2008春季班 性代数第4章向量组的线性相关性 第4章向量组的线性相关性 4.1向量的线性组合与线性表示 由n个实数a1,a2,…,an组成的有序数组称 为n维向量,记作 2 其中a,称为向量a的第讠个分量.这个向量是 个列向量.行向量记作 1529,un 分量全为0的向量称为零向量 记作0=(0,0,…,0) 两个n维向量a=(a1,a2,…,an), B=(61,b2,…,bn),若它们的对应分量全相等, 即a1=b;,i=1,2,…,n则称向量a和相等, 记作a=B 设两个n维向量a=(a1,a2,…,an), B=(b1,h2,…,bn),定义
2008 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—1 第 4 章 向量组的线性相关性 4．1 向量的线性组合与线性表示 由n个实数 组成的有序数组称 a a an , , , 1 2 " 为n维向量，记作 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n a a a # 2 1 α ， 其中ai称为向量α 的第i个分量．这个向量是一 个列向量．行向量记作 ( ) n T α = a1 ,a2 ,",a ． 分量全为０的向量称为零向量， 记作 ( ) ． T 0 = 0， 0， "， 0 两个n维向量 ( ) T a a an , , , α = 1 2 " ， ( T b b bn , , , β = 1 2 " ) ，若它们的对应分量全相等， 即ai = bi，i = 1, 2,", n则称向量α 和β 相等， 记作α = β ． 设两个n维向量 ( ) T a a an , , , α = 1 2 " ， ( )T b b bn , , , β = 1 2 " ，定义
2008春季班 性代数第4章向量组的线性相关性 4-2 a+B=(an1+b1,a2+b2,…,an+b,), 称为向量a与B的和 设 1:l 1 称-a=(-a1,-a2,…,-an)为向量a的负向量 于是定义向量的减法 a-B=a+(-B) 设a=(a1,a2,…,an),k是实数,定义 ka=(ka1,ka2,…,kan), 称为数k与向量a的数量乘法,简称数乘. 对任意n维向量a,B,y及任意实数k,l 向量的加法及数量乘法满足以下8个性质: (1)a+B=B+a; (2)(a+)+y=a+(B+y) (3)a+0=a; (4)a+(-a)=0; (5)1·c=a (6)k(la)=(k)a; (7)k(a+B)=ka+kB (8)(k +Da= ka+la
2008 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—2 ( )T + = a + b a + b an + bn , , , α β 1 1 2 2 " ， 称为向量α 与β 的和． 设 ( ) T a a an , , , α = 1 2 " ， 称 ( ) 为向量 T − = − a −a −an , , , α 1 2 " α 的负向量． 于是定义向量的减法： α − β = α +（− β）． 设 ( ) T a a an , , , α = 1 2 " ，k是实数，定义 ( )T k ka ka kan , , , α = 1 2 " ， 称为数k与向量α 的数量乘法，简称数乘． 对任意n维向量α，β，γ 及任意实数k,l ， 向量的加法及数量乘法满足以下８个性质： （１）α + β = β + α ； （２）( ) α + β + γ = α + (β + γ )； （３）α + 0 = α ； （４）α +（−α）= 0； （５）1⋅α = α ； （６）k(lα) = (kl)α ； （７）k(α + β ) = kα + kβ ； （８）(k + l)α = kα + lα ．
2008春季班 性代数第4章向量组的线性相关性 4-3 设a1,C2,…,C是n维向量, 152 k是数,则 k1c1+k2O2+…+k 称为向量a1,a2,…,a,的一个线性组合 若B=k1a1+k2a2+…+k,a3,称B 可由a1,2,…,C线性表示或线性表出 例1设a1=(1,2,3),a2=(0,1,4) ax3=(2,3,6),B=(-1,,5),试用 a1,C2,a3线性表示B 例2设ax1=(1,4,0,2), B=(3,10,a,4)y.a取何值时,B可由 C1,a2,C3线性表示?写出表示式 向量组的线性相关与线性无关 设a1,a2,…,a是n维向量,若存在不全为 零的数k1,k2,…,k,使得 k a+k 2c2 +…+kC=0 成立,则称向量组a1,a2,…,a,线性相关.否则
