线性空间习题 、填空题 0 1、已知v-{a+bc0bc∈R}是R的一个子空间,则维()=3,V 0c+b0 001)(000)(000 的一组基是100100010 000)(010J(010 2、已知a是数域P中的一个固定的数,而 W={(a,x,…,xn)x∈P,=1,2,…,n 是Pm+的一个子空间,则a=_0,而维()=_n 3、设E1,2,63是线性空间v的一组基,a=xE1+x2E2+x363,则由基,2,l3 001 到基a2,,4的过渡矩阵r=100,而a在基63,62,E1下的坐标是(x2,x2,x) 、判断题 、设=Pm,则={44∈P∞,4=0是v的子空间X 2、已知V={a+b,C+d)a,b,c,d∈R为R上的线性空间,则维()=2.x 3、设AB∈Pm,V是(1x=0的解空间,1是4X=0的解空间,是(+Bx =0的解空间,则v=∩V,√ 4设W是线性空间v的子空间如果a,B∈V,但agH且BeH,则必有a+Be.X 三、计算题 在线性空间P×2中 104=(1)B=01),B
线性空间习题 一、填空题 1、已知 0 0 0 , , 0 0 a V a b c a b c R c b = + + 是 3 3 R 的一个子空间，则维(V)＝ 3 ， V 的一组基是 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 , 1 0 0 , 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 . 2、已知 a 是数域 P 中的一个固定的数，而 1 {( , , , ) , 1,2, , } W a x x x P i n = = n i 是 Pn+1的一个子空间，则 a＝ 0 ，而维(W)＝ n . 3、设 1 2 3 , , 是线性空间 V 的一组基， 1 1 2 2 3 3 = + + x x x ，则由基 1 2 3 , , 到基 2 3 1 , , 的过渡矩阵 T＝ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ，而 在基 3 2 1 , , 下的坐标是 3 2 1 ( , , ) x x x . 二、判断题 1、设 n n V P = ，则 { , 0} W A A P A n n = = 是 V 的子空间.× 2、已知 V a bi c di a b c d R = + + {( , ) , , , } 为 R 上的线性空间，则维(V)＝2. × 3、设 , n n A B P ，V 是 0 A X B = 的解空间，V1是 AX＝0 的解空间，V2是(A＋B)X ＝0 的解空间，则 V V V = 1 2 .√ 4、设 W 是线性空间 V 的子空间,如果 , , V 但 W W 且 , 则必有 + W . × 三、计算题 1、 在线性空间 P 2×2中， 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 , , , 1 0 1 1 0 1 3 7 A A B B − − − = = = =
1)求L(A4,42)∩L(B,B2)的维数与一组基 2)求L(A4,A2)+L(B1,B2)的维数与一组基 解;1)va∈L(4,A)∩L(B1,B1),有a=x1A4+x242=x3B+xB4,所以有 1A4+x2A2-x3B1-x4B4=0,即 XI x2-2x2-x1=0 2x1+x2+x2+x1=0 3x1=0 x2-x3 其一般解为x=—x4,x2=4x4,x3=-3x4,令x4=k可得x1=-k,x2=k 所以a=-k4+44=k 34 因此Dim(L(4,42)∩L(B1,B2))=1,且 34为其一组基 解:2)L(A1,A2)+L(B,B2)=L(A1,A2,B1,B2),将A1,A12,B1,B2都看成 列向量,则 21 (A41,A2,B1,B2) 0117 11 对A进行初等行变换可得4→0013·所以 0000 秩(41,A12,B1,B2)=3且A1,A2,B1为L(A1,A1)+L(B1,B2)的一组基 2、在线性空间P中,求由基a1,a2,a3,a到基B1,B2,月3,月的过渡矩阵,并求
