大学数学多媒体课件 复变函数 与积分变换 主讲:周晖杰 宁波大学科披学院歉学组二零零七年六月
复变函数 与积分变换 主讲：周晖杰 宁波大学科技学院数学组 二零零七年六月 大学数学多媒体课件
参考用书 《复变函数与积分变换》,华中科技大学数学系1高等教育出版社 2D3.b 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》华中科大1高等教育出版 社 《复变函数》1西安交通大学高等数学教研室1高等教育出版社1 155:5 2021/224
2021/2/24 2 参考用书 ➢ 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 高等教育出版社, 2003.6 ➢ 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 高等教育出版 社 ➢ 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 高等教育出版社, 1996.5
司目录 第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章复变函数的积分 第四章 解析函数的级数表示 >第五章留数及其应 第六章 傅立叶变换 第七章 拉普拉斯变换
2021/2/24 3 目 录 ➢第二章 解析函数 ➢第三章 复变函数的积分 ➢第四章 解析函数的级数表示 ➢第五章 留数及其应用 ➢第六章 傅立叶变换 ➢第七章 拉普拉斯变换 ➢第一章 复数与复变函数
第三章复变函数的积分 内容提要:在微积分中,当引入实变量函数的积分后, 可以解决很多的重要的问题,在复变函数中也一样, 引入复变函数的积分后,也可以解决很多理论及实际问 题.如有了积分可以证明一个区域上有导数的函数就有 无穷多阶导数,可以将一般的解析函数分解成一些最简 单的函数的迭加,这就给研究解析函数的性质提供了强 有力的工具,今后还可以看出用复变函数的积分给计算玩 某些定积分带来很大的方便 本章内容与实变量二元函数有紧密关系,特别是二元 数的第二类曲线积分的概念、性质和计算方法,全微分 及积分与的问题,格林公式等 2021/224
2021/2/24 4 第三章 复变函数的积分 ▪ 内容提要：在微积分中，当引入实变量函数的积分后， 可以解决很多的重要的问题，在复变函数中也一样，当 引入复变函数的积分后，也可以解决很多理论及实际问 题．如有了积分可以证明一个区域上有导数的函数就有 无穷多阶导数，可以将一般的解析函数分解成一些最简 单的函数的迭加，这就给研究解析函数的性质提供了强 有力的工具，今后还可以看出用复变函数的积分给计算 某些定积分带来很大的方便． ▪ 本章内容与实变量二元函数有紧密关系，特别是二元函 数的第二类曲线积分的概念、性质和计算方法，全微分 及积分与的问题，格林公式等．
第三章复变函数的积分 >3.1复积分的概念 >3.2柯西积分定理 >3.3柯西积分公式 >34解析函数的高阶导数 本章小结 思考题 2021/224
2021/2/24 5 第三章 复变函数的积分 ➢3.1 复积分的概念 ➢3.2 柯西积分定理 ➢3.3 柯西积分公式 ➢3.4 解析函数的高阶导数 ➢本章小结 ❖ 思考题
第一节解析函数的概念 一、积分的定义 有向曲线:设C为平面给定的一条光滑(或按段光滑)的曲线,如果选 定C的两个可能方向的一个作为正方向(或正向),则我们就把C称为有 向曲线.与曲线C反方向的曲线记为C1 简单闭曲线正向:当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线内部 始终位于P点的左方,这时曲线方向称为正方向 定义1:设函数=f(定义在内,C为区域D内起点为A终点为B的一条 有向光滑的简单曲线 (把曲线C任意分成n个小弧段,设分点为: 0:-1-23 k-13k B 其中=x+y(k=0,1,2,…,n) 2021/224
2021/2/24 6 第一节 解析函数的概念 ➢ 一、积分的定义 有向曲线：设C为平面给定的一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选 定C的两个可能方向的一个作为正方向（或正向），则我们就把C称为有 向曲线．与曲线C反方向的曲线记为 定义1： 简单闭曲线正向：当曲线上的点P顺此方向前进时，邻近P点的曲线内部 始终位于P点的左方，这时曲线方向称为正方向． 设函数 定义在 内， w f z D = ( ) C为区域D内起点为A终点为B的一条 有向光滑的简单曲线． (1)把曲线 任意分成 个小弧段，设分点为： C n 0 1 2 1 , , , , , , A z z z z z z B = = k k n − ( 0,1, 2, , ) k k k 其中 ， z x iy k n = + = 分 C−1
(2)粗:在每个弧段1=k上(k=1,2,……m),任取一点A=5+i, 则(0时, 无论C怎样分,怎样取,如果和式的极限唯一存在, 则称此极限值为函数f(=)沿曲线C自A倒到硝复积分 记作:f()=im∑f(5kk H-12 B →>0 k=1 k-1 (类似于微积分中的曲线积分) 2021/224
2021/2/24 7 1 (2) ( 1, 2, ) k k k k k 粗：在每个弧段 上 ，任取一点 ， z z k n i − = = + 1 ( ) ( )( ), k k k k k f z f z z 则 = − − 1 . k k k k k z z z x i y 其中 = − = + − 1 1 1 ( )( ) ( ) , n n k k k k k k k f z z f z − = = (3)和： − = (4)精：设 表示 个小弧段的最大长度，当 时， n → 0 C k 无论 怎样分， 怎样取， 则称此极限值为函数 沿曲线自到的复积分. f z C A B ( ) 0 1 ( ) lim ( ) . n k k C k f z dz f z → = 记作： = ( ). 类似于微积分中的曲线积分 如果和式的极限唯一存在， C 0 z A = 1 z k 1 z − k z n 1 z − n z B = k O x y
