2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 基础班微积分第1章 预备知识函数概念数列极限 1.1预备知识 1.1.1实数集的性质 实数连续性的描述:确界公理 任何有界实数集合,必有最小上界和最小下界;但不一定有最大数或最小数 1.1.2绝对值 y=x是一种函数表达形式,对任意实数x有 x=0,或记为y=|x 0 x x≥0 x>0 对任意实数x与a≥0有:xsa asx≤a,并且,若a=0 则必有x=0。而x≥asx≥a或≤- 1.1.3基本不等式 (1)绝对值不等式:x,y∈R有-≤x≤0≤x+x≤2且 y2≤(x+少或√x2+y2s+py (2)三角不等式:x,y∈R,有x+ysx+川且|x≥|x-例 (3)平均值不等式:x,y∈R,有(x2+y2)≥x 若x≥0,y≥0,则有(x+y)≥√x 例如x,y∈R,可证明:√x2+y2≤+≤√2x2+y2) x +y=vx2+y2+2xy b>1→bb 数:3)对n>m即k>0有"1+na,m为正整 nn+k 刘坤林编水木艾迪考研培训网 网:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 基础班微积分第 1 章 预备知识 函数概念 数列极限 1.1 预备知识 1.1.1 实数集的性质 实数连续性的描述: 确界公理 任何有界实数集合，必有最小上界和最小下界；但不一定有最大数或最小数。 1.1.2 绝对值 y = x 是一种函数表达形式，对任意实数 x 有 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = − > ⇒ > a b a b a b ; 2) a ( a) n a n n ≥ −1⇒ 1+ > 1+ , 为正整 数；3）对n > m 即k > 0 有 n k m k n m + + < 。 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：1 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 对以上不等式在应用中都应广义化,例如 vx,y∈R,有i(x+y)-cosx-y)sin(x+y)+os(x-y) 因为sin(x+y)与cos(x-y)均为实数,由不等式(4)即有本题不等式 又如x,y∈R可证明:√x2+y2≤s+计≤y2(x2 因为 x2+y2+2y≤√2(x2+y2),所以得到 ≤ 1.1.4邻域与区间 定义L.1邻域数轴上的点x的8邻域是指点集N(x0,6)={x|x-x0}。 邻域内的点是由不等式x-80 去心邻域与邻域的区别仅在于不包括x点 区间:开区间(a,6)={a,x∈R}与a+∞)={k≥ax∈R} (-0+∞)={x∈R},与(a,b)={x<b,x∈时},(a+o={xsb,x∈r} 1.2函数 函数关系与函数的初等性质对学习数学是重要的基础。函数关系表达了变量之间某种特 定的依赖关系,有时可以看作变量之间的对应关系 定义1.2对实数集X中的任意x,按某一确定的规则,若有唯一确定的实数值y与之对 应,则称y是x的函数,记为y=∫(x) 这里,重要的是函数关系∫(),而记号x(自变量)与y(因变量)是人为取定的。实 数集X应视为使函数关系∫()有意义的全体实数构成的集合,称为∫()的定义域;而对 切由∫()确定的全体实数构成的集合Y,则称之为∫()的值域。函数关系∫()有时也记 为∫:X→Y,XgR,或∫:X→R,XcR 在微积分这门课程里,对一个函数的表达,除了用代数表达式及图表以外,还会有许多 重要的表达方式,比如,一个函数关系可以由方程(隐函数)、(含参数)极限、微分方程 刘坤林编水木艾迪考研培训网 网:www.tsinghuatutorcom电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 对以上不等式在应用中都应广义化，例如 ∀x, y ∈ R ，有 sin(x + y) − cos(x − y) ≤ sin(x + y) + cos(x − y) 。 因为sin(x + y)与cos(x - y) 均为实数，由不等式（4）即有本题不等式。 又如∀x, y ∈ R 可证明： 2( ) 2 2 2 2 x + y ≤ x + y ≤ x + y 。 因为 2 2( ) 2 2 2 2 x + y = x + y + xy ≤ x + y ，所以得到 2( ) 2 2 2 2 x + y ≤ x + y ≤ x + y 1.1.4 邻域与区间 定义 1. 