V的一个子集,若o(H)是V的 一个子空间,则W必为V的子空间.(×) 三、计算与证明(每小题18分) 1.判断矩阵A是否可对角化?若可对角化,求一个可逆矩阵T,使成对角 形 A=313 0 1, T-IAT 110 2.在线性空间P中定义变换σ:o(x,x2…,x)=(0,x2,…,x,) (1)证明:a是P的线性变换 (2)求a(P)与σ-(0).a(P)={0.,a2…,an)a1∈P,=2,3,…,n=Pm a(o)={(a,0,…,0)a∈P}=P 3.若A是一个n阶矩阵,且A2=A,则A的特征值只能是0和1

可知 1 V V   ( ) (0). − =  （ × ） 3．在线性空间 R 2中定义变换σ：  ( , ) (1 , ) x y x y = + ，则σ是 R 2的一个线性变 换. （ × ） 4．若σ为 n 维线性空间 V 的一个线性变换，则σ是可逆的当且仅当 1  (0) − ＝ ｛0｝. （ √ ） 5．设σ为线性空间 V 的一个线性变换，W 为 V 的一个子集，若  ( ) W 是 V 的 一个子空间，则 W 必为 V 的子空间. （ × ） 三、计算与证明(每小题 18 分) 1．判断矩阵 A 是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵 T，使成对角 形. 1 3 3 3 1 3 3 3 1 A     =       111 1 0 1 1 1 0 T   − −   =       , 1 7 2 2 T AT −     = −     −   2．在线性空间 P n中定义变换σ： 1 2 2 ( , , , ) (0, , , ) n n  x x x x x = （1）证明：σ是 P n的线性变换. （2）求 ( ) n  P 与 1  ( ). o − 1 2 ( ) {(0, , , ) | , 2, 3, , } n n  P a a a P i n P n i − =  = = 1  ( ) {( ,0, ,0) | } o a a P P − =  = 3．若 A 是一个 n 阶矩阵,且 A 2＝A，则 A 的特征值只能是 0 和 1