2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 第7讲定积分的应用综合例题 7.1定积分应用的两种思想 定积分应用问题的特征 解决定积分应用问题的两种思路: 元素相加法:利用定积分定义一个量。 分小取近似 fsx 求和取极限:1=∑/(5)Ax=f(x 微元分析法:通过分析末知函数的增量求出其徽分的方法。 分小取微分:M≈dI=f(x)x 积分求增量:=f(x)x=F(b)-F(a) 7.2定积分在几何方面的应用 7.2.1平面区域的面积 直角坐标系中平面区域的面积D={(x,y)≤x≤b,(x)≤y≤g(x) A=Tg(x)-f(x)]x 注:若连续函数f(x)在区间ab上变号,则A=/(x)表示正负面积的代数和,有时 称为代数面积。 例71求y=与y=x+-围成的面积 【解】由2,解得交点a=-1,b=3。A=[x+÷-x 16 y=x+- 例72求非负常数a,使y=x-x2与y=ax所围封闭区域之面积为 【解当0<a<1时,(x-x2-am)d= a= <0(舍 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 第 7 讲 定积分的应用 综合例题 7. 1 定积分应用的两种思想 z 定积分应用问题的特征： z 解决定积分应用问题的两种思路： 元素相加法： 利用定积分定义一个量。 分小取近似: ( )i i ∆I ≈ f ξ ∆x ; 求和取极限: ∑ ∫ = ∆ = = → b a n i i i I lim f ( ) x f (x)dx 1 0 ξ λ 微元分析法: 通过分析末知函数的增量求出其微分的方法。 分小取微分: ∆I ≈ dI = f ( ) x dx ; 积分求增量: I f (x)dx F(b) F(a) . b a = = − ∫ 7. 2 定积分在几何方面的应用 7.2.1 平面区域的面积 直角坐标系中平面区域的面积 D = {(x, y) a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)} [ ] ∫ = − b a A g(x) f (x) dx 。 注：若连续函数 在区间 上变号，则 表示正负面积的代数和，有时 称为代数面积。 f (x) [a,b] ∫ = b a A f (x)dx 例 7.1 求 2 2 x y = 与 2 3 y = x + 围成的面积. 【解】 由 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + = 2 3 2 2 y x x y ，解得交点 a = −1,b = 3 。 3 16 2 2 3 3 1 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + − ∫− dx x A x 。 例 7.2 求非负常数 a ，使 与2 y = x − x y = ax 所围封闭区域之面积为 4 9 。 【解】 当0 < a <1时， 4 9 ( ) 1 0 2 − − = ∫ −a x x ax dx ， 0 2 3 1 3 a = − < （舍） 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 1 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 当a21时,」(x-x2-ax9 1+ 2.参数方程下区域的面积 设区域的边界由曲线 L:{=0)(≤4s确定,其中0)0连续可号,02,则区域的面积 y=y(1) 为A=y()x()d。 例73求椭圆+=1围的区域的面积 【解】解法一第一象限部分的边界为 0≤x≤3, A=4 x dx=242 cos tdt=6T 解法二椭圆。+个4=1的参数方程为 x=3cost,y=2sint,0≤t≤ A=4yt=4(d(0=423n(-3=6r 3极坐标系下区域的面积 设区域D为(x= p cos p,y= psin),D=(x,y)≤g≤B0≤p≤p()} 则其面积为A=nlp(k 例74求心形线r=a(1+cosq)(a>0)所围的面积 解】4=1"r(oMe=r(oko 4a cos'ydo=8a2cos* tdr 例75已知曲线y=a√x(a>0)与曲线y=ln√x在点(x,y)处有公切线。 (1)求常数a及切点之坐标值 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 2www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 当 a ≥1时， 4 9 ( ) 0 1 2 − − = ∫ −a x x ax dx ， 3 2 3 a =1+ . 2. 参数方程下区域的面积 设区域的边界由曲线 ( ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = = α t β y y t x x t L ( ) ( ) : )确定, 其中 连续可导, , 则区域的面积 为 。 x(t), y(t) y(t) ≥ 0 ∫ = ′ β α A y(t)x (t)dt 例 7.3 求椭圆 1 9 4 2 2 + = x y 围的区域的面积. 【解】解法一 第一象限部分的边界为 9 , 0 3 3 2 2 y = − x ≤ x ≤ , π π 9 24 cos 6 3 2 4 2 0 2 1 0 2 = − = = ∫ ∫ A x dx tdt 。 