1 邻域 数轴上的点 x0 的δ 邻域是指点集 ( , ) { , 0} N x0 δ = x x − x0 。 邻域内的点是由不等式 − δ 。 去心邻域与邻域的区别仅在于不包括 点。 x0 区间:开区间(a, b) = { } x a a, x ∈ R 与 [a,+∞) = {x x ≥ a, x ∈ R}， (−∞,+∞) = { } x x∈ R ，与(−∞,b) = {x x < b, x ∈ R}，(a,+∞] = {x x ≤ b, x ∈ R}, 1．2 函数 函数关系与函数的初等性质对学习数学是重要的基础。函数关系表达了变量之间某种特 定的依赖关系，有时可以看作变量之间的对应关系。 定义 1.2 对实数集 X 中的任意 x ，按某一确定的规则，若有唯一确定的实数值 y 与之对 应，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f ( x) 。 这里，重要的是函数关系 f (⋅) ，而记号 x（自变量）与 y （因变量）是人为取定的。实 数集 X 应视为使函数关系 f (⋅) 有意义的全体实数构成的集合，称为 f (⋅) 的定义域；而对一 切由 f (⋅) 确定的全体实数构成的集合Y ，则称之为 f (⋅) 的值域。函数关系 有时也记 为 ，或 。 f (⋅) f : X → Y , X ⊆ R f : X → R, X ⊆ R 在微积分这门课程里，对一个函数的表达，除了用代数表达式及图表以外，还会有许多 重要的表达方式，比如，一个函数关系可以由方程（隐函数）、（含参数）极限、微分方程、 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：2 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 积分、级数等手段来表达 1.2.1函数的初等性质 掌握函数的初等性质对微积分的学习至关重要。函数的初等性质包括以下几个方面 (1)增减性(单调性) 定义1.3设函数y=∫(x)定义域为X,若Ⅵx1,x2∈X,当x1<x2时有 ∫(x1)≤∫(x2),则称y=∫(x)在X上为增函数(非严格),而当x1<x2时有 f(x1)<∫(x2),则称y=∫(x)在X上为严格单调增函数。 类似可给出单凋减函数的定义 判断增减性的初等常用方法是减法,当函数在定义域上取得定号(取值不改变正负号) 时,也可用除法判断增减性。当然,用导数研究函数的增减性将是一类重要方法。 )奇偶性 定义1.4设函数y=∫(x)在对称的定义域内满足∫(-x)=∫(x),则称y=∫(x)为偶函 数。而当函数y=f(x)在对称的定义域内满足∫(-x)=-f(x)时,则称y=f(x)为奇函 数 广义奇偶性(偶对称与奇对称) 若y=f(x)的图形有对称轴x=a,则应有f(a-x)=∫(a+x)(将视为参数) 令g(x)=∫(a-x),则有g(-x)=∫(a+x)=f(a-x)=g(x),因此g(x)为偶函数 并且有∫(x)=f(2a-x)。 若y=f(x)的图形有对称中心(a,0),则应有f(a-x)=-f(a+x)(将视为参数), 令g(x)=∫(a-x),则有g(-x)=f(a+x)=-f(a-x)=-g(x) 因此g(x)为奇函数。并且有f(x)=-f(2a-x) 以上这种性质称为函数∫(x)的广义奇偶性或对称性 (3)周期性 定义1.5若存在一个正数T,使函数y=∫(x)在定义域内满足∫(X+T)=∫(x),则称 y=∫(x)为周期函数。这里的正数T对一个周期函数来说不是唯一的(事实上有无穷多) 般情况下,称其中最小正数称为周期 (4)有界性 定义1.6设函数y=∫(x)在X上有定义,若存在一个正数M使得对任意x∈X有 ∫(x)sM,则称函数y=f(x)在X上有界 刘坤林编水木艾迪考研培训网 网量:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 积分、级数等手段来表达。 1.2.1 函数的初等性质 掌握函数的初等性质对微积分的学习至关重要。函数的初等性质包括以下几个方面。 (1) 增减性（单调性） 定义 1.3 设函数 y = f ( x) 定义域为 X ，若∀x1 , x2 ∈ X ，当 1 2 x < x 时有 ( ) ( ) 1 2 f x ≤ f x ，则称 y = f ( x) 在 X 上为增函数（非严格），而当 1 2 x < x 时有 ( ) ( ) 1 2 f x < f x ，则称 y = f ( x) 在 X 上为严格单调增函数。 类似可给出单凋减函数的定义。 