离散模型之二——层次分析法建模 背景日常工作、生活中的决策问题 涉及经济、社会等方面的因素 ·作比较、判断时人的主观选择起相当 主要作用,各因素的重要性难以量化 t.l.Saaty于1970年代提出层次分析法一 -AHP(Analytic Hierarchy Process) ·AH一种定性与定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法 层次分析法的基本步骤 例.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择 目标层 O(选择旅游地) C.C2 C3 C4 C 准则层(景色(费用)(居住)(饮食)(旅途 方案层 P P3 (桂林)(黄山)(北戴河) 1
“选择旅游地”思维过程的归纳 将决策问题分为3个层次:目标层O,准则层C, 方案层P;每层有若干元素,各层元素间的关系 用相连的直线表示。 通过相互比较确定各准则对目标的权重,及各方 案对每一准则的权重。 ·将上述两组权重进行综合,确定各方案对目标的 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤,给出决策问题的定量结果。 层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量元素之间两两对比,对比采用相对尺度 设要比较各准则C1C2Cn对目标O的重要性 C: C =aA=(am,a, >0, ai ds 11/2 21755A成对比较阵 旅A=1/41/711/21/3 A称正互反阵 1/31/5 地 1/31/53 要由A确定C1Cn对O的权向量
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成对比较的 11/24 不一致情况A a2=1/2(C:C)一致比较 不一致 4(C1:C) 23=8(C2:C3) 允许不一致,但要确定不一致的允许范围 考察完全一致的情况: W→w,w∴ a =w/w )~权向量 成对比较完全一致的情况 若正互反阵A满足 =a,,k=12…;n 则A称一致阵。 一致阵·A的秩为1,A的唯一非零特征根为n 性质·A的任一列向量是对应于n的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量 对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A,建议用对应于最大特征根xAw=w 的特征向量作为权向量w,即
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比较尺度 Saty等人提出1-9尺度—a,取值 范围:1,2,9及其互反数1,12,…19 ·便于定性到定量的转化 尺度 C:C的重要性相同稍强强明显强绝对强 a,=1,1/2,,1/9~C:C的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 用1~3,1~5, 1p-9p(p=2,3,4,5),d+0. (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比 较阵,算出权向量,与实际对比发现,1~9尺度较 优。 致性检验对A确定不一致的允许范围」 已知:n阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证:n阶正互反阵的最大特征根λ≥n,且λ=n时为一致阵 定义一致性指标:≈2-n C越大,不一致越严重 为衡量C酌大小,引入随机一致性指标RⅠ—随机模拟 得到a,形成A,计算C即得RI。一组数据为 6789 RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51 定义一致性比CR=CI/RⅠ 当CR<0.1时, 率 通过一致性检
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“选择旅游地”中准则层对目标的成对比较阵 准则层对目标的权 11/24 向量及一致性检验 A=1/41/711/21/3 最大特征根λ=5.073 1/31/531 权向量(特征向量)w=0.263,0.475,0.055,0.090,0.110T 致性指标C1=3513=0 0.018 随机一致性指标R=1.12(查表) 一致性比率C8002060过数 组合权向量记第2层(准则)对第层(目标) 的权向量为w2)=(w12 同样求第3层(方案对第2层每一元素准则的权向量 方案层对C景色)方案层对C4费用) 的成对比较阵 的成对比较阵 25 11/31/8 B1=1/2 2 1/51/21 最大特征根A1 权向量 (3)
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组合权向量第3层对第2层的计算结果 0.5950.0820.4290.6330.166 0.263 v30.2770.236042901930.166 0.475 0.1290.6820.1420.1750.6680.055 0.090 1.3005302330030.110 CI|0000.0010 0.0050 R=0.58(m=3),CIk均可通过一致性检验 方案P1对目标的组合权重为0.595×0.263+…=0.300 方案层对目标的组合权向量为(03046046 组合第2层对第1层的权向量 第1层O 权向量 )第层C1Cn 第3层对第2层各元素的权向量 第3层P1,…Pm vA3=(wA,…,w(),k=1,2,…,n 构造矩阵W(=[w13 则第3层对第1层的组合权向量w(3)=W(3)w2 第s层对第1层的组合权向量其中是由第p层对第 =Wwy.,yp1层权向量组成的矩阵
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层次分析法的基本步骤 建立层次分析结构模型 t 深入分析实际问题,将有关因素自上而下分层(目标一 准则或指标一方案或对象),下层受上层影响,而层内 各因素相对独 2)构造成对比较阵 用成对比较法和1-9尺度构造各层对上一层每一因素的成 对比较阵 3)计算权向量并作一致性检验」 对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量,作一致性 检验,若通过,则特征向量为权向量 4)计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据。 二.层次分析法的广泛应用 t ·应用领域:经济计划和管理,能源政策和分配, 人才选拔和评价,生产决策,交通运输,科研选 题,产业结构,教育,医疗,环境,军事等。 ·处理问题类型:决策、评价、分析、预测等。 建立层次分析结构模型是关键一步,要有主要 决策层参与。 构造成对比较阵是数量依据,应由经验丰富、 判断力强的专家给出
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例1 国家综合实力 国民 科技 社会 对外 收入 力量 水平 稳定 贸易 美、俄、中、日、德等大国 例2 收发声 誉 置 供选择的岗位 例3 t 环境效益 节收岸当建 交自舒 美 省入间地筑全往豪适出化 时C2商商就可勾感C9万C1 (1)过河效益层次结构
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过河的代价 t 经济代价 环境代价 投操冲冲交居汽对对 入资金 击渡船业 通拥挤 民搬迁 车排放物 水生 击生活方式C 染 态的破坏 桥梁 隧道 渡船 D D (2)过河代价层次结构 例4 科技成果评价 规模C3 接 经济 社会学识学术技术技术 效益 效益水平创新水平创新 待评价的科技成果
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层次分析法的若干问题 正互反阵的最大特征根是否为正数?特征向量 是否为正向量?一致性指标能否反映正互反阵 接近一致阵的程度 ·怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量? 为什么用特征向量作为权向量? ·当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用 层次分析法? 1.正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 定理1正矩阵A的最大特征根λ是正单根,对应 正特征向量w,且lim A e A'e v,e=(1,1,…1) 定理2n阶正互反阵4的最大特征根≥n, 当A=n时A为一致阵。 证明:已知A=(an)的入>0 ww"Aw,=∑a a=E/w口=w∑E对球和
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