2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 基础班微积分第3章 导数概念、性质与计算 3.1导数概念 导数定义与概念是一元函数微分学的核心内容,对它的背景与概念,应从极限的角度去认 识,并且应把导数的定义看作一种标准极限模式。 由导数概念本身,可以得到一系列重要性质,而这些性质是研究函数性态的重要依据与工 具。在计算方面,应训练准确快速的导数计算能力。在学习中要掌握好基本初等函数的导数公 心人“ 式,导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,以及反函数、隐函数和由参数方程确定的函 数的求导公式及要点 3.1.1导数定义及其变形形式 定义3.1设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义 x=x-x f(x0+△x)-f(x0) lim Ay= lim /(xo+Ax)-(o) r(o)/(xo)=lim /(x)-f(o) 导数f(x0)的几何意义:切线斜率。 等价性描述,4(x=A+a(A), 且A=f(x)。其中a(△x)是△x→>0时的无穷小量。进一步可改写为 4(x0)=f(x)△x+a(△x)△x 或f(x)=f(x0)+f(x0)△x+B(△x) 其中B(△x)=a(△x)△x为△x→>0时的高阶无穷小量 导数定义的描述,还可以扩展理解为f(x)=1m/(x+a(A)-(x 定义3.2如果lim f∫(x0+Ax)-f(x0) △x→0°△x△x→0 存在,则称此极值为f(x)在x处的左导数,记为∫(x);如果 lim f(xo+Ax)-f(ro Ax→0’△x△r+0 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 1网址:www.tsinghuatutorcom电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 基础班微积分第 3 章 导数概念、性质与计算 3.1 导数概念 导数定义与概念是一元函数微分学的核心内容，对它的背景与概念，应从极限的角度去认 识，并且应把导数的定义看作一种标准极限模式。 由导数概念本身，可以得到一系列重要性质，而这些性质是研究函数性态的重要依据与工 具。在计算方面，应训练准确快速的导数计算能力。在学习中要掌握好基本初等函数的导数公 式，导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，以及反函数、隐函数和由参数方程确定的函 数的求导公式及要点。 3．1．1 导数定义及其变形形式 定义 3.1 设函数 y = f (x) 在点 的某邻域内有定义， 0 x 0 ∆x = x − x ， ( ) ( ) 0 0 ∆y = f x +∆x − f x ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 f x x f x x f x x y x x = ′ ∆ +∆ − = ∆ ∆ ∆ → ∆ → 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim x x f x f x f x x − − ′ = ∆ → 导数 ( )的几何意义:切线斜率。 0 f ′ x 等价性描述： ( ) ( ) 0 A x x f x = + ∆ ∆ ∆ α , 且 A = f ′(x0 ) 。其中α(∆x) 是 ∆x → 0 时的无穷小量。 进一步可改写为 ∆f (x ) = f ′(x )∆x + (∆x)⋅∆x 0 0 α 或 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f x = f x + f ′ x ∆x + β ∆x 其中 β (∆x) = α(∆x)⋅∆x 为 ∆x → 0 时的高阶无穷小量。 导数定义的描述，还可以扩展理解为 ( ) ( ( )) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x f x x f x f x x ∆ + ∆ − ′ = ∆ → α α 定义 3.2 如果 x f x x f x x y x x ∆ +∆ − = ∆ ∆ − → − ∆ → ∆ ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存在，则称此极值为 f (x) 在 处的左导数，记为 ；如果 0 x ( ) 0 f x − ′ x f x x f x x y x x ∆ +∆ − = ∆ ∆ + → + ∆ → ∆ ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 1 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 存在,则称此极值为∫(x)在x处的右导数,记为∫(x0)。 显然由极限存在的充要条件,f(x)在x处可导的充分必要条件是f(x)在x处的左、右 导数都存在,且相等∫(b)=f(a) f(x)在闭区间ab上可导,是指f(x)在(a,b)内每一点都可导,并且∫(a)与∫(b)均 存在。 B 3. 1 lim x[sinIn(1+=)-sin In(1+-)] 【解】令1=,则原极限= lim sin In(+y)-sim+ =[3 sin In(1+31)- sin In(1+t)|=0=2 例32(1)若f(a)=k存在,则 imf(a-1)-f(a)=() (A)一k。