判断增减性的初等常用方法是减法，当函数在定义域上取得定号（取值不改变正负号） 时，也可用除法判断增减性。当然，用导数研究函数的增减性将是一类重要方法。 (2) 奇偶性 定义 1.4 设函数 y = f (x) 在对称的定义域内满足 f (− x) = f ( x) ，则称 为偶函 数。而当函数 在对称的定义域内满足 y = f (x) y = f ( x) f (−x) = − f (x) 时，则称 为奇函 数。 y = f ( x) 广义奇偶性（偶对称与奇对称） 若 y = f (x)的图形有对称轴 x = a ，则应有 f (a − x) = f (a + x) （将视为参数）， 令 g( x) = f (a − x) ，则有 g(−x) = f (a + x) = f (a − x) = g( x) ，因此 为偶函数。 并且有 。 g( x) f (x) = f (2a − x) 若 y = f (x)的图形有对称中心(a, 0) ，则应有 f (a − x) = − f (a + x) （将视为参数）， 令 g( x) = f (a − x) ，则有 g(−x) = f (a + x) = − f (a − x) = −g(x)， 因此 g( x) 为奇函数。并且有 f (x) = − f (2a − x) 。 以上这种性质称为函数 f ( x) 的广义奇偶性或对称性。 (3) 周期性 定义 1.5 若存在一个正数T ，使函数 y = f (x) 在定义域内满足 f ( x + T) = f ( x) ，则称 为周期函数。 这里的正数T 对一个周期函数来说不是唯一的（事实上有无穷多）， 一般情况下，称其中最小正数称为周期。 y = f ( x) (4) 有界性 定义 1.6 设函数 y = f ( x) 在 X 上有定义，若存在一个正数 M 使得对任意 x ∈ X 有 f (x) ≤ M ，则称函数 y = f (x) 在 X 上有界。 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：3 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 对函数的有界性,后面还将给出其他情况下的一些描述。这类描述是重要的 1.2.2复合函数 函数的常见表达形式包括显函数表达式,隐函数表达式,以及参数表达式。其中核心 问题是复合函数的概念。复合函数实质上是一种链锁函数关系。 定义1.7设X,Y,UcR,复合函数关系是指 ∫:U→Y,即y=∫(u),g:X→U,即u=g(x) 这里称y=∫(g(x)为x的复合函数 般讲,=g(x)的值域为y=∫(u)定义域的一个非空子集,在特定情况下 l=g(x)的值域恰为y=∫(u)的定义域。 例1.1证明对任意实数x∈(0,),有sin(sinx)1>12。(0)l1=l2。(D)1>l2>1 x2’snx2cosx=1>1因此l0} 例如,园的方程x2+y2-1=0在圆周x2+y2=1上除去两点(-1,0)与(1,0)之外的 刘坤林编水木艾迪考研培训网 网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 对函数的有界性，后面还将给出其他情况下的一些描述。这类描述是重要的。 1.2.2 复合函数 函数的常见表达形式包括显函数表达式，隐函数表达式，以及参数表达式。其中核心 问题是复合函数的概念。复合函数实质上是一种链锁函数关系。 定义 1.7 设 X,Y ,U ⊂ R ，复合函数关系是指 f : U → Y ，即 y = f (u)， g : X → U ，即 u = g( x) 这里称 y = f (g( x)) 为 x 的复合函数。 一般讲， u = g( x) 的值域为 y = f (u) 定义域的一个非空子集，在特定情况下， u = g( x) 的值域恰为 y = f (u)的定义域。 例 1.1 证明对任意实数 ( , ) 2 0 π x ∈ ，有sin(sin x) 1 > I 2 。（C） 1 2 I = I 。（D） 1. I1 > I 2 > 【解】 当 ) 2 (0, π x ∈ ，sin x cos xdx = 1 > I ∫ π 。因此 1 2 I 例如，园的方程 1 0在圆周 上除去两点 2 2 x + y − = 1 2 2 x + y = (−1,0)与(1,0) 之外的 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：4 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 任意点的邻域内均可确定一个单值函数y=y(x),如在点(~-,)的某邻域内可以确定 22 √2 函数y=√1-x2,(x<1),而在点( )的某邻域内可以确定函数 <1)。 