解法二 椭圆 1 9 4 2 2 + = x y 的参数方程为 4 3cos , 2sin , 0 π x = t y = t ≤ t ≤ ， ∫ ∫ = = 0 2 3 0 4 4 ( ) ( ) π A ydx y t dx t 4 π 2sin ( 3sin ) 6π 0 2 = − = ∫ t t dt 3.极坐标系下区域的面积 设区域 D 为（ x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ ）， D = {(x, y)α ≤ϕ ≤ β,0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ)}， 则其面积为 ( ) ∫ = β α A ρ ϕ dϕ 2 2 1 。 例 7.4 求心形线 r = a(1+ cosϕ) (a > 0)所围的面积. 【解】 ( ) ∫ ∫ = = π π ϕ ϕ ϕ ϕ 0 2 2 0 2 ( ) 2 1 A r d r d 2 2 0 2 4 0 2 4 2 3 8 cos 2 4a cos dϕ a tdt πa ϕ π π = = = ∫ ∫ 。 例 7.5 已知曲线 y = a x （ a > 0）与曲线 y = ln x 在点( , ) 处有公切线。 0 0 x y (1)求常数 a 及切点之坐标值 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 2 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 (2)求上述二曲线与x轴所围图形的面积 【解】(1)由a /x=ln√x,解得a=e,切点为(e,1) 2 2 (2)面积为A=a√xdx-.ln√xdx=2e2-e2 7.12旋转体的体积 1.绕x轴旋转生成的旋转体的体积(小圆台法) 平面区域 D=(x,y)a≤x≤b0≤y≤f(x)绕x轴旋转生成的旋转体的体积为 V:=r/(x)dr 2.绕y轴旋转生成的旋转体的体积(薄壁筒法)平面区域 D={x,y)asx≤b,0≤y≤f( 绕y轴旋转生成的旋转体的体积为V,=2af(x) 例.6求由曲线y=√2-x2,y=√x及y轴所围平面区域绕x轴及绕y轴旋转生成的旋 转体的体积 【解】F1=x2-x)-=x, -2(-x2-k=202-2 例77设常数0<a<1,直线y=ax与抛物线y=x所围成图形的面积为A,他们与宜 线x=1所围成的图形面积为A (1)试确定a的值,使A1+A2达到最小,并求出最小值 (2)求该最小值所对应的图形绕x轴旋转一周所生成旋转体的体积。 【解】(1)4=(ax-x2)=a A=∫(x-axkh 326 A=A+42=1a-1 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 3www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 (2)求上述二曲线与 x 轴所围图形的面积 【解】（1）由 0 2 0 1 2 1 x x a = ， 0 0 a x = ln x ，解得 ，切点为（ ） −1 a = e ,12 e (2) 面积为 A a xdx xdx e e ∫ ∫ = − 2 2 0 1 ln 2 1 2 1 3 2 2 2 = e − e − 2 1 6 1 2 = e − 。 7.1.2 旋转体的体积 1.绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法） 平面区域 D = {(x, y) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x)}绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积为 ∫ = b a x V f (x)dx 2 π 2. 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积（薄壁筒法） 平面区域 D = { } (x, y) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f (x) 绕 y 轴旋转生成的旋转体的体积为 ∫ = b a y V 2πx f (x)dx 例 7.6 求由曲线 y = 2 − x , y = x 2 及 轴所围平面区域绕 轴及绕 轴旋转生成的旋 转体的体积. y x y 【解】 π [ ] π 6 7 (2 ) 1 0 2 = − − = ∫ V x x dx x ， π ( ) π 15 20 2 22 2 2 1 0 2 − = − − = ∫ V x x dx y 例 7.7 设常数0 < a <1，直线 y = ax 与抛物线 所围成图形的面积为 ，他们与直 线 所围成的图形面积为 。 2 y = x A1 x =1 A2 （1） 试确定 a 的值，使 达到最小，并求出最小值； A1 + A2 （2） 求该最小值所对应的图形绕 x 轴旋转一周所生成旋转体的体积。 