(B)k (C)0 (D)不存在。 【解】limf(a-)-f(a) f(a-)-f(a) lim/(a+D-f(a) h f(a)=-f(a)=-k 上述第最后用到了导数存在的充要条件:左右导数存在且相等,因此应选(A)。 例32(2)(2007数一、二、三、四共用)设函数f(x)在x=0处连续, 下列命题错误的是()。 若lim少2存在,则f(0)=0 B)若lm(x)+/(=)存在,则f(0)=0 (C)若lim f(x) 存在,则∫(0)存在 (D)若lim f(x)-f(-存在,则f(0)存在 解】答案D。 考点:点连续概念,导数定义,无穷小量比阶的概念与极限运算法则。 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 2网址:www.tsinghuatutorcom电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 存在，则称此极值为 f (x) 在 处的右导数，记为 。 0 x ( ) 0 f x + ′ 显然由极限存在的充要条件， 在 处可导的充分必要条件是 在 处的左、右 导数都存在，且相等 。 f (x) 0 x f (x) 0 x f− ′(b) = f (a) + ′ f (x) 在闭区间[a,b]上可导，是指 f (x) 在(a,b)内每一点都可导，并且 f+ ′(a)与 f (b) − ′ 均 存在。 例 3.1 + − + = →∞ )] 1 ) sin ln(1 3 lim [sin ln(1 x x x x 。 【解】令 x t 1 = ，则 原极限＝ t t t t sin ln(1 3 ) sin ln(1 ) lim 0 + − + → = [3sin ln(1+ 3t) − sin ln(1+ t)]′ | t=0 = 2 。 例 3.2（1） 若 f ′(a) = k 存在，则 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − →+∞ ) ( ) 1 lim ( f a h h f a h （ ）。 （A） − k 。 （B） k 。 （C）0 。 （D）不存在。 【解】 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − →+∞ ) ( ) 1 lim ( f a h h f a h h f a h f a h 1 ) ( ) 1 ( lim − − − = − →+∞ t f a t f a t ( ) ( ) lim 0 + − = − → − = − f ′(a) = − f ′(a) = −k. − 上述第最后用到了导数存在的充要条件：左右导数存在且相等，因此应选（A）。 例 3.2（2）（2007-数一、二、三、四共用）设函数 f (x) 在 x = 0处连续， 下列命题错误的是（ ）。 （A）若 x f x x ( ) lim →0 存在，则 f (0) = 0 （B）若 x f x f x x ( ) ( ) lim 0 + − → 存在，则 f (0) = 0 （C）若 x f x x ( ) lim →0 存在，则 f ′(0) 存在 （D）若 x f x f x x ( ) ( ) lim 0 − − → 存在，则 f ′(0) 存在 【解】答案 D。 考点：点连续概念，导数定义，无穷小量比阶的概念与极限运算法则。 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 2 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 (D)的成立不一定保证导致可导的两个极限存在。请看错误做法 f(x)-f(-x) x→0 fx)-/(0)+im(-x)-f0 x→0 =f(0)+f(0)=2f(0) 则∫'(O)存在。极限运算法则错误 x arctan 例3.3设f(x) 讨论f(x)的可微性,若可微,求∫(x)并讨论其 1),x≤0 连续性。 【解】首先∫(x)在x=0处连续。再由初等函数可导性的结论,只须讨论f(x)在x=0处的 可微性,为此考虑极限 rarctan ∫(0)=lim 存在 f'(0=mex-1 f(0) 因此f(x)在x=0处可微,结论为:f(x)在(∞,+∞)上处处可徽 arctan x>0 2(x+1) f(x)= x=0 Z COSX <0 2 limf(x) 3∫(0),于是∫(x)在x=0处连续。结论为:∫(x)处处连续。 COS 0 例34设f(x)= 其中g(x)是有界函数,则∫(x)在x=0处有(D) xg(x)x≤0 (A)极限不存在。(B)极限存在,但不连续。(C)连续,但不可导。(D)可导 【解】首先考查x=0处的左右极限 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 3网址:www.tsinghuatutorcom电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 (D)的成立不一定保证导致可导的两个极限存在。请看错误做法： x f x f x x ( ) ( ) lim 0 − − → x f x f x ( ) (0) lim 0 − = → x f x f x − − − + → ( ) (0) lim 0 = f ′(0) + f ′(0) = 2 f ′(0) 则 f ′(0) 存在。极限运算法则错误！ 