(1)若C为闭曲线,则沿闭曲线积分为。f(=)d,(C的正方向是逆时针方向 2积分。()表示沿曲线C自到B复积分, 积分[/()表示沿曲线C自剧到复积分 (3)若曲线C是由C1C2C3…C等光滑曲线段依次相互连接而成,则有 ∫()=|,f(-)d+…+.f(-)d 二、积分存在条件及其计算方法 定理1:设函数f()=(x,y)+iV(x,y)在光滑曲线C上连续, 则复积分f(z)d在,且有积分公式: J f()d== u(x, Dydx-v(x, y)dy +iv(x,ydx+u(x,y)dy 2021/224
2021/2/24 8 ( ) , C C f z dz (1)若 为闭曲线，则沿闭曲线积分为 (2) ( ) C f z dz C A B 积分 表示沿曲线 自 到 的复积分， ( ) C − f z dz C B A 积分 表示沿曲线 自 到 的复积分. ➢二、积分存在条件及其计算方法 ( ); C的正方向是逆时针方向 定理1： 设函数 在光滑曲线 上连续， f z u x y iv x y C ( ) ( , ) ( , ) = + ( ) C f z dz 则复积分 存在，且有积分公式： ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( . ) C C C f z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy = − + + 1 ( ) ( ) ( ) . C C Cn f z dz f z dz f z dz = + + 1 2 3 , , , C C C C Cn (3)若曲线 是由 等光滑曲线段依次相互连接而成，则有
证明:∑f(A=∑[(5,n)+n(5k,7)Ax1+1△y) =∑(5)Ax4-(5k,)yk]+[v(5k,m)Ax+(5,)Ay k=1 由于函数f()在光滑曲线C上连续, →l(x,y),v(x,y)在光滑曲线C上也连续 →当4→>0时,上式右端极限存在,且有 f(oddz=Lu(x,y)dx-v(x,y)dy +i v(x, y)dx +u(x y)dy 注意:(当函数()=(xy)+m(xy)在光滑曲线C上连续, 则复积分∫()存在; (2()可以通过两个二元实变函数的曲线积分来计算 2021/224
2021/2/24 9 证明： 1 1 ( ) [ ( , ) ( , )]( ) n n k k k k k k k k k k f z u iv x i y = = = + + 1 1 [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ( , ) ] n n k k k k k k k k k k k k k k u x v y i v x u y = = = − + + 由于函数 在光滑曲线 上连续， f z C ( ) u x y v x y C ( , ), ( , ) , 在光滑曲线 上也连续 → 当 时， 0 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( . ) . C C C f z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy = − + + 上式右端极限存在，且有 注意： (1) ( ) ( , ) ( , ) 当函数 在光滑曲线 上连续， f z u x y iv x y C = + (2) ( ) C f z dz 可以通过两个二元实变函数的曲线积分来计算. ( ) C f z dz 则复积分 存在；
法 f(=)d 计算 「f()=(x,yk=mxy)h+订vxy)+(xy)h 令()=+m=+则[。(=(x+m)a+b) 光滑曲线C参数方程: x=x(t) ,a≤t≤B y=y(t) →」()=0y)+.y)x(uh 复数形式的曲线C参数方程:z=z(1)=x(1)+ly(t),a≤t≤B (1)J/(d: 5/1-0)-00dr 这种计算复积分方法在已知曲线C方程的条件下适合 2021/224
2021/2/24 10 法一 计算 ( ) C f z dz ( ) { [ ( ), ( )] [ ( ), ( )]} { ( ) ( )} C f z dz u x t y t iv x t y t x t iy t dt = + + ( ) [ ( )] ( ) . C f z dz f z t z t dt = ( ) , ( ) x x t C t y y t = = 光滑曲线 参数方程： 复数形式的曲线 参数方程： C z z t x t iy t t = = + ( ) ( ) ( ), ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( . ) C C C f z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy = − + + 这种计算复积分方法在已知曲线C方程的条件下适合 ( ) , , ( ) ( )( ). C C f z u iv dz dx idy f z dz u iv dx idy = + = + = + + 令 则