【解】（1） A ax x dx = a ∫ = − 0 2 1 ( ) 3 6 1 a ， 3 1 2 2 6 1 3 2 1 ( ) a a A x ax dx a = − = − + ∫ 3 1 2 1 3 1 3 A = A1 + A2 = a − a + , 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 3 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 A=a 0,当 时 A取到最小值A()= (2)用小圆台法 z(=)2-(x2)x-=z(x2)2-(=)x 例7.8求曲线y=lnx,(2≤x≤6)上的一条切线,使该切线与直线x=2,x=6所围成平 面图形面积最小。 【解】求曲线段y=lnx,(2≤x≤6)的一条切线,使该切线与直线x=2,x=6及此曲线段 所围平面图形的面积最小。 【解】设切点为x,则切线方程为y=-(x-x)+lnx,该切线与直线 x=2,x=6所围成平面图形面积为 S(o)=L[lno+-(x-xo)-Inx]dx =4In x +--6In 6+2In 2 由S(x0)=0,得x0=4。又有 S(2)=4ln2+8-6ln6+2ln2, S(x0)=8ln2+4-6ln6+2ln2, S(6)=4ln6+x-6ln6+2ln2, 所以S(x0)最小,故所求切线方程为y=ln4+:(x-4) 例79过点(10)作曲线y=√x-2的切线,该切线与上述曲线及x轴围成一平面图形A。 (1)求A的面积; (2)求A绕x轴旋转一周所成旋转体体积。 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 4www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 2 2 1 A′ = a − ， A′′ = 2a > 0 ，当 2 1 a = 时， A 取到最小值 6 2 3 1 ) 2 1 A( = − 。 （2） 用小圆台法 ∫ ∫ − − − 1 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ) ] 2 ) ( ) ] [( ) ( 2 [( dx x x dx x x π π π 30 2 +1 = 。 例 7.8 求曲线 y = ln x, (2 ≤ x ≤ 6) 上的一条切线，使该切线与直线 x = 2, x = 6 所围成平 面图形面积最小。 【解】求曲线段 y = ln x, (2 ≤ x ≤ 6) 的一条切线，使该切线与直线 x = 2, x = 6 及此曲线段 所围平面图形的面积最小。 【解】设切点为 x0 ，则切线方程为 0 0 0 ( ) ln 1 x x x x y = − + ，该切线与直线 x = 2, x = 6 所围成平面图形面积为 ∫ = + − − 6 2 0 0 0 0 ( ) ln ] 1 ( ) [ln x x x dx x S x x 6ln 6 2ln 2 16 4ln 0 = 0 + − + x x 由 ( ) 0 ，得 。 又有 S′ x0 = x0 = 4 6ln 6 2 ln 2, 3 8 (6) 4 ln 6 ( ) 8ln 2 4 6ln 6 2 ln 2, (2) 4 ln 2 8 6ln 6 2 ln 2, 0 = + − + = + − + = + − + S S x S 所以 ( ) 最小，故所求切线方程为 0 S x ( 4) 4 1 y = ln 4 + x − . 例 7.9 过点(1,0)作曲线 y = x − 2 的切线，该切线与上述曲线及 x 轴围成一平面图形 A 。 （1）求 A 的面积； （2）求 A 绕 x 轴旋转一周所成旋转体体积。 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 4 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 解】(1)设切点坐标为(n,),则在此点的切线斜率y1-2x-2 在此点的切线方程为 =(x-x)+√x 把点(10)代入上式得x0=3,切线方程为y=(x-1), 则=「(y2+2)-(2y+1)khy (2)V1=x[(x-1)2ax-z,(x-2)ax 丌 6 7.1.3光滑曲线的弧长 直角坐标系中的光滑曲线y=f(x)a≤x≤b的弧长为=-[V+(x 2.参数方程下 x=X(0y=y(,a≤1≤的弧长为=八(++v(jd 极坐标系下光滑曲线p=p()a≤g≤B的弧长为/=Vp()++o()4 例7.10求心形线r=a(1+cosq)(a>0)的弧长 【解】=f0+c)+(-sn)do=d2+2s9dm 2al 2 cos dp=8a costdt =8a 7.14旋转体的侧面积 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 5www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 【解】（1）设切点坐标为(x0 , y0 ) ，则在此点的切线斜率为 2 2 1 0 0 − ′ = = x y x x 在此点的切线方程为 ( ) 2 2 2 1 0 0 0 − + − − = x x x x y 把点(1,0)代入上式得 x0 = 3，切线方程为 ( 1) 2 1 y = x − ， 则 3 1 [( 2) (2 1)] 1 0 2 = + − + = ∫ A y y dy （2）V x dx x dx x 2 3 2 2 3 1 ( 1)] ( 2) 2 1 [ ∫ ∫ = π − −π − π π π 6 1 2 1 3 2 = − = 7.1.3 光滑曲线的弧长 1. 