例 3.3 设 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ > = ( 1), 0 2 , 0 1 arctan ( ) sin e x x x x f x π x ,讨论 的可微性，若可微，求 并讨论其 连续性。 f (x) f ′(x) 【解】 首先 在 处连续。再由初等函数可导性的结论, 只须讨论 在 处的 可微性，为此考虑极限 f (x) x = 0 f (x) x = 0 2 1 arctan (0) lim 0 π ′ = = + → + x x x f x 存在， 2 1 lim 2 (0) sin 0 π π = − ′ = − → − x e f x x = (0) +f ′ 因此 f (x) 在 x = 0 处可微，结论为： f (x) 在(−∞,+∞) 上处处可微。 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − ′ = , 0 2 cos , 0 2 , 0 2( 1) 1 arctan ( ) sin 2 3 e x x x x x x x f x π x π ， (0) 2 lim ( ) 0 f x f x ′ = = ′ → π ，于是 f ′(x) 在 x = 0处连续。结论为： f ′(x) 处处连续。 例 3.4 设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > − = ( ) 0 0 1 cos ( ) 2 x g x x x f x x ，其中 g(x) 是有界函数，则 f (x) 在 x = 0处有（ D ）。 (A) 极限不存在。 (B)极限存在，但不连续。 (C) 连续，但不可导。(D) 可导。 【解】首先考查 x = 0处的左右极限。 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 3 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 imnf(x)=1m1-sx=1mx=01m,/()=1mxg(x)=0(因为g(x)有界 x→02 因此lim∫(x)=f(0)=0,故∫(x)在x=0处连续。再考查x=0处的左右导数是否存在。 lim f(x)-f(0)= lim xg(x)=o im(x)-/(O)=1m1-x=lmn2=0 因此∫(0)与∫(0)均存在,且相等。于是f(x)在x=0处可导,且∫(0)=0, 谷案为①)。 3.1.2由函数在一点可导决定的函数局部性质 性质1当f(x)在x处可导时,f(x)必然存在x处连续。 但必须注意到:f(x)在x处连续时,却不一定在x处可导 性质2设函数∫(x)连縷,且∫(O)>0,则存在δ>0,使得对任意的x∈(0,6)有 f(x)>f(0),对任意的x∈(-0,0)有f(x)0,则由极限保序性可推断 存在δ>0,使当x∈(-06,0)或x∈(0,)时,f(x)-f(0)0 即f(x)-f(0)与x应保持同号,因此对任意的x∈(0,6)有∫(x)>f(0),对任意的 x∈(-o,0)有f(x)0时,f(x)>f(O),且(O)<,若im(+ cos f(x) sIn x 则∫'(0)=()。 A)0。(B)1。()√2。⑩)√e。 【解】答案:C。由im(1+ 1-cos f(x )=e,可以知道当x→0时有 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 4网址:www.tsinghuatutorcom电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 0 2 lim 1 cos lim ( ) lim 2 0 0 0 = = − = → + → + → + x x x x f x x x x lim ( ) lim ( ) 0 (因为 有界) 2 0 0 = = → − → − f x x g x x x g(x) 因此lim ( ) (0) 0 ，故 在 0 = = → f x f x f (x) x = 0处连续。 再考查 x = 0处的左右导数是否存在。 lim ( ) 0 ( ) (0) lim 0 0 = = − → − → − xg x x f x f x x x f x f x ( ) (0) lim 0 − → + 0 2 lim 1 cos lim 3/ 2 2 0 0 = = ⋅ − = → + → + x x x x x x x 因此 f+ ′(0) 与 f _ ′(0) 均存在，且相等。于是 f (x) 在 x = 0处可导，且 f ′(0) = 0， 答案为(D)。 3．1．2 由函数在一点可导决定的函数局部性质 性质 1 当 f (x) 在 处可导时， 必然存在 处连续。 0 x f (x) 0 x 但必须注意到： f (x) 在 处连续时，却不一定在 处可导。 0 x 0 x 性质 2 设函数 f (x) 连续，且 f '(0) > 0 ，则存在 δ > 0 ，使得对任意的 x ∈ (0,δ ) 有 f (x) > f (0) ，对任意的 x ∈ (−δ ,0) 有 f (x) − − ′ = → x f x f f x ，则由极限保序性可推断 存在δ > 0 ，使当 x ∈ (−δ ,0) 或 x ∈ (0,δ ) 时， 0 0 ( ) (0) > − − x f x f ， 即 f (x) − f (0) 与 x 应保持同号，因此对任意的 x ∈ (0,δ ) 有 f (x) > f (0) ，对任意的 x ∈ (−δ ,0) 有 f (x) 0 时， f (x) > f (0) ，且 f (0) <1,若 e x f x x x = − + → 1 0 ) sin 1 cos ( ) lim(1 , 则 f ′(0) = （ ）。 (A) 0 。 (B) 1。 (C) 2 。 (D) e 。 【解】答案：C。由 e x f x x x = − + → 1 0 ) sin 1 cos ( ) lim(1 ，可以知道当 x → 0 时,有 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 4 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 im1-01+1-os/(x)=1,lm1.1-eos/(x)=1 sIn x sInx 因为f(O)<1,则必有limf(x)=0=f(0), 于是Im1.1-cos/()21 f2(s (不可用洛必达法则!) 又因为f(0)存在,所以 f()P=limf(x),f(x)=2,得到f(0)=√2。 x→0 例36设f(x)在x=0点某邻域内可导,且当x≠0时f(x)≠0,已知f(0)=0,f(0)=2 求极限lim(1-2f( 【解】所求极限为“1”型,设法利用标准极限,并与导数∫(O)=2相联系。 lim(1-2f(x)sinr = lim(1-2f(r)3-2/() 由复合极限定理,只须考虑极限 im-2/(x)=im-2/(x).x sIn x sin x 由f(0)=0,f(0)=2存在,故上述极限可利用极限的乘法运算求得,即有 lim-2f(x)=-20150 x f(x)-f(0) ]·[in ]=-2f(0)=-4 sIn x 于是lim(1-2f(x)mx=e 注:利用导数定义求某些极限是一类重要题型,应熟悉导数定义的极限构造形式,并注意利用 复合极限定理与已知重要极限的结论 3.2微分概念与相对变化率 32.1微分概念 由导数的等价性描述,我们已经知道可导函数f(x)在x处的增量 4(x0)=f(xo+△x)-f(x0)可以表示为 f(x0+△x)-f(x0)=f(x)Ax+a(△x)Ax 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 5网址:www.tsinghuatutorcom电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ) 1 sin 1 cos ( ) ln(1 1 lim 0 = − ⋅ + → x f x x x , 1 sin 1 1 cos ( ) lim 0 = − ⋅ → x f x x x 因为 f (0) <1，则必有lim ( ) 0 (0) 0 f x f x = = → ， 于是 1 ( ) lim 2 1 sin 1 1 cos ( ) lim 2 2 0 0 = = − ⋅ → → x f x x f x x x x , (不可用洛必达法则！) 又因为 f ′(0) 存在, 所以 2 ( ) lim ( ) [ (0)] lim 0 0 2 ′ = ⋅ = → → x f x x f x f x x ，得到 f ′(0) = 2 。 例 3.6 设 f (x) 在 x = 0点某邻域内可导，且当 x ≠ 0 时 f (x) ≠ 0 ，已知 f (0) = 0, f ′(0) = 2， 求极限 x x f x sin 1 0 lim(1− 2 ( )) → 。 【解】所求极限为“ ”型，设法利用标准极限，并与导数 ∞ 1 f ′(0) = 2相联系。 x x f x sin 1 0 lim(1− 2 ( )) → x f x f x x f x sin 2 ( ) 2 ( ) 1 0 lim(1 2 ( )) − − ⋅ → = − 由复合极限定理，只须考虑极限 x x x f x x f x x x sin 2 ( ) lim sin 2 ( ) lim 0 0 ⋅ − = − → → 由 f (0) = 0, f ′(0) = 2存在，故上述极限可利用极限的乘法运算求得，即有 ] sin ] [lim ( ) (0) 2[lim sin 2 ( ) lim 0 0 0 x x x f x f x f x x→ x→ x→ ⋅ − = − − = −2 f ′(0) = −4 于是 sin 4 1 0 lim(1 2 ( )) − → − f x = e x x 。 注：利用导数定义求某些极限是一类重要题型，应熟悉导数定义的极限构造形式，并注意利用 复合极限定理与已知重要极限的结论。 3.2 微分概念与相对变化率 3.2.1 微分概念 由导数的等价性描述，我们已经知道可导函数 f (x) 在 处的增量 0 x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ∆f x = f x + ∆x − f x 可以表示为 f (x + ∆x) − f (x ) = f ′(x )⋅∆x + (∆x)⋅∆x 0 0 0 α 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 5 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 其中a(△x)为Ax→>0时的无穷小量。若记B(△x)=a(△x)Ax,则β(△x)是Ax的高阶无穷 小量。于是又可记为 f(x)-f(xo)=f(o)Ax+B(Ax) 定义3.3设函数y=f(x)在点x的某邻域内有定义。若存在常数A,使得对函数增量小可 以表为△y=A△x+o(Ax), 其中A与Ax无关,o(△x)是Ax→>0时的高阶无穷小量,则称函数y=f(x)在点x处可, 记为dn=AAx=d(x)。