第三章复变函数的积分 内容提要:在微积分中,当引入实变量函数的积分后, 可以解决很多的重要的问题,在复变函数中也一样, 引入复变函数的积分后,也可以解决很多理论及实际问 题.如有了积分可以证明一个区域上有导数的函数就有 无穷多阶导数,可以将一般的解析函数分解成一些最简 单的函数的迭加,这就给研究解析函数的性质提供了强 有力的工具,今后还可以看出用复变函数的积分给计算玩 某些定积分带来很大的方便 本章内容与实变量二元函数有紧密关系,特别是二元 数的第二类曲线积分的概念、性质和计算方法,全微分 及积分与的问题,格林公式等 2021/224
2021/2/24 4 第三章 复变函数的积分 ▪ 内容提要：在微积分中，当引入实变量函数的积分后， 可以解决很多的重要的问题，在复变函数中也一样，当 引入复变函数的积分后，也可以解决很多理论及实际问 题．如有了积分可以证明一个区域上有导数的函数就有 无穷多阶导数，可以将一般的解析函数分解成一些最简 单的函数的迭加，这就给研究解析函数的性质提供了强 有力的工具，今后还可以看出用复变函数的积分给计算 某些定积分带来很大的方便． ▪ 本章内容与实变量二元函数有紧密关系，特别是二元函 数的第二类曲线积分的概念、性质和计算方法，全微分 及积分与的问题，格林公式等．
第三章复变函数的积分 >3.1复积分的概念 >3.2柯西积分定理 >3.3柯西积分公式 >34解析函数的高阶导数 本章小结 思考题 2021/224
2021/2/24 5 第三章 复变函数的积分 ➢3.1 复积分的概念 ➢3.2 柯西积分定理 ➢3.3 柯西积分公式 ➢3.4 解析函数的高阶导数 ➢本章小结 ❖ 思考题
第一节解析函数的概念 一、积分的定义 有向曲线:设C为平面给定的一条光滑(或按段光滑)的曲线,如果选 定C的两个可能方向的一个作为正方向(或正向),则我们就把C称为有 向曲线.与曲线C反方向的曲线记为C1 简单闭曲线正向:当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线内部 始终位于P点的左方,这时曲线方向称为正方向 定义1:设函数=f(定义在内,C为区域D内起点为A终点为B的一条 有向光滑的简单曲线 (把曲线C任意分成n个小弧段,设分点为: 0:-1-23 k-13k B 其中=x+y(k=0,1,2,…,n) 2021/224
2021/2/24 6 第一节 解析函数的概念 ➢ 一、积分的定义 有向曲线：设C为平面给定的一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选 定C的两个可能方向的一个作为正方向（或正向），则我们就把C称为有 向曲线．与曲线C反方向的曲线记为 定义1： 简单闭曲线正向：当曲线上的点P顺此方向前进时，邻近P点的曲线内部 始终位于P点的左方，这时曲线方向称为正方向． 设函数 定义在 内， w f z D = ( ) C为区域D内起点为A终点为B的一条 有向光滑的简单曲线． (1)把曲线 任意分成 个小弧段，设分点为： C n 0 1 2 1 , , , , , , A z z z z z z B = = k k n − ( 0,1, 2, , ) k k k 其中 ， z x iy k n = + = 分 C−1
(2)粗:在每个弧段1=k上(k=1,2,……m),任取一点A=5+i, 则(0时, 无论C怎样分,怎样取,如果和式的极限唯一存在, 则称此极限值为函数f(=)沿曲线C自A倒到硝复积分 记作:f()=im∑f(5kk H-12 B →>0 k=1 k-1 (类似于微积分中的曲线积分) 2021/224
2021/2/24 7 1 (2) ( 1, 2, ) k k k k k 粗：在每个弧段 上 ，任取一点 ， z z k n i − = = + 1 ( ) ( )( ), k k k k k f z f z z 则 = − − 1 . k k k k k z z z x i y 其中 = − = + − 1 1 1 ( )( ) ( ) , n n k k k k k k k f z z f z − = = (3)和： − = (4)精：设 表示 个小弧段的最大长度，当 时， n → 0 C k 无论 怎样分， 怎样取， 则称此极限值为函数 沿曲线自到的复积分. f z C A B ( ) 0 1 ( ) lim ( ) . n k k C k f z dz f z → = 记作： = ( ). 类似于微积分中的曲线积分 如果和式的极限唯一存在， C 0 z A = 1 z k 1 z − k z n 1 z − n z B = k O x y
(1)若C为闭曲线,则沿闭曲线积分为。f(=)d,(C的正方向是逆时针方向 2积分。()表示沿曲线C自到B复积分, 积分[/()表示沿曲线C自剧到复积分 (3)若曲线C是由C1C2C3…C等光滑曲线段依次相互连接而成,则有 ∫()=|,f(-)d+…+.f(-)d 二、积分存在条件及其计算方法 定理1:设函数f()=(x,y)+iV(x,y)在光滑曲线C上连续, 则复积分f(z)d在,且有积分公式: J f()d== u(x, Dydx-v(x, y)dy +iv(x,ydx+u(x,y)dy 2021/224
