离散模型之一 一差分方程建模 §1市场经济中的蛛网模型 §2离散形式的阻滞增长模型 §3按年龄分组的种群增长模型 §4减肥计划节食与运动 §1市场经济中的蛛网模型 供大于求价格下降减少产量 现 象 ↓ 增加产量←价格上涨供不应求 描述商品数量与价格的变化规律 问 题商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 1
蛛网模型」 x第时段商品数量:yx第A时段商品价格个 消费者的需求关系口需求函数y=f(x)减函数 xu=h(x) 生产者的供应关系口供应函数3 增函数 y=g(xkD) ∫与g的交点PxmM)~平衡点 xxk+1xk+2…=x0yk+pyk+2,…=yo 蛛网模型y=/()x1=h0) 设偏离×x→H→x=→2→x→…少个 x→xn,y→P1→P2→>P3→…→>P P是稳定平衡点 P是不稳定平衡点 P AEl K<K PI pk. KskI
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蛛网模型」 方程模型在P点附近用直线近似曲线个 y=f(x) -a(x (a>0) x1=h(y2)x1-1=A-1)(B>0) x-xo=-aB(x-x)xu-x=aB)"(x-xo) aB1a(=K)>a(=K)=x→P不稳定 蛛网模型 结果解释 考察a,B的含义 y-y=(x-x)a~商品数量减少1单位价格上涨幅度 kxx=BU-1),B价格上涨1单位(下时段)供应的增量 Q~消费者对需求的敏感程度小有利于经济稳定 β~生产者对价格的敏感程度B小有利于经济稳定 →a/B<1经济稳定
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蛛网模 经济不稳定时政府的干预办法 1.使C尽量小,如Q=0 需求曲线变为水平 以行政手段控制价格不变 0 2.使B尽量小,如B=0 供应曲线变为竖直 靠经济实力控制数量不变 模型的推广生产者管理水平捉高」 假定生产者根据当前时段和前 y+y-1 时段的价格决定下一时段的产量 设供应函数为x-xn=B(+y)/2-yn 需求函数不变y-y=-a(x-x0) 口2x2+a众+a=2(1+aB)x,k=1, 阶线性常系数差分方程 x为平衡点研究平衡点稳定,即k耳x的条件
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模型的推广 2x2+ax1+ax,=2(1+a0)xn的平衡点x0的稳定性 方程通解x1=c1x+c22c1,c2由初始条件确定, λ12是特征根,即方程22+aB+aB=0的根 平衡点稳定,即k为五的条件:。|N,x=N是稳定平衡点(与r大小无关) 离散形式y1-y=n;(1-2),k=12, y~某种群第k代的数量(人口) 若y=N,则v+1yx+2…=N,即y=N是平衡点 讨论平衡点的稳定性,即k>∞o,ykN?
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离散形弌阻滞增长模型的平衡点及其稳定性 y-y,=(-3)()y=(+y1 (r+1)N (r+1)N y xn1=bx(1-x)(2) b=r+1 一阶(非线性)差分方程 (1)的平衡点y=N(2)的平衡点x2=/(r+1)=1-1b 讨论x*的稳定性 一阶(非线性)差分方程x1=f(x)() (*)的平衡点x代数方程x=fx)的根 )的近似线性方程x1=f(x)+f(x)x2-x)(*) 稳定性判断x*也是(*)的平衡点 f(x)1x+是(*+)和*)的不稳定平衡点
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x,1=bx(1-x)的平衡点及其稳定性 平衡点x=f(x)=bx(1-x) 另 稳定性f(x)=b(1-2x)=2-b 平衡点 f(x)3(f(x)>x不稳定y1 (1)13 1-1/b>1/2 x b/4 x(振荡地)→x观察计x(不)→x 算结果
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倍周期收敛—x不稳定情况的进一步讨论 x(不)→x 子序列x,→x1,x, 单周期不收敛 2倍周期收敛 xn1=f(x)x2=f(x1)=f(f(x)=f(x)(*) x=f(f(x)=bbx(1-x)[1-bx(1-x) (*)的平衡点x=1 b+1干√b2-2b-3 26 x1=f(x2) f(x1),0 x‘不稳定,研究x,x2的稳定性 倍周期收敛 七b+1千√b2-2b ((x)-=f(x)f(x) (f(x))=f"(x)f"(x2) 口x1;,x2的稳定性相同 (f2(x) b2(1-2x1)(1-2x2) (f"2(x2)<1 b<1+√6÷3449
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倍周期收敛 b>3449(f(x2)}>1)日x,(及x)不稳定 出现4个收敛子序列x 4k+144k+254k+3 平衡点及其稳定性需研究x4=f(x) 34493.57 b357,不存在任何收敛子序列混沌现象 §3按年龄分组的种群增长模型 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 以雌性个体数量为对象 ·建立差分方程模型,讨论稳定状况下种群的增长规律 假设与建模 种群按年龄大小等分为n个年龄组,记=1,2…n 时间离散为时段,长度与年龄组区间相等,记k=1,2, ·第许龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为b; 仁第龄组在1时段内的死亡率为d存活率为s=1-4
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假设x(k)-时段k第年龄组的种群数量 建模x(k+1)=∑bx(k)(设至少1个b>0) xm1(k+1)=Sx(k),i=1,2,…,n-1 6, 6 b,1 x(k)=Lx,(k), x,(),x,(k)] 0 00 按年龄组的分布向量 k+1)=Lx(k) 0 x(k)=Lx(0) 0 预测任意时段种群 Leslie矩阵L矩阵) 按年龄组的分布 稳定状态分析的数学基础 L矩阵存在正单特征根λ,使风≤,k=2,3,…n 特征向量为x2=1,S,55,…s ·若矩阵存在bb>0,则<2,k=2,3,…,n 且imx(k)=cx,c是由b,s,x0决定的常数 x(k)=Lx0)=(Pag(x,…1)1D)P的第1 Pdig(2,…2)P 列是x lim x(k) Diag(1,0,…0)P=x(0)
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