2008 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—3 设α α α s , , , 1 2 " 是n维向量， k k ks , , , 1 2 " 是数，则 k1α 1 + k2α 2 + "+ ksα s 称为向量α α α s , , , 1 2 " 的一个线性组合． 若β = k1α 1 + k2α 2 + "+ ksα s，称β 可由α α α s , , , 1 2 " 线性表示或线性表出． 例1 设 ( ) ， T α1 = 1, 2, 3 ( ) T α 2 = 0, 1, 4 ， ( )T α 3 = 2, 3, 6 ， ( ) T β = − 1, 1, 5 ，试用 1 2 3 α ,α ,α 线性表示β ． 例２ 设 ( ) ， T α1 = 1, 4, 0, 2 ( )T α 2 = 2, 7, 1, 3 ， ( )T α 3 = 0, 1, − 1, 2 ， ( T β = 3, 10, a, 4) ．a取何值时，β 可由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示？写出表示式． ４． 2 向量组的线性相关与线性无关 设α α α s , , , 1 2 " 是n维向量，若存在不全为 零的数 ，使得 k k ks , , , 1 2 " k1α 1 + k2α 2 + "+ ksα s = 0 成立，则称向量组α α α s , , , 1 2 " 线性相关．否则
2008春季班 性代数第4章向量组的线性相关性 称为线性无关 只有一个向量的向量组{ax},如果a=0,则 向量组是线性相关的;如果C≠0,则向量组是 线性无关的 一个不少于2个向量的向量组若线性相关, 则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余 向量线性表示.反之,若一个向量组中,有一个 向量可以由其余向量线性表示,那么这个向量组 是线性相关的 这个命题的等价命题就是:向量组线性无关 的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由 其余向量线性表示 按定义,向量组a1,a2,…,a,线性无关当且 仅当向量方程 k1a1+k2a2+…+kas=0 只有零解 将向量a1,C2,…,a按列排成一个矩阵, 记作A,即A=(a1,a2,…,a,),则向量组 a1,C2,…,a,线性相关的充分必要条件是齐次 线性方程组 有非零解
2008 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—4 称为线性无关． 只有一个向量的向量组{α}，如果α = 0，则 向量组是线性相关的；如果α ≠ 0，则向量组是 线性无关的． 一个不少于２个向量的向量组若线性相关， 则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余 向量线性表示．反之，若一个向量组中，有一个 向量可以由其余向量线性表示，那么这个向量组 是线性相关的． 这个命题的等价命题就是：向量组线性无关 的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由 其余向量线性表示． 按定义，向量组α α α s , , , 1 2 " 线性无关当且 仅当向量方程 k1α 1 + k2α 2 + "+ ksα s = 0 只有零解． 将向量α α α s , , , 1 2 " 按列排成一个矩阵， 记作 A，即 A＝（α α α s , , , 1 2 " ），则向量组 α α α s , , , 1 2 " 线性相关的充分必要条件是齐次 线性方程组 Ax = 0 有非零解．
2008春季班 性代数第4章向量组的线性相关性 向量个数大于向量维数时向量组线性相关, 任何n+1个n维向量线性相关 n个n维向量a1,a2,…,an线性相关的充分 必要条件是由向量排成的行列式等于0.即 12,…‘,0n 向量组的线性相关性的定理很多,其中最重 要的是这几个: (1)若c1,a2,…,C,线性无关,而 a1,a2,…,a,线性相关,则可由 a1,C2,…,a线性表出,且表示法惟 (2)若a1,a2,…,C可由B1,B2,…,B线性 表出,且S>t,则a1,a2,…,C线性相关 (3)若a1,a2,…,C线性无关且可由 B1,B2,…,B线性表出,则s≤t 以下这些性质也是很有用的: (1)包含零向量的向量组必线性相关 (2)一个向量组中如果有部分向量线性相关, 则整个向量组线性相关 (3)一个线性无关的向量组其中任何部分向 量组都线性无关 (4)一个线性相关的向量组,如果每一个向 量都删去同一序号的分量,得到一个维数较低的
