《线性代数》第三章 向量组的线性相关性（3.2）向量组的线性相关性

向量组的线性相关性 第二节向量组的线性相关性 >、向量向量组与矩阵 二、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定 四、小结思考题

向量、向量组与矩阵 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量) 所组成的集合叫做向量组 例如矩阵A=(aj)n有n个m维列向量 12 a11a12 In A=∥a2 22∴|2j a2n amlllam2 n 向量组(,2,…,n称为矩阵4的列向量组 王页下

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A = (aij) mn 有n个m维列向量               = a a a a a a a a a a a a A m m mj mn j n j n             1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 a1 向量组 a1, a2 ,  , an 称为矩阵A的列向量组. 一、向量、向量组与矩阵 a1 a2 a j an

类似地,矩阵4=(a)mn又有m个n维行向量 1112 aIn a1 m2122∴2n 2 4= ili2∴in ali T n 2 m 向量组a1,a T 9··· am 称为矩阵A的行向量组 上页

类似地,矩阵A = (aij ) mn 又有m个n维行向量                   = a a a a a a a a a a a a A m m mn i i in n n             1 2 1 2 21 22 2 11 12 1  T 1  T 2  T i  T m  T 1  T 2  T i  T m 向量组  , , …， 称为矩阵A的行向量组． T 1  T 2  T m

反之,由有限个向量所组成的向量组可以构 王成一个矩阵 m个n维列向量所组成的向量组a1,a2,…,am, 构成一个m×n矩阵 A=(a1,a2,,Om) m个n维行向量所组成 B T 的向量组B1,B2,Bm,B=/ c构成一个m×n矩阵 B 上页

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵. 构成一个 矩阵 个 维列向量所组成的向量组 m n m n m  , , , , 1  2   构成一个 矩阵 的向量组 个 维行向量所组成 m n m n T m T T  , , ,  1  2                = T m T T B     2 1 ( , , , ) A = 1  2   m

线性方程组的向量表示 a1x1+a12x2+…+a1nn=b1, a121x1a22x2+…+a2n=b2, ···..······· aml C1 t am2 r2 +……H amn n n l12x2 +十 n 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应. 上页

a1 x1 + a2 x2 +  + an xn = b 线性方程组的向量表示        + + + = + + + = + + + = . , , 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b m m mn n m n n n n     方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．

定义1给定向量组4:a1,a2,…,am对于任何一 组实数k,k2…,kn向量 k1a1+k2a2+…+knCm 称为向量组的一个线性组合,k1k2…,k称为这 个线性组合的系数 工工工 上页

组实数 ， ， ， 给定向量组 ，对于任何一 m m k k k A , : , , , 1 2 1 2  定义１     . , 1 2 个线性组合的系数 称为向量组的一个 ， k ，k ， km称为这 向 量 k11 + k2 2 ++ km m 线性组合

给定向量组A:a1,a2,…,cn和向量b,如果存在 组数λ1,2,…,n,使 b=1a1+2a2+…nam 王则向量b是向量组的线性组合,这时称向量b能 由向量组A线性表示 工工工 即线性方程组 x1C1+x2O2+…+xnm=b 有解 上页

b = 11 + 2 2 +   m  m 一组数 ， ， ， 使 给定向量组 和向量 如果存在 m A m b      , : , , , , 1 2 1 2   . 1 1 2 2 有解 即线性方程组 x  + x  +  + xm m = b 则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 能 由向量组 线性表示． b A

定理1向量b能由向量组线性表示的充分必要 出条件是矩阵A=(an,an,…,am)秩等于矩阵 B=(a1,a2x…,am,b)的秩 定义2设有两个向量组 A:a1a2…,an及B:B1,月2,…,B, 若B组中的每个向量都能由向量组4线性表示,则 称向量组硝能由向量组线性表示.若向量组A与向 量组B能相互线性表示,则称这两个向量组等价 上页

( , , ) . ( , ) 1 2 1 2 ， ， 的 秩 条件是矩阵 ， ， 的秩等于矩阵 向 量 能由向量组 线性表示的充分必要 B b A b A m m         = = 定理1 定义２ . : , , , : , , , . 1 2 1 2 量 组 能相互线性表示，则称这两个 称 若向量组 与 向 若 组中的每个向量都能由向量组 线性表示，则 及 设有两个向量组 B A B A A     m B     s 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价． B A

若记A=(a1,a2,…,an)和B=(b1,b2,…,b,).B 能由4线性表示,即对每个向量b(=1,2,,s) 在数k1,k2,…km,使 b;=k1,C1+k212+…+kmm k, lj 2 19299m: k 上页

在数 使 能由 线性表示，即对每个向量 存 若记 （ 和 （ , , , ( 1,2, , ) , , , ) , , , ). 1 2 1 2 1 2 j j mj j m s k k k A b j s A B b b b B     = =    = bj = k1 j1 + k2 j 2 + + kmj m , , , ) , 2 1 1 2               = mj j j m k k k  （   

从而 12 (h1,b2,…,b)=(a1,2,…, am1 b23 k m1 k 2 MS 矩阵m=(4称为这一线性表示的系数矩阵 上页

（b1 ,b2 ,  ,bs ) = 从而               m m ms s s m k k k k k k k k k        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 （ , , , ) 矩阵 ( )称为这一线性表示的系 数矩阵. Kms = kij