定义1.9设函数y=∫(x)定义域为X,值域为Y,若y∈Y存在一个函数g(y)使得有 唯一的点x∈X满足x=g(y),则称x=g(y)为y=∫(x)的反函数 注:(1)在某些场合,常把y=f(x)的反函数记为∫(x)或g(x),此时已重新把x视为 自变量。在反函数记号的使用中,一定要分清是否需要换变量记号 (2)互为反函数的两个函数曲线关于直线y=x对称。 (3)ν=∫(x)与其反函数g(x)的定义域与值域具有对偶性。即y=∫(x)的定义域必 为g(x)的值域,而y=f(x)的值域必为g(x)的定义域。 (4)f(x)与g(x)互为为反函数,且有∫(g(x))=x与g(f(x)=x 1.2.4参数表达的函数 定义1.9若对于参变量t∈T的每一个实数值都可由方程 x=x() t∈T ly=y(o 唯一确定点(x,y)与t∈T对应,则称该方程为实函数y=y(x)或x=x(y)的参数方程 参数方程确定的函数关系实质上一种隐函数关系,只是通过参变量t在变量x,y之间 建立了某种复合函数关系。即y=y(1(x),其中t=1(x)是x=x(1)的反函数。 例1.3建立函数y=x2的参数方程。 【解】求函数y=∫(x)的参数表达式,一般可视变量x为参数,此时便有非常简捷的结果 U=f(x)x∈X,其参数方程可取为」x=x x∈(∞,+o) 注:对参数方程,如果进一步满足1,2∈(,B)=T,11≠t2时,(x1,y1)≠(x2,y2) 则参数方程所确定的曲线不相交,此时称该曲线为简单曲线。显然,简单曲线可以是闭合的, 换言之,曲线的起点与终点相重合,简称为闭曲线 刘坤林编水木艾迪考研培训网 网垭:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 任意点的邻域内均可确定一个单值函数 y = y( x)，如在点( , ) 2 2 2 2 的某邻域内可以确定 函 数 1 , ( ) 2 y = − x x < 1 ，而在点 ( , ) 2 2 2 2 − 的某邻域内可 以确定函 数 1 , 1 ( ) 2 y = − − x x < 。 定义 1.9 设函数 y = f (x) 定义域为 X ，值域为Y ，若∀y ∈Y 存在一个函数 使得有 唯一的点 满足 ，则称 g( y) x ∈ X x = g( y) x = g( y) 为 y = f ( x) 的反函数。 注：（1）在某些场合，常把 的反函数记为 或 ，此时已重新把 视为 自变量。在反函数记号的使用中，一定要分清是否需要换变量记号。 y = f ( x) f (x) −1 g( x) x （2）互为反函数的两个函数曲线关于直线 y = x 对称。 （3） y = f ( x) 与其反函数 g( x) 的定义域与值域具有对偶性。即 y = f (x) 的定义域必 为 g( x) 的值域，而 y = f (x) 的值域必为 g( x) 的定义域。 （4） f (x) 与 g(x) 互为为反函数，且有 f (g(x)) = x 与 g( f (x)) = x 。 1.2.4 参数表达的函数 定义 1.9 若对于参变量 t ∈T 的每一个实数值都可由方程 t T y y t x x t ∈ ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) 唯一确定点(x, y)与 t ∈T 对应，则称该方程为实函数 y = y( x)或 x = x( y)的参数方程。 参数方程确定的函数关系实质上一种隐函数关系，只是通过参变量 t 在变量 x, y 之间 建立了某种复合函数关系。即 y = y(t(x)) ，其中t = t(x) 是 x = x(t) 的反函数。 例 1．3 建立函数 的参数方程。 2 y = x 【解】求函数 y = f ( x) 的参数表达式，一般可视变量 x 为参数，此时便有非常简捷的结果 x X ，其参数方程可取为 。 y f x x x ∈ ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ∈(−∞,+∞) ⎩ ⎨ ⎧ = = x y x x x 2 注：对参数方程，如果进一步满足 1 2 1 2 t ,t ∈ ( , ) = T, t ≠ t , α β 时， ， 则参数方程所确定的曲线不相交，此时称该曲线为简单曲线。显然，简单曲线可以是闭合的， 换言之，曲线的起点与终点相重合，简称为闭曲线。 ( , ) ( , ) 1 1 2 2 x y ≠ x y 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：5 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 例14求函数y= 的定义域 (x+1)1-e 【解】欲使该函数有意义,自变量必须满足 1-c2x>0且x≠-1,由此得定义域为x0 1+x0 1-x0)与x=3的极坐标方程。 刘坤林编水木艾迪考研培训网 网:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 例 1.4 求函数 x x e y 2 1 1 1 + − = ( ) 的定义域。 【解】欲使该函数有意义，自变量必须满足 1 0 2 − > x e 且 x ≠ −1，由此得定义域为 x − + x x ，即 ⎩ ⎨ ⎧ − > + > 1 0 1 0 x x 或 第二组不等式无解，第一组不等式的解为 ⎩ ⎨ ⎧ − x = 3的极坐标方程。 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：6 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 【解】将将直角坐标的极坐标式代入曲线方程(x-a)2+y2=a2(a>0),经化简可得 p=2 a cos y,(-≤q≤x) 注:事实上,由作图,利用三角函数可立即得到上述结果 读者可将曲线x2+y2-2ay=0(a>0)转化为极坐标方程p=2 a g,(0≤g≤x)。 又如x=3的极坐标方程p oS p 例18设∫(x)为连续函数,d(x)为正定偶函数,则f(y(x)为() (A)奇函数。(B)偶函数,但未必是定号函数。(C)正定偶函数。(D)不定 【解】答案为(B)。连续函数以偶函数为中间变量生成的复合函数仍为偶函数。 例1.10考察下列函数的奇偶性 ()(x)=lm(x+√x2+1);(2)y(x)=f(x) 其中f(x)为奇函数 2x+12 e +e (3)f(x) (奇) 【解】(1)f(-x)=ln(-x+√x2+1)=-lm(x+√x2+1)=-f(x),因此f(x)为奇 (2)只须考察g(x)= 2x+17的奇偶性 2-x+122x+1222x+1 y(x)为两个奇函数乘积,必为偶函数。 (3)显然有∫(-x)=-f(x),因此∫(x)为奇函数。 例1.11设f(x)为(-∞,∞)上的奇函数.已知∫(1)=a,Vx∈(-∞,∞)有 f(x+2)=f(x)+f(2 (1)求f(5) (2)若f(x)为周期函数,且周期T=2,求常数a 【解】(1)令x=3,∫(5)=∫(3)+f(2)。再令x=-1,得到∫(1)=f(-1)+f(2), 又因f(x)为奇函数,所以∫(2)=2f(1)=2a,f(3)=∫(1)+f(2)=3a,于是 刘坤林编水木艾迪考研培训网 Kftwww.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 【解】将将直角坐标的极坐标式代入曲线方程( 0 ) ( )，经化简可得 2 2 2 x − a + y = a a > ) 2 2 2 cos , ( π ϕ π ρ = a ϕ − ≤ ≤ . 注：事实上，由作图，利用三角函数可立即得到上述结果。 读者可将曲线 2 0 ( 0) 转化为极坐标方程 2 2 x + y − ay = a > ρ = 2a sinϕ, (0 ≤ ϕ ≤ π ) 。 又如 x = 3的极坐标方程 2 2 , cos 3 π ϕ π ϕ ρ = − < < 。 例 1.8 设 f (x) 为连续函数, φ(x) 为正定偶函数, 则 f (φ(x)) 为（ ）。 (A) 奇函数。(B) 偶函数, 但未必是定号函数。(C) 正定偶函数。 (D) 不定。 【解】答案为(B)。连续函数以偶函数为中间变量生成的复合函数仍为偶函数。 例 1.10 考察下列函数的奇偶性 (1) ( 1 ) ln( ) 2 f x = x + x + ;(2) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = 2 1 2 1 1 ( ) ( ) x y x f x ,其中 f (x) 为奇函数. (3) x x x x e e e e f x − − − + ( ) = ,(奇) 【解】（1） f (−x) = ln(−x + x + 1) = −ln( x + x + 1) = − f (x) 2 2 ，因此 为奇 函数。 