2008 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—5 向量个数大于向量维数时向量组线性相关， 任何n + 1个n维向量线性相关． n个n维向量α α α n , , , 1 2 " 线性相关的充分 必要条件是由向量排成的行列式等于０．即 α α α n , , , 1 2 " ＝０． 向量组的线性相关性的定理很多，其中最重 要的是这几个： （１）若α α α s , , , 1 2 " 线性无关，而 α1 ,α 2 ,",α s ,β 线性相关, 则β 可由 α α α s , , , 1 2 " 线性表出，且表示法惟一． （２）若α α α s , , , 1 2 " 可由β β β t , , , 1 2 " 线性 表出，且s > t ，则α α α s , , , 1 2 " 线性相关． （３）若α α α s , , , 1 2 " 线性无关且可由 β β β t , , , 1 2 " 线性表出，则s ≤ t ． 以下这些性质也是很有用的： （１） 包含零向量的向量组必线性相关． （２） 一个向量组中如果有部分向量线性相关， 则整个向量组线性相关． （３） 一个线性无关的向量组其中任何部分向 量组都线性无关． （４） 一个线性相关的向量组，如果每一个向 量都删去同一序号的分量，得到一个维数较低的
2008春季班 性代数第4章向量组的线性相关性 向量组,则新的向量组也线性相关 (5)一个线性无关的向量组,如果每一个向 量在同一位置增加分量,得到维数更高的向量组, 则新向量组也线性无关 例3向量组a1,,…,a、线性无关的充分条件是 (A)a1,a2,…,a,都不是零向量; (B)a1,a2,…,a,除去向量组本身的任意部分 向量组都线性无关 (C)向量组a1,a2,…,a,的秩等于s; (D)a1,a2,…,a,中任意两个向量都线性无关. 例4设a1=(-1-1) ,a3=( 问t为何值时a1,C2,a3线性相关 例5设a1,a2是n维向量,令B1=a1+2a2, 2=-a1+a2,B3=501+2a2,则 (A)B1,2,/B3必线性无关; (B)B1,2,B3必线性相关; (C)仅当a1,a2线性无关时,B1,B2,B3线性 无关; (D)仅当a1,a2线性相关时,月1,B2,B3线性 相关
2008 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—6 向量组，则新的向量组也线性相关． （５） 一个线性无关的向量组，如果每一个向 量在同一位置增加分量，得到维数更高的向量组， 则新向量组也线性无关． 例３向量组α α α s , , , 1 2 " 线性无关的充分条件是 (A) α α α s , , , 1 2 " 都不是零向量； (B) α α α s , , , 1 2 " 除去向量组本身的任意部分 向量组都线性无关； (C) 向量组α α α s , , , 1 2 " 的秩等于s； (D) α α α s , , , 1 2 " 中任意两个向量都线性无关． 例４ 设 ( ) 1 1 , 1 T α = t − − ( ) 1 1 , 2 T α = − t − ( ) T 1 1 t α 3 = − − . 问t 为何值时 1 2 3 α ,α ,α 线性相关． 例5 设 1 2 α ,α 是n维向量，令β 1 = α 1 + 2α 2， β 2 = −α 1 + α 2，β 3 = 5α 1 + 2α 2，则 1 2 3 (A) β , β , β 必线性无关； 1 2 3 (B) β , β , β 必线性相关； (C) 仅当 1 2 α ,α 线性无关时， 1 2 3 β , β , β 线性 无关； (D) 仅当 1 2 α ,α 线性相关时， 1 2 3 β , β , β 线性 相关．
