《高等代数》课程教学资源（下）λ-矩阵测试题答案

矩阵测试题答案 、填空题 1.已知5级一矩阵A()的各级行列式因子: D1(4)=D2(4)=D3(A)=1,D2()=λ(λ-1),D()=A(-1)2 则A()的不变因子是为_11、1、C-1)A2(-1) 1000 0100 A()的的标准形为0010 0000 000A(-1) 00002(2-1) 2.设A∈C,若A的初等因子为: λ-1,元-1,凡+i,元-i,(λ+i)2,(-0)2 则A的为不变因子为1111l1、(-12+1(-12+12 A的的若当标准形为 3.设A∈C,若礼E-A的标准形为: d1() d2() d, () 则A的特征多项式E-A=d1(4)()…d() A的最小多项式为dn(4)

λ-矩阵测试题答案 一、填空题 1．已知 5 级 λ－矩阵 A(λ)的各级行列式因子： 3 2 1 2 3 4 5 D D D D D ( ) ( ) ( ) 1, ( ) ( 1), ( ) ( 1)          = = = = − = − 则 A(λ)的不变因子是为 1, 1, 1, (-1),  2 (-1). A(λ)的的标准形为 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ( 1) 0 0 0 0 0 ( 1)               −     − . 2．设 8 8 A C   ，若 A 的初等因子为： 2 2       − − + − + − 1, 1, , , ( ) , ( ) i i i i 则 A 的为不变因子为 1, 1, 1, 1, 1, 1, (-1)( 2+1), (-1)( 2+1)2 . A 的的若当标准形为 1 1 1 1 i i i i i i     − −   − . 3．设 n n A C   ，若 E A− 的标准形为： 1 2 ( ) ( ) ( ) n d d d                则 A 的特征多项式 E A− = 1 2 ( ) ( ) ( ) n d d d    , A 的最小多项式为 ( ) n d 

二、判断题 1.n×n的一矩阵A(4)可逆分秩A(1)=n.(×) 2.-矩阵A()可逆|4()≠0.(X) 3.A(4)与B(4)等价当且仅当它们有相同的行列式因子.(√) 4.设A,B∈Cm,则A与B相似的充要条件是它们有相同的不变因子 5.复矩阵A与对角矩阵相似当且仅当它的不变因子全是一次的.(×) 三、计算题 1.设A=0 (1)求A的行列式因子;D(4)=D(4)=1,D(4)=(-3)(A-1)2 (2)求A的不变因子;d(4)=d2(4)=1,d1(4)=(A-3)A-1) (3)求A的初等因子;(A-3),(A-1)2 300 (4)求A的若当标准形010 011 2.化一矩阵A(4)为标准形 1-222 A(4)=x-λ 1+2元2-2 A(1+A) 四、已知A()为可逆矩阵请写出A(4)的标准形,并证明之

二、判断题 1. n n 的 λ－矩阵 A(λ)可逆  秩 A(λ)＝n. （×） 2. λ－矩阵 A(λ)可逆   A( ) 0.  （×） 3. A( )  与 B( )  等价当且仅当它们有相同的行列式因子. (√) 4. 设 , n n A B C   ，则 A 与 B 相似的充要条件是它们有相同的不变因子. （√） 5. 复矩阵 A 与对角矩阵相似当且仅当它的不变因子全是一次的. （×） 三、计算题 1．设 3 0 0 0 1 4 1 1 3 A     = −       − − (1) 求 A 的行列式因子； 2 1 2 3 D D D ( ) ( ) 1, ( ) ( 3)( 1)      = = = − − (2) 求 A 的不变因子； 2 1 2 3 d d d ( ) ( ) 1, ( ) ( 3)( 1)      = = = − − (3) 求 A 的初等因子； 2 ( 3), ( 1)   − − (4) 求 A 的若当标准形. 3 0 0 0 1 0 0 1 1           2．化 λ－矩阵 A(λ)为标准形. 2 2 2 2 1 ( ) 1 A             −   = −     + −   1 (1 )           +    四、已知 A(λ)为可逆矩阵, 请写出 A(λ)的标准形，并证明之