f ( x) （2）只须考察 2 1 2 1 1 − + = x g(x) 的奇偶性。 g( x) g(x) x x x x = − + − = − + − = + − = − 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 ， y( x) 为两个奇函数乘积，必为偶函数。 （3） 显然有 f (− x) = − f ( x) ，因此 f ( x) 为奇函数。 例 1.11 设 f (x) 为(−∞,∞) 上的奇函数. 已知 f (1) = a,∀x ∈ (−∞,∞) 有 f ( 2 x + 2) = f (x) + f ( ) 。 (1) 求 f (5) ; (2) 若 f (x) 为周期函数,且周期T = 2 ,求常数a 。 【解】（1）令 x = 3， f ( 2 5) = f (3) + f ( ) 。再令 x = −1 ，得到 f ( 2 1) = f (−1) + f ( )， 又因 f ( x) 为奇函数，所以 f (2) = 2 f (1) = 2a ， f (3) = f (1) + f (2) = 3a ，于是 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：7 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 f(5)=3a+2a=5a. (2)若f(x)为周期函数,且周期T=2,则∫(3)=f(1),则3a=a,a=0。 例112若y=f(x)的图形有对称轴x=a和x=b,(a0 所以y=f(x)为周期函数,且周期为T=2(b-a) 例113设f(x)的定义域为[01,则函数f(x+4)+f(x-4)的定义域是() (A)0°(B)、1 【解】答案(D)。用变量置换法,分别考察f(x+)和f(x-)的定义域 出两个函数的定义域的交集 例1.14y=丌+ arctan=的反函数是() (C)y=2tan,I∈(3分 (A)y=2tan(x-丌),x∈ )(B)y=tan,x∈(,) D)y=tanx,x∈( 【解】答案(A)。由y=丌+ arctan解出x=2tan(y-丌),调换x和y的位置, 2 变成y=2tan(x-丌),由对偶性,定义域即为y=丌+ arctan的值域: x≤0 例1.15设f(x) 则() +x,x>0 刘坤林编水木艾迪考研培训网 Kti:www.tsinghuatutor.com 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 f (5) = 3a + 2a = 5a. （2）若 f (x) 为周期函数,且周期T = 2 ,则 f (3) = f (1) ，则3a = a, a = 0 。 例 1.12 若 y = f (x)的图形有对称轴 x = a 和 x = b,(a 0 ， 所以 y = f (x)为周期函数，且周期为T = 2(b − a) 。 例 1.13 设 f (x) 的定义域为[0,1] ,则函数 ) 4 1 ) ( 4 1 f (x + + f x − 的定义域是( ) (A) [0,1]。 (B) ] 4 5 , 4 1 [− 。 (C) ] 4 1 , 4 1 [− 。 (D) ] 4 3 , 4 1 [ 。 【解】 答案 ( D )。用变量置换法，分别考察 ) 4 1 ) ( 4 1 f (x + 和 f x − 的定义域， 求出两个函数的定义域的交集。 例 1.14 2 arctan x y = π + 的反函数是( ). (A) ) 2 3 , 2 2 tan( ), ( π π y = x − π x ∈ (B) ) 2 , 2 , ( 2 tan π π = x ∈ x y (C) ) 2 3 , 2 , ( 2 2 tan π π = x ∈ x y (D) ) 2 , 2 tan , ( 2 1 π π y = x x ∈ 【解】 答案 ( A)。由 2 arctan x y = π + 解出 x = 2 tan(y − π ) , 调换 x和 y 的位置, 变成 y = 2 tan(x − π )，由对偶性，定义域即为 2 arctan x y = π + 的值域： ) 2 3 , 2 ( π π 。 例 1.15 设 , 则（ ）。 