2008春季班 性代数第4章向量组的线性相关性 例6已知a1,a2,a3线性无关,试判断 3a1+2a2,2-ax3,4a3-51是否线性无关. 例7已知向量组a1,a2,C3线性相关, a2,a3,4线性无关,问 (1)ax1能否由c2,c3线性表示?证明你的结论; (2)a4能否由a1,a2,C3线性表示?证明你的 结论 例8设线a,B,y性无关,又设8≠0,a,y,O 线性相关,β,y,δ也线性相关,证明δ=ky, 其中k≠0常数 例9已知R中,C1,a2,C3线性无关, B1,2,B3线性无关, (1)若y∈R不能由a1,a2,a3线性表出,则 a1,C2,a3,y线性无关; (2)证明丑δ∈R使得a1,a2,a3,与 B1,B2,f3,6均线性无关 例10设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵, 满足AB=E,试证明B的列向量线性无关 例11设A,B为满足AB=0的任意两个非零 矩阵,则必有 (AA的列向量组线性相关,B的行向量组线 性相关
2008 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—7 例６ 已知 1 2 3 α ,α ,α 线性无关，试判断 1 2 2 3 4 3 5 1 3α + 2α ,α − α , α − α 是否线性无关． 例７ 已知向量组 1 2 3 α ,α ,α 线性相关， 2 3 4 α ,α ,α 线性无关，问 （１）α1能否由 2 3 α ,α 线性表示？证明你的结论； （２）α 4能否由 1 2 3 α ,α ,α 线性表示？证明你的 结论． 例８ 设线α,β ,γ 性无关，又设δ ≠ 0，α,γ ,δ 线性相关，β ,γ ,δ 也线性相关，证明δ = kγ ， 其中k ≠ 0常数． 例９ 已知 4 R 中， 1 2 3 α ,α ,α 线性无关， 1 2 3 β , β , β 线性无关， （１） 若 不能由 4 γ ∈ R 1 2 3 α ,α ,α 线性表出，则 α ,α ,α ,γ 1 2 3 线性无关； （２） 证明 4 ∃δ ∈ R 使得α 1 ,α 2 ,α 3 ,δ 与 β 1 , β 2 , β 3 ,δ 均线性无关． 例１０ 设 A是n× m矩阵，B是m × n矩阵， 满足 AB = E ，试证明B的列向量线性无关． 例１１ 设 A,B为满足 AB = 0的任意两个非零 矩阵，则必有 (A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线 性相关
2008春季班 性代数第4章向量组的线性相关性 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线 性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线 性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线 性相关 例12设A是n阶方阵,c是n维列向量, 若An-a≠0,而A"a=0,试证明 a,Aa,…,A"o线性无关 4.3极大线性无关组 设有两个向量组(1)a1,a2,…,a 2)B1,B2,…,B1,如果向量组(1)中每个 向量都能由向量组(2)线性表出,则称向量组 (1)能由向量组(2)线性表出 如果向量组(1)能由向量组(2)线性表 出,且向量组(2)也能由向量组(1)线性表 出,则称这两个向量组等价,记作(1)坐(2) 向量组的等价是向量组之间的一种等价关系, 具有以下性质: 1)反身性:(1)坐(1) 2)对称性:若(1)坐(2)
2008 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—8 (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线 性相关 (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线 性相关 (D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线 性相关 例１２ 设 A是n阶方阵，α 是n维列向量， 若 0 1 ≠ − α n A ，而 α = 0 n A ，试证明 α α α1 , , , n− A " A 线性无关． 4．3 极大线性无关组 设有两个向量组（１）α α α s , , , 1 2 " ， （２）β β β t , , , 1 2 " ，如果向量组（１）中每个 向量都能由向量组（２）线性表出，则称向量组 （１）能由向量组（２）线性表出． 如果向量组（１）能由向量组（２）线性表 出，且向量组（２）也能由向量组（１）线性表 出，则称这两个向量组等价，记作（１）≅（２）． 向量组的等价是向量组之间的一种等价关系， 具有以下性质： １） 反身性：（１）≅（１）； ２） 对称性：若（１）≅（２）