2021/2/24 8 ( ) , C C f z dz (1)若 为闭曲线，则沿闭曲线积分为 (2) ( ) C f z dz C A B 积分 表示沿曲线 自 到 的复积分， ( ) C − f z dz C B A 积分 表示沿曲线 自 到 的复积分. ➢二、积分存在条件及其计算方法 ( ); C的正方向是逆时针方向 定理1： 设函数 在光滑曲线 上连续， f z u x y iv x y C ( ) ( , ) ( , ) = + ( ) C f z dz 则复积分 存在，且有积分公式： ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( . ) C C C f z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy = − + + 1 ( ) ( ) ( ) . C C Cn f z dz f z dz f z dz = + + 1 2 3 , , , C C C C Cn (3)若曲线 是由 等光滑曲线段依次相互连接而成，则有
证明:∑f(A=∑[(5,n)+n(5k,7)Ax1+1△y) =∑(5)Ax4-(5k,)yk]+[v(5k,m)Ax+(5,)Ay k=1 由于函数f()在光滑曲线C上连续, →l(x,y),v(x,y)在光滑曲线C上也连续 →当4→>0时,上式右端极限存在,且有 f(oddz=Lu(x,y)dx-v(x,y)dy +i v(x, y)dx +u(x y)dy 注意:(当函数()=(xy)+m(xy)在光滑曲线C上连续, 则复积分∫()存在; (2()可以通过两个二元实变函数的曲线积分来计算 2021/224
2021/2/24 9 证明： 1 1 ( ) [ ( , ) ( , )]( ) n n k k k k k k k k k k f z u iv x i y = = = + + 1 1 [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ( , ) ] n n k k k k k k k k k k k k k k u x v y i v x u y = = = − + + 由于函数 在光滑曲线 上连续， f z C ( ) u x y v x y C ( , ), ( , ) , 在光滑曲线 上也连续 → 当 时， 0 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( . ) . C C C f z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy = − + + 上式右端极限存在，且有 注意： (1) ( ) ( , ) ( , ) 当函数 在光滑曲线 上连续， f z u x y iv x y C = + (2) ( ) C f z dz 可以通过两个二元实变函数的曲线积分来计算. ( ) C f z dz 则复积分 存在；
法 f(=)d 计算 「f()=(x,yk=mxy)h+订vxy)+(xy)h 令()=+m=+则[。(=(x+m)a+b) 光滑曲线C参数方程: x=x(t) ,a≤t≤B y=y(t) →」()=0y)+.y)x(uh 复数形式的曲线C参数方程:z=z(1)=x(1)+ly(t),a≤t≤B (1)J/(d: 5/1-0)-00dr 这种计算复积分方法在已知曲线C方程的条件下适合 2021/224
2021/2/24 10 法一 计算 ( ) C f z dz ( ) { [ ( ), ( )] [ ( ), ( )]} { ( ) ( )} C f z dz u x t y t iv x t y t x t iy t dt = + + ( ) [ ( )] ( ) . C f z dz f z t z t dt = ( ) , ( ) x x t C t y y t = = 光滑曲线 参数方程： 复数形式的曲线 参数方程： C z z t x t iy t t = = + ( ) ( ) ( ), ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( . ) C C C f z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy = − + + 这种计算复积分方法在已知曲线C方程的条件下适合 ( ) , , ( ) ( )( ). C C f z u iv dz dx idy f z dz u iv dx idy = + = + = + + 令 则
