第6章稳态模型 微分方程稳定性 方法建模 §1捕鱼业的持续收获 §2军备竞赛 §3种群的相互竞争 §4种群的相互依存 §5种群的弱肉强食 §1捕鱼业的持续收获 ·再生资源(渔业、林业等) 与非再生资源(矿业等) 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益 问题及·在捕捞量稳定的条件下,如何 分析控制捕捞使产量最大或效益最佳 ·如果使捕捞量等于自然增长量,渔 场鱼量将保持不变,则捕捞量稳定 1
产量模型x()~渔场鱼量 假设·无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 ()=f(x)=rx(1-x r~固有增长率,N~最大鱼量 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex,E~捕捞强度 建模 记F(x)=f(x)-h(x) 捕捞情况下 渔场鱼量满足 x(t)=F(x)=rx(1-)-Ex 不需要求解xt),只需知道x(t)稳定的条件 一阶微分方程的平衡点及其稳定性 x=F(x)(1)一阶非线性(自治)方程 平衡点-F(x)0的根xx=0→x三x 设x(t)是方程的解,若从x邻域的任一初值出发, 都有limx(t)=x,称x是方程(1)的稳定平衡点 不求x(,判断x稳定性的方法直接法 x=F(x)x-x)(2)(1)的近似线性方程 F(x)0→x不稳定(对(2),(1)
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产量模型x(1)=F(x)=rx(1 F(x)=0>xn=N(1 平衡点 稳定性判断F(x)=E-r,F(x)=r-E E0→x稳定,x不稳定 E>r→F(x)>0,F(x1)<0→x不稳定,x稳定 E~捕捞强度r~固有增长率 x稳定,可得到稳定产量区x稳定渔场干枯」 产量模型 在捕捞量稳定的条件下, 控制捕捞使产量最大 图解法 (x)=f(x)-h(x) y=rx y=h(x) =Ex f(x)=rx(1 y=f(l h(x)=ex F(x)=0/与校交点P P的横坐标x平衡点P的纵坐标h产量 产量最大P(x=M12h=AN/4E=h/=/2
P P P
效益模型 在捕捞量稳定的条件下, 控制捕捞使效益最大 假设·鱼销售价格p·单位捕捞强度费用c 收入T=ph(x)=pEx,支出S=cE 单位时间利润R=T-S=pEx-CE 稳定平衡点x0=N(1-E/r)几L R(E)=7(E)-S(E)=pNE(--)-cE 求E使RE最大口En=2(1-N) 最大效益下x 捕捞过度·封闭式捕捞追求利涧RE)最大」 开放式捕捞只求利润R(E)>0 R(E)=T(E)-S(E)=pNE(1--)-cE=0→E,=r(1 临界强度E=2ER T(E), S(E) E存在(0)的条件p>c/N pNE E E代入x0=N(1 S(E) T(E) 渔场鱼量x=C/P p↑,↓→x↓捕捞过度
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§2军备竞赛 描述两个国家(国家集团)军备竞赛的过程 解释(预测)军备竞赛的结局 假设1)相互不信任,使一方军备越大,另一方军 备增加越快 2)经济实力限制,使任一方军备越大,对军 备增长的制约越大; 3)相互敌视或领土争端,使每一方都存在增 加军备的潜力。 假设1)2)的作用为线性:3)的作用为常数 建模x()~甲方军备,y()~乙方军备 x(t=ax+ ky+g y (t)=lx- By+ h a,月~本方经济实力的制约 k,~对方军备的刺激; g,h~军备竞赛的潜力 军备竞赛的结局→时的x(,y(0 口微分方程(*)的平衡点及其稳定性
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线性常系数x(t)=ax+by 微分方程组j(t)=cx+d 的平衡点及其稳定性 ax+by=0 平衡点Px02y0)=(0,0)~代数方程 的根 cx+dy=0 若从P邻域的任一初值出发,都有imx(t)=x, imy()=y,称P是微分方程的稳定平衡点 记系数矩阵A 特征方程det(4-A)=0 2+p2+q=0 特征根 p=-(a+d) =(-ptVp2-4q)/2 q=det A 线性常系数x(口)=ax+by 微分方程组j1)= 的平衡点及其稳定性 cr+ 平衡点P0)特征根2=(-p+Vp2-4)/2 微分方程一般解形式ce+ce4 λ12为负数或有负实部 p>0且q>0口平衡点O0稳定 p<0或q<0口平衡点P2.0)不稳定
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建模 +ky+g (*) y (t)=lx- By+ h 平衡点 kh+ Bg lg+ah B-kI B 稳定性判断 系数 -)=a+B>0 矩阵 q=detA=af-kl 平衡点(x)稳定的条件P>0,q>0 日oB>l x(t=-ax+ky +g 模型的定性解释 y(t=lx +h(*) 平衡点x kh+Bg B-kl y B-kl 双方军备稳定时间充分a,B~本方经济实力的制约 长后趋向有限值)的条件k,~对方军备的刺激 B>k(+)g,h~军备竞赛的潜力 1)双方经济制约大于双方军备刺激时,军备竞赛 才会稳定,否则军备将无限扩张 若g=h=0,则x=y=0,在条件(+)下x()=y()=0, 即友好邻国通过裁军可达到永久和平
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x(t=-ax+ ky+g 模型的定性解释 ()=k-2+b( a,~本方经济实力的制约 k,~对方军备的刺激; g,h~军备竞赛的潜力 3)若g,h不为零,即便双方一时和解,使某时x()yv 很小,但因x>0,j>0,也会重整军备 4)即使某时一方(由于战败或协议)军备大减,如x()=0, 也会因x=小+g使该方重整军备,即存在互不信 任(k≠0或固有争端(g≠0的单方裁军不会持久 §3种群的相互竞争 个自然环境中有两个种群生存,它们之间 的关系:相互竞争;相互依存;弱肉强食。 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间 相互竞争时,常见的结局是,竞争力弱的灭绝, 竞争力强的达到环境容许的最大容量。 建模描述两个种群相互竞争的过程,分析产 生这种结局的条件
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模型·有甲乙两个种群,它们独自生存 假设时数量变化均服从 Logistic规律 x()=Fx(1 文2(1)=r2x2(1 ·两种群在一起生存时,乙对甲增长的阻滞作 用与乙的数量成正比,甲对乙有同样的作用。 )01--0点元()=x1-05-5 NN 对于消耗甲的资源而言 对甲增长的阻滞 ∠(相对于N2)是甲(相对>1日作用,乙大于甲 于N)的σ1倍。 →乙的竞争力强 0)=x1--a50)=1-ax N. MM 模型t→>∞时x()x(m)的趋向(平衡点及其稳定性) 分析 (二阶)线性x(O)=f(x,x) (自治)方程x:(1)=g(x1,x) 的平衡点及其稳定性 平衡点P0(x10x20)~代数方程)=0 g(x,)≈0的根 若从P邻域的任一初值出发,都有1imx1(1)=x1, imx2(口)=x2,称P是微分方程的稳定平衡点
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判断P(xx9稳定()=f(x,x) 性的方法—直接法 元()=g(x,x2)(① (1)的近似线性方程 x(1)=f(x,x2)(x-x)+(x,x2)(x2-x2) 元()=gn(x,x)(x-x)+g(x,x2)(x2-x2)(2) 22+p2+q=0 g g P=-(n+g2) q= det A p>0且q>0 0或qN -a0)=x1-ax-5 f(x,x2=rx 1-l 0 (x,x2) 0 平衡点:P(N1,0),P2(0,N2) N(1-σ1)N2(1 P4(0,0) 1-O102 仅当σ1,a21时,P3才有意义
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