函数的微分通常记为d=dy=ya=f(x)r 3.2.2相对变化率 定义3.4设y=f(x)为可导函数,称极限 Ny,=x1m<(x+△x)-f(x)=xf(x)为y对x的相对变化率 y 经济模型中定义需求函数Q=f(P),其中P为单位商品的价格。需求对价格的相对变化 率为E4=Bf(P),作为价格对需求反弹的一种度量,取相对变化率的绝对值定义为弹性(需 求对价格)E=Bf(P)。收益函数定义为R=PQ=P(P) 3.3初等函数的导数与微分公式 导数与微分四则运算规则 如果f(x),8(x)在点处都有导数,则其和、差、积、商(分母不为零时)在点x处均有导数 且可微 [f(x)±g(x)=f(x)±g(x); ff(xg(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x): f(x), f(x)g(x)-f(x)g(x) g(x) 8 (x) d((x)±g(x))=d(x)±dg(x); 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 6网址:www.tsinghuatutorcom电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 其中α(∆x) 为 ∆x → 0 时的无穷小量。若记 β (∆x) = α(∆x)⋅∆x ，则 β (∆x) 是 的高阶无穷 小量。于是又可记为 ∆x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f x − f x = f ′ x ∆x + β ∆x 定义 3.3 设函数 y = f (x) 在点 x0的某邻域内有定义。若存在常数 A ，使得对函数增量 ∆y 可 以表为 ∆y = A∆x + o(∆x)， 其中 A 与 ∆x 无关，o(∆x) 是 ∆x → 0 时的高阶无穷小量，则称函数 y = f (x) 在点 处可微， 记为 0 x dy A x x = ∆ 0 ( ) 0 = df x 。函数的微分通常记为 df = dy = y′dx = f ′(x)dx 3.2.2 相对变化率 定义 3.4 设 y = f (x) 为可导函数，称极限 ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 f x y x x f x x f x y x x x y y x x = ′ ∆ +∆ − = ∆ ∆ ∆ → ∆ → 为 y 对 x 的相对变化率。 经济模型中定义需求函数 ，其中 为单位商品的价格。需求对价格的相对变化 率为 Q = f (P) P f (P) Q p Ed = ′ ，作为价格对需求反弹的一种度量，取相对变化率的绝对值定义为弹性（需 求对价格） f (P) Q p Ed = ′ 。收益函数定义为 R = PQ = Pf (P) 。 3.3 初等函数的导数与微分公式 导数与微分四则运算规则 如果 在点 处都有导数，则其和、差、积、商(分母不为零时)在点 处均有导数， 且可微。 f (x), g(x) x x [ f (x) ± g(x)]′ = f ′(x) ± g′(x) ； [ f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x) ； ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) [ 2 g x f x g x f x g x g x f x ′ − ′ ′ = d ( f (x) ± g(x)) = df (x) ± dg(x) ； 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 6 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 d(f(x)g(x)=f(x)dg(x)+g(x)df(x),d(f(x)=cdf(x)(c为常数); f(x)_g(x)df(x)-f(r)dg(x) g(x) [∫(x)+g(x)+h(x)=f(x)+g'(x)+h('x)f(x)g(x)h(x)] ∫(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x)+∫(x)g(x)h(x) z 例37设y=y()在任意点x(一+Q)满足y=1+x24x+a,若y)=re,则 y(√3)=re3 【解】由已知等式对任意x∈(-∞,+∞)成立,则有f(x)在(-∞,+∞)内可导,且 dy dx ,积分后得到 1+x2y1+x In y= arctan+InC,Xy=Ce 由y()=ze,得C=n。于是y=me-mx,y(√3)=ze 例3:8(2004216)设函数f(x)在(-,+∞0)上有定义,在区间2]上,f(x)=x(x2-4), 若对任意的x都满足f(x)=6(x+2),其中k为常数。 (1)写出∫(x)在2,0)上的表达式 (2)问k为何值时,f(x)在x=0处可导。 