1） 求 1 2 1 2 L A A L B B ( , ) ( , ) 的维数与一组基. 2） 求 1 2 1 2 L A A L B B ( , ) ( , ) + 的维数与一组基. 解： 1) 1 2 1 2 L A A L B B ( , ) ( , ) , 有 1 1 2 2 3 1 4 4 = + = + x A x A x B x B , 所以有 1 1 2 2 3 1 4 4 x A x A x B x B + − − = 0 , 即 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 2 3 4 2 0 2 0 3 0 7 0 x x x x x x x x x x x x x x − − − = + + + = + − = − − = 其一般解为 1 4 x x = − , 2 4 x x = 4 , 3 4 x x = −3 , 令 4 x k = 可得 1 x k = − , 2 x k = , 所 以 1 2 5 2 4 3 4 kA kA k − = − + = . 因 此 Dim( 1 2 1 2 L A A L B B ( , ) ( , ) )=1, 且 5 2 3 4 − 为其一组基. 解: 2) 1 2 1 2 1 2 1 2 L A A L B B L A A B B ( , ) ( , ) ( , , , ) + = , 将 1 2 1 2 A A B B , , , 都看成 列向量, 则 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 ( , , , ) 1 1 0 3 0 1 1 7 A A B B A − − − = = 对 A 进行初等行变换可得 1 1 2 1 0 1 1 1 0 0 1 3 0 0 0 0 A − − → . 所以 秩 1 2 1 2 ( , , , ) 3 A A B B = 且 1 2 1 A A B , , 为 1 2 1 2 L A A L B B ( , ) ( , ) + 的一组基. 2、在线性空间 P 4 中，求由基 1 2 3 4 ,,, 到基 1 2 3 4 ,,, 的过渡矩阵，并求
a=(1,4,2,3在基a,a2,a,下的坐标,其中 a1=(1,0,0,0),a2=(4,1,0,0,G%3=(-3,2,1,0),a4=(2,-3,2,1) B1=(1,1,8,3),B2=(0,3,7,2),63=(1,1,6,2,B4=(-1,4,-1,-1) 14-32 101-1 012-3 1314 解:设令A 0012 876-1 则有 0001 32 a2,a3,a4)=(a1,62,63,64) (,月2,B3,B4)=(G1,E2,3,64)B=(a1,ax2,a3,a1)AB 所以由基a1a2,a3,a到基A,月,B2,B的过渡矩阵为 AB 322-1 设a=(1,4,2,3)在基a,a,a2a下的坐标为(x1,x2,x3,x)则 c=(61,E2,B3,E4) a2,a,)A 2 3 11-36/1 101 01-27 A 四、证明题 l、V为定义在实数域上的函数构成的线性空间,令 W,=f(x)If(x)Ev, f(x)=f(x)), W2={(x)f(x)eV,f(x)=-f(-x) 证明:W1、W皆为V的子空间,且V=W1⊕W2
= (1,4,2,3) 在基 1 2 3 4 ,,, 下的坐标，其中 1 2 3 4 = = = − = − (1,0,0,0), (4,1,0,0), ( 3,2,1,0), (2, 3,2,1) 1 2 3 4 = = = = − − − (1,1,8,3), (0,3,7,2), (1,1,6,2), ( 1,4, 1, 1). 解: 设,令 1 4 3 2 0 1 2 3 0 0 1 2 0 0 0 1 A − − = , 1 0 1 1 1 3 1 4 8 7 6 1 3 2 2 1 B − = − − , 则有 1 2 3 4 ( , , , ) = 1 2 3 4 ( , , , ) A 1 2 3 4 ( , , , ) = 1 2 3 4 ( , , , ) B = 1 1 2 3 4 ( , , , ) A B− 所以由基 1 2 3 4 ,,, 到基 1 2 3 4 ,,, 的过渡矩阵为 1 A B− = 23 7 9 8 6 3 3 1 2 3 2 1 3 2 2 1 − − − − − 设 = (1,4,2,3) 在基 1 2 3 4 ,,, 下的坐标为 1 2 3 4 ( , , , ) x x x x 则 = 1 2 3 4 1 4 ( , , , ) 2 3 1 1 2 3 4 1 4 ( , , , ) 2 3 A − = 1 2 1 2 3 4 3 4 ( , , , ) x x x x = 1 2 3 4 x x x x = 1 1 4 2 3 A − 1 4 11 36 1 101 0 1 2 7 4 21 0 0 1 2 2 4 0 0 0 1 3 3 − − − − = = − − 四、证明题 1、V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令 1 2 { ( ) ( ) , ( ) ( )}, { ( ) ( ) , ( ) ( )} W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x = = − = = − − 证明：W1、W2皆为 V 的子空间，且 1 2 V W W =
证明:Vf(x),8(x)∈W1,k∈R,则f(x)=f(-x),g(x)=g(-x),所以 f(x)+g(x)=f(x)+g(xEW kf(x)=kf(-x)∈W2 因此W是V的子空间,同理可证W2也是V的子空间 f(x)∈V,令1()≈∫(x)+f(-x) 2,(4)f(x)-f(-x),则显然f(x)∈W f(x)∈W2,且f(x)=f(x)+f2(x),所以=W1+W2 vf(x)∈W∩W2,则f(x)=f(-x)且f(x)=-f(x),所以 f(x)=-f(x)=0.由此可知W∩W2={0},因此V=W+W2是直和,即有 V=W⊕W2·证毕 2、设W是P的一个非零子空间,若对于W的每一个向量(a1,a2,…,an)来说,或 者a1=a2=…=an=0,或者每一个a都不等于零,证明:维(W)=1 证明:由W是Pm的一个非零子空间可知dm(W)≥1.所以只要证明 dim(W)<2即可 反证法若有dim(W)≥2,则可设W的一组基为E1,E2,…,Ek,其中k=dim( ≥设61=(a1a2,…,an),E2=(b,b2…,bn),则由题设知a1≠0,b1≠0令 a a= E2=(0,a2 a 0),但由E1E2线性无关可知 b x≠O,这与题设矛盾。所以必由dm(W)<2.证毕
证明: f (x), g(x)W1 ,k R , 则 f (x) = f (−x), g(x) = g(−x), 所以 1 f (x) + g(x) = f (−x) + g(−x)W 2 kf(x) = kf(−x)W 因此 W1是 V 的子空间, 同理可证 W2也是 V 的子空间. f (x) V, 令 2 ( ) ( ) ( ) 1 f x f x f x + − = , 2 ( ) ( ) ( ) 2 f x f x f x − − = , 则显然 1 1 f (x)W , 2 2 f (x)W , 且 ( ) ( ) ( ) 1 2 f x = f x + f x , 所以 V =W1 +W2 . 1 2 f (x)W W , 则 f (x) = f (−x) 且 f (x) = − f (−x) , 所 以 f (x) = − f (x) = 0 . 由此可知 {0} W1 W2 = . 因 此 V =W1 +W2 是直和 , 即 有 1 2 V W W = . 证毕. 2、设 W 是 Pn的一个非零子空间，若对于 W 的每一个向量 1 2 ( , , , ) n a a a 来说，或 者 1 2 0 n a a a = = = = ，或者每一个 i 都不等于零，证明：维(W)＝1. 证明：由 W 是 P n 的一个非零子空间可知 dim(W)≥1. 所以只要证明 dim(W)<2 即可. 反证法。若有dim(W)≥2，则可设W的一组基为 k , , , 1 2 ,其中k=dim(W) ≥2.设 ( , , , ) 1 = a1 a2 an , ( , , , ) 2 = b1 b2 bn ,则由题设知 a1 0,b1 0 .令 2 1 1 1 b a = − a W b b a a b b a n = (0, − , , n − 1 ) 1 1 1 2 2 ,但由 1 2 , 线性无关可知 O ，这与题设矛盾。所以必由 dim(W)<2. 证毕