直角坐标系中的光滑曲线 y = f (x), a ≤ x ≤ b 的弧长为 [ ] ∫ = + ′ b a l f x dx 2 1 ( ) 。 2. 参数方程下 x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β 的弧长为 [ ] [ ] ∫ = ′ + + ′ β α l x t y t dt 2 2 ( ) ( ) 。 3. 极坐标系下光滑曲线 ρ = ρ( ) ϕ , α ≤ϕ ≤ β 的弧长为 ( ) [ ] ∫ = + + ′ β α l ρ ϕ ρ ϕ dϕ 2 2 ( ) 。 例 7.10 求心形线 r = a(1+ cosϕ) (a > 0)的弧长. 【解】 ( ) ( ) ∫ = + + − π ϕ ϕ ϕ 2 0 2 2 l a 1 cos sin d ∫− = + π π a 2 2cosϕdϕ a d 8a costdt 8a 2 2 2 cos 2 0 0 = = = ∫ ∫ π π ϕ ϕ 。 7.1.4 旋转体的侧面积 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 5 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 1.直角坐标系中曲线y=f(x),a≤x≤b绕X轴旋转生成的旋转体的侧面积为 A=2rr(x1+[(Fdr 2.参数方程下曲线x=x(1),y=y(),a≤t≤β绕x轴旋转成的侧面积为 A=2rPyOVIoF+D(Fdr 例7.11设有曲 线y=√ 过原点作其切 线,求此曲线 (2,1) 切线及x轴为成 的平面区域绕x 轴旋转一周所得 y=vx-1 到的旋转体表面积 【解】可以求得 切线为y2,切 点为(21) 旋转体表面积由两部分组成 由曲线绕x轴旋转一周所 得到的旋转体表面积为4=2xy+y=r∫√4x-3d=65-1 由切线绕x轴旋转一周所得到的旋转体表面积为 42=2n 所以旋转体表面积A=4+4=z1√5-1) 例7.12设外旋轮线的方程为 x=a(t-sinn) y=a(-cost)oSt0) (1)求它绕x轴旋转一周生成的体积与侧面积 (2)求它绕y轴旋转一周生成的体积与侧面积 【解】(1)体积为 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 1. 直角坐标系中曲线 y = f (x), a ≤ x ≤ b 绕 x 轴旋转生成的旋转体的侧面积为 [ ] ∫ = + ′ b a A f x f x dx 2 2π ( ) 1 ( ) 。 2. 参数方程下曲线 x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β 绕 x 轴旋转成的侧面积为 [ ] [ ] ∫ = ′ + + ′ β α A π y t x t y t dt 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 。 例 7. 11 设有曲 线 y = x −1 , 过原点作其切 线, 求此曲线, 切线及 x 轴为成 的平面区域绕 x 轴旋转一周所得 到的旋转体表面积. 【解】 可以求得 切线为 y x 2 1 = , 切 点为(2,1). 旋转体表面积由两部分组成: 由曲线绕 x 轴旋转一周所 得到的旋转体表面积为 ∫ = + ′ 2 1 2 1 A 2π y 1 y dx (5 5 1) 6 4 3 2 1 = − = − ∫ π π x dx 。 由切线绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体表面积为 π 5π 2 5 2 1 2 2 0 2 = = ∫ A x dx 所以旋转体表面积 (11 5 1) 6 = 1 + 2 = − π A A A 。 例 7. 12 设外旋轮线的方程为 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ > = − = − (0 2 , 0) (1 cos ) ( sin ) t a y a t x a t t π ， （1）求它绕 x 轴旋转一周生成的体积与侧面积； （2）求它绕 y 轴旋转一周生成的体积与侧面积。 【解】（1）体积为 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 6 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 a(1-cost)a(1-cost )dt=ra(1-3 cost+3cost-cos't)dt 侧面积为 2r0oyVex (2)绕y轴旋转体积与侧面积分别为 体积 (t-sint)asin tdt=6x'a 侧面积:27x√(x)2+(y)d=27a(-m02-21r7d 7.2定积分的物理应用 1.