【解】(1)当-2≤x<0,即0≤x+2<2时, (x)=6(x+2)=k(x+2)(x+2)-4]=k(x+2)x+4) (2)由题设知f(0)=0 fO)=lm()=/(0 0)=im(x)-/(o) li kx(x+2)x+4)_gk 令∫(0)=(0),得,即k=时,八(x)在x=0处可导 3.4高阶导数计算 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 7网址:www.tsinghuatutorcom电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 d ( f (x)g(x)) = f (x)d g(x) + g(x)d f (x) ，d (cf (x)) = cd f (x) ( c 为常数)； ( ) ( )d (x) ( )d ( ) ( ) ( ) 2 g x g x f f x g x g x f x d − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ [ f (x) + g(x) + h(x)]′ = f ′(x) + g′(x) + h(′x)[ f (x)g(x)h(x)]′ = f ′(x)g(x)h(x) + f (x)g′(x)h(x) + f (x)g(x)h′(x) 例 3.7 设 y = y(x) 在任意点 x ∈(−∞,+∞) 满足 ( ) 1 2 x o x x y y ∆ + ∆ + ∆ = ，若 4 (1) π y = π e ，则 y( 3) = 3 π π e 。 【解】由已知等式对任意 x ∈(−∞,+∞) 成立，则有 f (x) 在(−∞,+∞) 内可导，且 2 1 x y y + ′ = ， 2 1 x dx y dy + = ，积分后得到 ln y = arctan x + lnC ，又 ， x y Cearctan = 由 4 (1) π y = π e ，得C =π 。于是 ，x y earctan = π 3 ( 3) π y = π e 。 例 3.8 (2004-2-16）设函数 f (x) 在 (−∞,+∞)上有定义，在区间[0,2]上， ( ) ( 4) 2 f x = x x − , 若对任意的 x 都满足 f ( ) x = kf (x + 2)，其中k 为常数。 （1） 写出 f (x) 在[− 2,0) 上的表达式； （2） 问 k 为何值时， f (x) 在 x = 0处可导。 【解】(1)当− 2 ≤ x < 0，即0 ≤ x + 2 < 2 时， f ( ) x = kf (x + 2) ( ) 2 [( ) 2 4] ( 2)( 4) 2 = k x + x + − = kx x + x + （2）由题设知 f ( ) 0 = 0. ( ) ( ) ( ) ( ) 4, 4 lim 0 0 ' 0 lim 2 0 0 = − − = − − = + → + → + x x x x f x f f x x ( ) ( ) ( ) 0 0 ' 0 lim 0 − − = − → − x f x f f x ( )( ) k x kx x x x 8 2 4 lim 0 = + + = → − 令 ( ) 0 (0)，得。即 ' ' − = + f f 2 1 k = − 时， f (x) 在 x = 0处可导。 3．4 高阶导数计算 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 7 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 如果函数y=f(x)的导函数y(x)仍有导数[f(x),则称[f(x)为y=f(x)的二阶导 数,记为y(x)2y或 一般把r(的导数称为/(x)的H阶导数,记为y","x)d或女 n阶导数定义为 "(x)=lm/(x+△x)-(函数的二阶及二阶以上的各阶导数统称高阶导数 根据高阶导数的定义,欲求高阶导数,只需按导数的基本公式与运算法则逐阶进行计算 例39求y=e(为常数)的各阶导数 【解】y=1e,y"=e,…,y=e。 例3.10求y=sinx的各阶导数 【解】y=C0Sx=Smx x+-|= x+ 2 2 n(x+n) 当对两个函数f(x)与g(x)乘积进行高阶导数运算时,常用到下面定理(假设f(x),g(x) 均有n阶导数),称为莱布尼茨公式: f(x)g(x)=∑C(x)g"“(x) n(n-1)…(n-k+ ,并规定f0(x)=f(x),g(x)=g(x)。 (n-k)!k! 例311y=x2sinx的100阶导数是 【解】由莱布尼茨公式,注意到x2的n≥3阶导数均为零,则有 0x2(sinx)00+100x2)(sinx)),100×99 (x(sin x) 2! x- sin x+ 100x+200 9+10089 sin x+ 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 8网址:www.tsinghuatutorcom电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 如果函数 y = f (x) 的导函数 y′(x) 仍有导数[ f ′(x)]′ ，则称[ f ′(x)]′ 为 的二阶导 数，记为 y = f (x) 2 2 , ( ), dx d y y′′ f ′′ x 或 2 2 dx d f 。 一般把 ( ) 的导数称为 的 阶导数，记为 ( 1) f x n− f (x) n n n n n dx d y y , f (x), ( ) ( ) 或 n n dx d f 。 n 阶导数定义为 x f x x f x f x n n x n ∆ + ∆ − = − − ∆ → ( ) ( ) ( ) lim ( 1) ( 1) 0 ( ) 函数的二阶及二阶以上的各阶导数统称高阶导数。 根据高阶导数的定义，欲求高阶导数，只需按导数的基本公式与运算法则逐阶进行计算。 例 3.9 求 λ 为常数)的各阶导数。 λ ( x y = e 【解】 , , , 。 