°例1.沿下列路线计算积分。=,其中 (1)原点至3+的直线段; (2)原点沿实轴至3,再由铅直向上直线至3+i 解:(1)连接原点至3+的直线的参数方程为:z=(3+).0≤1≤1 zd=[3+0)(3+lh 0 0 3+i)2tdt=(3+1)3t3b==(3+1) 0 (2)线方程为:OA:z=x,0≤x≤3,AB:z=3+iy,0≤y≤1 →"=+m=x+3+13+0) [x3]+(3+y)l=3+1(3+ (3+i) 注意:沿不同的路径积分的结果是相同的,即积分与路径无关, 2021/224
2021/2/24 11 • 例1． 解： 3 2 0 i z dz + 沿下列路线计算积分 ，其中 (1) 3 自原点至 的直线段； +i (2) 3 3 . 自原点沿实轴至 ，再由铅直向上直线至 +i (1)连接原点至 的直线的参数方程为： 3+ i z i t t = + (3 ) , 0 1 3 1 2 2 0 0 [(3 ) ] (3 ) i z dz i t i dt + = + + 1 3 2 0 = + (3 )i t dt 3 3 1 3 0 1 1 (3 ) | (3 ) . 3 3 = + = + i t i (2) : ,0 3 : 3 ,0 1 曲线方程为： ， OA z x x AB z iy y = = + 3 2 2 2 0 i OA AB z dz z dz z dz + = + 3 1 2 2 0 0 = + + + x dx iy d iy (3 ) (3 ) 3 3 3 1 0 0 1 1 [ ] [(3 ) ] 3 3 = + + x iy 1 1 1 1 3 3 3 3 3 (3 ) 3 (3 ) 3 3 3 3 = + + − = + i i 注意：沿不同的路径积分的结果是相同的，即积分与路径无关， 3 3+i
例2.计算∮ dz (=-2)其中C为以为中心,r为半径的正向圆周,n为整数 x=x+ e 解:圆周x-x0)2+(y-y)2=r2的参数方程为 0≤6<2丌 y=yo +rsin →复数形式的参数方程为:z=(x+rcos的)+(+rsin),0≤0≤2 2=(x+10)+r(cos+isin6)==0+re",0≤6≤2 t rede 2丌 do- e ine de 0 n+loi(n+l)e 0 dz 2丌 当n=0时, d0=2i C 当n≠O时, 22(c9-n0e=0., 2-2 综上所述: d=azi, C 2-2 0 0 n≠ 这个积分结果以后常用,它的特点是与积分路线圆周的 2021/224 中心和半径无关
2021/2/24 12 • 例2． 1 0 0 . ( )n C dz C z r n z z + − 计算 ，其中 为以 为中心， 为半径的正向圆周， 为整数 解： 2 2 2 0 0 圆周 的参数方程为： ( ) ( ) x x y y r − + − = 0 0 cos ,0 2 sin x x r y y r = + = + 0 0 = + + + 复数形式的参数方程为：z x r i y r ( cos ) ( sin ),0 2 0 0 0 ( ) (cos sin ) , 0 2 i z x iy r i z re = + + + = + 1 0 ( )n C dz z z + − 2 2 2 1 ( 1) 0 0 0 i in n i n n in n ire d i i d e d r e r e r − + + = = = 当 时， n = 0 2 1 0 0 2 ; ( )n C dz i d i z z + = = − 当 时， n 0 2 1 0 0 (cos sin ) 0. ( )n n C dz i i n d z z r + = − = − 1 0 2 , 0 ( ) 0, 0 n C dz i n z z n + = = − 综上所述： 这个积分结果以后常用，它的特点是与积分路线圆周的 中心和半径无关．
例3.计算「。2的值,其中C为 (1)沿从原点到点0=1+的直线段C:z=(1+1),0≤t≤1 (2)沿从原点到点1=的直线段C2z=t,0≤t≤1 与从到的直线段C:z=1+i,0≤t≤1所接成的直线 解:()=1(-01+0=2m= (2 )_zdz= zdz+ zdz tdt+l(1-it)idt +(+i)=1+i -1 由此题可以看出,尽管起点、终点都一样,但由于沿不同的曲线积 分,所以积分值也是不同的 2021/224
2021/2/24 13 • 例3． C zdz C 计算 的值，其中 为 0 1 (1) 1 (1 ) ,0 1 沿从原点到点 的直线段 ： z i C z i t t = + = + 1 2 (2) 1 ,0 1 沿从原点到点 的直线段 ： z C z t t = = 1 0 3 与从 到 的直线段 ： 所接成的直线. z z C z it t = + 1 , 0 10 z i = +1 1 z =1 解： 1 1 0 0 (1) ( )(1 ) 2 1; C zdz t it i dt tdt = − + = = 2 3 (2) C C C zdz zdz zdz = + 1 1 0 0 = + − tdt it idt (1 ) 1 1( ) 1 2 2 = + + = + i i 由此题可以看出，尽管起点、终点都一样，但由于沿不同的曲线积 分，所以积分值也是不同的．