平面图形的形心 设∫(x),g(x)在区间[a,b]上可积,则平面图形 D=(x,y)≤x≤b,f(x)≤y≤g(x)的形心为 g()-(xk1(x)-f()k [8(x)-f(x)]dx [8(x) f(x)] 例7.13求半径为R的半圆板的形心 【解】设半圆板的圆心在原点,由对称性, R2-x2) x=0 R 例7.14假设区域D由曲线 y=px3(y>0,P>0)及其过点(p)的切线与x轴围成,设此区域的形心为(X,Y), (1)求X的值 (2)求尸的值,使D绕y轴旋转一周而生成的旋转体体积为 135 【解】(1) 3 P 切线为y=p+3p(x-1)与x轴交点为(230, 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 7www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ∫ − − π π 2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt ∫ = − + − π π 2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cost cos t)dt = 。 2 3 5π a 侧面积为 ∫ + π π 0 2 2 2 y (x') ( y') dt ∫ = + π π 0 2 2 2 y (x') ( y') dt ＝ dt t a∫ π π 2 0 3 2 8 sin ) 2 ) (cos 2 16 (1 cos 2 0 2 t d t a∫ = − − π π = 2 3 64 πa （2）绕 y 轴旋转体积与侧面积分别为 体积： = ， ∫ − π π 2 0 2 2 a (t sin t) asin tdt 3 3 6π a 侧面积： ∫ + π π 0 2 2 2 x (x') ( y') dt = ∫ − − π π 0 2 a(t sin t) 2 2costdt = 2 2 16π a 7.2 定积分的物理应用 1. 平面图形的形心 设 f (x), g(x) 在区间[a,b]上可积, 则平面图形 D = { } (x, y) a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x) 的形心为 [ ] [ ] ∫ ∫ − − = b a b a g x f x dx x g x f x dx x ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ∫ ∫ − − = b a b a g x f x dx g x f x dx y ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 例 7. 13 求半径为 R 的半圆板的形心. 【解】 设半圆板的圆心在原点, 由对称性, x = 0 . R R R x dx y R R π π 3 4 2 1 ( ) 2 1 2 2 2 = − = ∫− . 例 7. 14 假设区域 D 由曲线 ( 0, 0) 3 y = px y > P > 及其过点(1, p) 的切线与 x 轴围成，设此区域的形心为(X ,Y ) ， （1）求 X 的值； （2）求 p 的值，使 D 绕 y 轴旋转一周而生成的旋转体体积为 π 135 7 Vy = 。 【解】（1） y px p x x 3 3 1 2 1 ′ = = = = ， 切线为 y = p + 3p(x −1) 。与 x 轴交点为 ,0) 3 (2 , 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 7 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 A M4=x-DP+3x=)在 8 DX p-(1 +-)P 2 P X 13545 (2)y=3m3p-(3)2-xJDx .3p~3 丌1·3p-()2·2p]--p 5135xp 1352D=,得到P2 令 或:由古耳金定理得到V=2xXA=284135W,p 13512 2.压力问题 同一深度的各方向的压强相等,小微元的压力微元为4=shdA, 其中h为该小微元离液面的高度,g为重力加速度,dA为该小微元的面积积分可得压力 例7.15将半圆形平板闸门垂直放入水中,直径与水平面重合,水的密度为本1求闸门受的 压力 解】以水平面为y轴,垂直向下为 x轴建立坐标系, 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 A px dx p p 12 1 6 1 1 0 3 = − = ∫ ， M px xdx p p x xdx y [ 3 ( 1)] 1 3 2 1 0 3 ∫ ∫ = ⋅ − + − p px px dx ∫ = − − 1 3 2 2 (3 2 ) 5 1 p p p 135 7 ) 9 4 1 27 8 (1 5 1 = − − − + = 45 28 135 84 X = = 。 （2） dy p y V p p p y ∫ = − ⋅ − 0 3 2 3 2 1 2 ) 2 ] 3 2 [1 3 ( 3 1 π π dy p y p p p ∫ = ⋅ − ⋅ − 0 3 2 3 2 1 2 ) 2 ] 3 2 [1 3 ( 3 1 π π p p p 5 3 ) 2 ] 3 2 [1 3 ( 3 1 1 2 π = π ⋅ − ⋅ − π p 135 14 = 令 π π 135 7 135 14 p = ，得到 2 1 p = 。 或：由古耳金定理得到Vy XA p 12 1 135 84 = 2π = 2π ⋅ 2 1 , 135 7 135 14 = π p = π p = 。 2. 