y′ = λe λx y′′ = λ 2 e λx L n n x y e λ = λ ( ) 例 3.10 求 y = sin x 的各阶导数。 【解】 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ = = + 2 cos sin π y x x ， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′′ = + 2 sin 2 2 cos π π y x x ， … … … … …， ) 2 sin( ( ) π y x n n = + 。 当对两个函数 与 乘积进行高阶导数运算时，常用到下面定理(假设 ， 均有 n 阶导数)，称为莱布尼茨公式： f (x) g(x) f (x) g(x) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) f x g x C f x g x k n k k n n k n − = = ∑ ! ( 1) ( 1) ( )! ! ! k n n n k n k k n Ck n − − + = − = L ，并规定 ( ) ( )， 。 (0) f x = f x ( ) ( ) (0) g x = g x 例 3.11 y x sin x 的 100 阶导数是 2 = . 【解】由莱布尼茨公式，注意到 的 阶导数均为零，则有 2 x n ≥ 3 (100) 2 (100) 2 (99) y = x (sin x) +100(x )′(sin x) 2 (98) ( ) (sin ) 2! 100 99 x ′′ x × + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 99 200 sin 2 100 sin 2 π π x x x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + × + 2 98 100 99sin π x 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 8 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 =x sin x-200x cosx-9900 sin x 例3.12求y=x2- 的n阶导数 【解】y{) (-1)"nl(-1)"n! 2a(x-a xta 2a(x-a)”(x+a) nd 例3.13f(x)=ln(2-3x)的10阶导数是()。 (A) (2-3x) (2-3r)o(o)30.10;m)-30.9 (2-3x) (2-3x) 【解】答案为)。只须注意到(-1)的次数(19次)、阶乘的结果及3的方幂即可。 3.5复合函数求导法则与徵分法 定理3.2如果l=q(x)在点x处有导数 du a='(x=f(u)在对应点(=(x)处也有 dsf(),则复合函数y=(x)在点x处也有导数,且 =如或{n1o(x}=r(( dx du dx 例3.14 y=ax与y=ln(x+√x2+1)的导数 【解】(a)=01、1+(-x)=lno 1+x 1)y =(1 2x) x+√x2+12√x2+1 x2+1 例3.15求函数y=xm(x>0)的导数 【解】(方法1)这类函数叫做幂指函数。首先两边取对数,得隐函数iny= sin xInx 再由隐函数求导法得 CoStIn,sin x,从而y= x [cos xInx, sin 这种先取对数再求导的方法叫做取对数求导法。除适用于幂指函数y=u(x)x)外,对含有 多个因式相乘除或带乘方、开方的函数也适用。 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 9网址:www.tsinghuatutorcom电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 x sin x 200x cos x 9900sin x 。 2 = − − 例 3.12 求 2 2 1 x a y − = 的 n 阶导数。 【解】 ( ) ( ) 2 2 ( ) 1 1 2 1 1 n n n x a a x a x a y ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − − = +1 +1 ( ) ( 1) ! ( ) ( 1) ! 2 1 n n n n x a n x a n a ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = − +1 +1 ( ) 1 ( ) 1 2 ! ( 1) n n n a x a x a n 例 3.13 f (x) = ln(2 − 3x) 的 10 阶导数是（ ）。 (A) 10 10 (2 3 ) 3 10! − x − ⋅ ；(B) 10 10 (2 3 ) 3 9! − x ⋅ ；(C) 10 10 (2 3 ) 3 10! − x ⋅ ；(D) 10 10 (2 3 ) 3 9! − x − ⋅ 。 【解】答案为(D)。只须注意到(-1)的次数（19 次）、阶乘的结果及 3 的方幂即可。 3.5 复合函数求导法则与微分法 定理 3.2 如果u = ϕ(x) 在点 x 处有导数 (x); y f (u) dx du = ϕ′ = 在对应点u(u = ϕ(x)) 处也有 导数 f (u) du dy = ′ ，则复合函数 y = f [ϕ(x)]在点 x 处也有导数，且 dx du du dy dx dy = 或 { f [ϕ(x)]}′ = f ′(u)⋅ϕ′(x) 例3.14 x y a 1 arctan = 与 ln( 1) 2 y = x + x + 的导数。 