2008春季班 性代数第4章向量组的线性相关性 则(2)(1); 3)传递性:若(1)坐(2),(2)坐(3), 则(1)坐(3) 设向量组an1,a"2,…,a,是向量组 a1,a2,…,a,的一个部分组.满足 1)a1,C1,…,C1.线性无关 2)向量组a1,a2,…,Cx的每一个向量都可以 由向量组an,a2,…,a,线性表出,则称部分组 a1,an2,…,a,是向量组a1,a2;…,a,的一个 极大线性无关组 显然,向量组的一个极大线性无关组与向量 组本身是等价的 般地,向量组的极大线性无关组不是惟 的.按照定义,一个向量组的任意两个极大线性 无关组可以互相线性表出,因此,它们是等价的 根据定理,两个等价的线性无关的向量组各 自所含的向量的个数必定相等.这就是说一个向 量组的极大线性无关组中所含向量的个数是个不 变量,它由向量组本身所确定 满足以下条件的矩阵称为简化行阶梯形 Reduced Row Echelon Form (RREF) (1)所有零行都在矩阵的底部;
2008 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—9 则（２）≅（１）； ３） 传递性：若（１）≅（２），（２）≅（３）， 则（１）≅（３）． 设向量组 r α i α i α i , , , 1 2 " 是向量组 α α α s , , , 1 2 " 的一个部分组．满足 １） r α i α i α i , , , 1 2 " 线性无关； ２）向量组α α α s , , , 1 2 " 的每一个向量都可以 由向量组 r α i α i α i , , , 1 2 " 线性表出，则称部分组 r α i α i α i , , , 1 2 " 是向量组α α α s , , , 1 2 " 的一个 极大线性无关组． 显然，向量组的一个极大线性无关组与向量 组本身是等价的． 一般地，向量组的极大线性无关组不是惟一 的．按照定义，一个向量组的任意两个极大线性 无关组可以互相线性表出，因此，它们是等价的． 根据定理，两个等价的线性无关的向量组各 自所含的向量的个数必定相等．这就是说一个向 量组的极大线性无关组中所含向量的个数是个不 变量，它由向量组本身所确定． 满足以下条件的矩阵称为简化行阶梯形 Reduced Row Echelon Form (RREF)： （１） 所有零行都在矩阵的底部；
2008春季班 线性代数第4章向量组的线性相关性 4-10 (2)非零行的主元在前一行主元的右方; (3)主元为1; (4)主元所在列除主元外的其它元素全为零 1201 22 例如: 00000 00000 任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化 作简化的行阶梯形 利用简化行阶梯形可以解决的问题有: (1)求极大线性无关组 (2)求向量间的线性关系 (3)求齐次线性方程组基础解系 (4)求非齐次线性方程组特解 求极大线性无关组的步骤: (1)将向量依次按列写成矩阵; (2)对矩阵施行行初等变换,化作简化行阶 梯形; (3)主元所在列向量构成一个极大线性无关 组 (4)非主元所在列向量和主元所在列向量的 关系由非主元列各分量表示
2008 春季班 线性代数 第４章 向量组的线性相关性 4—10 （２） 非零行的主元在前一行主元的右方； （３） 主元为 1； （４） 主元所在列除主元外的其它元素全为零． 例如： ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 2 0 1 1 任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化 作简化的行阶梯形． 利用简化行阶梯形可以解决的问题有： （１）求极大线性无关组 （２）求向量间的线性关系 （３）求齐次线性方程组基础解系 （４）求非齐次线性方程组特解 求极大线性无关组的步骤： （１） 将向量依次按列写成矩阵； （２） 对矩阵施行行初等变换，化作简化行阶 梯形； （３） 主元所在列向量构成一个极大线性无关 组； （４） 非主元所在列向量和主元所在列向量的 关系由非主元列各分量表示．