压力问题 同一深度的各方向的压强相等, 小微元的压力微元为 dp = gh ⋅ dA ， 其中 h 为该小微元离液面的高度, g 为重力加速度，dA 为该小微元的面积.积分可得压力. 例7.15 将半圆形平板闸门垂直放入水中, 直径与水平面重合,水的密度为本1,求闸门受的 压力. 【 解】 以水平面为 y 轴, 垂直向下为 x 轴建立坐标系, 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 8 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 d=2x√R2-x2dx,其中R为半径 压力p=2NR= 2.引力问题 例7.16有一长为L、质量均匀分布、总质量为M的细杆,在沿杆所在的直线上,离其 端O相距为a的P处,放有一质量为m的质点,求杆对质点的引力 P 解杆的教元x,共,的明方动为小=a+am 杆对质点的引力 d x=gmM 3.变力作功 两个关键量的表达:(1)导致作功的力,(2)导致作功的有效路程 例7.17将一半径为R的圆球压入水中,使球体刚好与水平面相切,求克服水的浮力作的 功(设水的密度为1) 【解】平面曲线为x2+(y-R)2=R2 y 取厚度为△y的水平薄片,其受水的浮力微元为dF=x2dy,导致 作功的有效行程为(2R-y),因此功的微元(元功)为 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 dp x R x dx 2 2 = 2 − , 其中 R 为半径. 压力 3 0 2 2 3 2 p 2x R x dx R R = − = ∫ 2. 引力问题 例 7. 16 有一长为 L 、质量均匀分布、总质量为 M 的细杆, 在沿杆所在的直线上, 离其 一端O相距为 a 的 P 处，放有一质量为 m 的质点, 求杆对质点的引力. 【解】 取杆的微元[x, x + dx], 其对 P 点的引力微元为 dx L M l a x m dF g ⋅ + − = 2 ( ) 杆对质点的引力 O L P ( ) ( ) 0 2 a l a gmM dx L M l a x m F g L + ⋅ = + − = ∫ 3. 变力作功 两个关键量的表达：（1）导致作功的力，（2）导致作功的有效路程 例 7. 17 将一半径为 R 的圆球压入水中, 使球体刚好与水平面相切, 求克服水的浮力作的 功(设水的密度为 1). 【解】平面曲线为 x + ( y − R) = R ， 取厚度为 的水平薄片, 其受水的浮力微元为 , 导致 作功的有效行程为 ，因此功的微元（元功）为 2 2 2 2R y O ∆y dF x dy 2 = π (2R − y) 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 9 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 =xx2(2R-y)d,所作功为 [2-(y-R]2R-y)h=4xR2(公斤米) 例718一圆锥形油罐高10m,上方开口直径为10m,油面高度为8m,油的密度为480kg/m3, 问将罐内的油全部抽出至罐外需作多少功。 【解】建立坐标如图,圆锥侧母线为y=2x,沿y轴方向将圆锥分割成小圆台,体积微元 为d=y2d 质量微元为dm=480.(2|d,导致作功的有效行程为(0-y)米, 因此功的微元(元功)为dh=48010-y)xd, 所作功为w=480(10-y)x2d 1207J(102-y)=81927(kgm) 7.3定积分综合问题 例719求由x2+y2≤2x与y≥x确定平面图形绕直线x=2旋转而成的旋转体体积V 【解】(方法1)记x=1-1 谭泽光刘坤林编水木艾迪考研培训网 10www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 dW x (2R y)dy 2 = π − , 所作功为 [ ] 4 2 0 2 2 3 4 W R ( y R) (2R y)dy R R = π − − − = π ∫ （公斤米）。 例7.18 一圆锥形油罐高10m，上方开口直径为10m,油面高度为8m，油的密度为480kg/ , 问将罐内的油全部抽出至罐外需作多少功。 3 m 【解】建立坐标如图，圆锥侧母线为 y = 2x ，沿 轴方向将圆锥分割成小圆台，体积微元 为 y dv y dy 2 2 π = ， 质量微元为 dy y dm 2 2 480 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅π ，导致作功的有效行程为(10 − y)米， 因此功的微元（元功）为 dy y dw y 2 4 = 480(10 − )π ， 所作功为 dy y w y ∫ = − 8 0 2 4 480(10 )π 120 (10 ) 8192 ( ) 8 0 2 3 = π ∫ y − y dy = π kgm 。 7.3 定积分综合问题 例 7.19 求由 x y 2x 与 2 2 + ≤ y ≥ x确定平面图形绕直线 x = 2 旋转而成的旋转体体积V 。 【解】（方法法 1）记 x = − − y x = y 2 2 1 1 1 , ， 谭泽光 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 10 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805