【解】 ( ) 1 1 ( ) ln 2 2 1 arctan 1 arctan − − − + ′ = x x a a a x x x a x a 1 arctan 2 1 ln + = − 2 ) 2 1 1 (1 1 1 [ln( 1)] 2 2 2 x x x x x x + + + + + + ′ = 1 1 2 + = x 例 3.15 求函数 ( 0)的导数。 sin y = x x > x 【解】(方法 1) 这类函数叫做幂指函数。首先两边取对数，得隐函数 ln y = sin x ln x 。 再由隐函数求导法得 x x y x x y sin cos ln 1 ′ = + ，从而 ] sin [cos ln sin x x y x x x x ′ = + 。 这种先取对数再求导的方法叫做取对数求导法。除适用于幂指函数 外，对含有 多个因式相乘除或带乘方、开方的函数也适用。 ( ) ( ) v x y = u x 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 9 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 (方法2)将幂指函数改写为y=xx=e后,再用复合函数求导法则及乘法公式 例316(2004-402)设= arctan-h,/e 则 e-+ 【解】将函数表达式改写为 J=arctane-x+aIn(e+1),guyItexx-1terx 在复合函数求导计算时,需要引入中间变量,把函数分解成一串已知导数的函数,再用复 合函数求导法则,最后要把引入的中间变量用自变量的函数誊代。当熟练地掌握了复合函数的 分解和求导法则后,可以不引入中间变量记号,只要作到心中有数,分解一层,求导一次,直 到最终自变量为止。 复合函数的微分法则(阶微分形式不变性)。 设y=f(u)可微,当l为自变量时,y=f(u)的徽分dy=f'(a)d 当为中间变量,u是变量x的可徽函数l=q(x)时,则y=∫[q(x)的微分 dy={/[q(x)}dx=f'(u)p'(x)dx=f'(u)da可见,无论是自变量还是中间变量 函数y=f(u)的微分形式不变 3.5隐函数求导法与微分法 若y=y(x)由一个隐函数方程F(x,y)=0确定,则可视为F(x,y(x)=0,直接利用复合 函数求导法则进行求导数运算,解出y即可。 下面举例说明求隐函数的二阶导数的方法。 例317设x2+xy+y2=4,求y 【解】设想把x2+xy+y2=4所确定的函数y=y(x)代入方程,则得恒等式 x2+xy(x)+y2(x)=4 方程两边关于x求导得2x+y+xy+2yy=0, 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 10网址:www.tsinghuatutorcom电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 (方法 2) 将幂指函数改写为 后，再用复合函数求导法则及乘法公式。 x x x y x e sin sin ln = = 例 3.16（2004-4-02）设 1 arctan ln 2 2 + = − x x x e e y e ，则 1 1 2 1 + − = = e e dx dy x 。 【解】将函数表达式改写为 ln( 1) 2 1 arctan 2 = − + + x x y e x e ，则 1 1 1 2 2 2 + − + + ′ = x x x x e e e e y ， 1 1 1 2 2 2 1 + − + + = = e e e e dx dy x 1 1 2 + − = e e 。 在复合函数求导计算时，需要引入中间变量，把函数分解成一串已知导数的函数，再用复 合函数求导法则，最后要把引入的中间变量用自变量的函数替代。当熟练地掌握了复合函数的 分解和求导法则后，可以不引入中间变量记号，只要作到心中有数，分解一层，求导一次，直 到最终自变量为止。 复合函数的微分法则(一阶微分形式不变性)。 设 y = f (u) 可微，当u 为自变量时， y = f (u) 的微分 dy = f ′(u)du 。 当u 为中间变量，u 是变量 x 的可微函数u = ϕ(x) 时，则 y = f [ϕ(x)]的微分 dy = { f [ϕ(x)]}′dx = f ′(u)ϕ′(x)dx = f ′(u)du 可见，无论u 是自变量还是中间变量， 函数 y = f (u) 的微分形式不变。 3.5 隐函数求导法与微分法 若 y = y(x)由一个隐函数方程 F(x, y) = 0 确定，则可视为 ，直接利用复合 函数求导法则进行求导数运算，解出 F(x, y(x)) ≡ 0 x y′ 即可。 下面举例说明求隐函数的二阶导数的方法。 例 3.17 设 4，求 2 2 x + xy + y = y′′ 。 【解】 设 想 把 4 所 确 定的函 数 2 2 x + xy + y = y = y(x) 代 入 方程， 则 得恒等 式 ( ) ( ) 4 2 2 x + xy x + y x = 方程两边关于 x 求导得 2x + y + xy′ + 2yy′ = 0 ， 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 10 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