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + > ≤ = , 0 , 0 ( ) 2 2 x x x x x f x 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：8 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 0 (A)f(-x) (B)f(-x) (x2+x),x0 ,x≥0 (C)f(-x) x2,x0 x.x0,所以 f(-x)=f(u)=u2+u 例1.16设∫:R→R是单调增函数,且玉k>0,Vu,v∈R,满足|()+f(v)≤k- 证明:F(x)=f(x)+kx是单调增函数 【证】F(x+△x)-F(x)=f(x+△x)+k(x+△x)-((x)+kx) △F(x)=(f(x+△x)-f(x)+k(△x) A(x)=(x+Ay)-/(x)+k 由|(x+△x)-f(x)≤kA得到(x+Ax)-(x)≤k 于是AF(x)=(x+△x)-/(x)+k≥0 所以F(x)是单调增函数。 1.26初等函数 基本初等函数包括以下六类: (1)常数函数y=c (2)幂函数y=xa,幂函数的定义域与时常数a有关 (3)指数函数y=a2(a>0,a≠1),a为实常数。 自然指数函数y=e (4)对数函数y= logo(a>0,a≠1),a为实常数 自然对数函数y=lx (5)三角函数y=sinx,cosx,tanx,cotx,secx,csx (6)反三角函数y= arcsin x, arccos x, arctan x 刘坤林编水木艾迪考研培训网 网埋:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 (A) (B) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + > − ≤ − = ( ) , 0 , 0 ( ) 2 2 x x x x x f x ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≥ − + ≤ − = , 0 , 0 ( ) 2 2 x x x x x f x ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − 0 , 所以 f −x = f u = u + u = x − x 2 2 ( ) ( ) 例 1.16 设 f : R → R 是单调增函数, 且 ∃k > 0,∀u, v ∈ R ，满足 f (u) + f (v) ≤ k u − v 证明： F( ) x = f ( ) x + kx 是单调增函数. 【证】 F x( ) + ∆x − F( ) x = f ( ) x + ∆x + k ( x + ∆x) − ( f ( x) + kx) ∆ = F x( ) ( ) f ( ) x + ∆x − f ( x) + k (∆x) ， F x( ) f x( x) f ( x) k x x ∆ + ∆ − = + ∆ ∆ ; 由 f (x + ∆x) − f (x) ≤ k ∆x 得到 k x f x x f x ≤ ∆ ( + ∆ ) − ( ) 于是 0 ( ) ( ) ( ) + ≥ ∆ + ∆ − = ∆ ∆ k x f x x f x x F x 所以 F ( x ) 是单调增函数。 1.2.6 初等函数 基本初等函数包括以下六类： （1）常数函数 y = c （2）幂函数 ，幂函数的定义域与时常数 α y = x α 有关。 （3）指数函数 y = a (a > 0,a ≠ 1) ， 为实常数。 x a 自然指数函数 x y = e （4）对数函数 y = log x (a > 0,a ≠ 1) a ，a 为实常数。 自然对数函数 y = ln x （5）三角函数 y = sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, csc x （6）反三角函数 y = arcsin x, arccos x, arctan x 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：9 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 对以上六类基本初等函数,应熟练掌握他们的定义域与值域,初等性质与相应的曲线 由以上六类基本初等函数,经有限次四则运算或复合运算而生成的函数统称为初等函 数。这是微积分课程中重要的研究对象,当然,有时也会涉及到某些非初等函数,包括某些 分段函数(分段函数未必都是非初等函数,如y=x=√x2可以表达为分段函数,但它又 是初等函数 1.3数列的极限概念 1.31定义与概念 掌握好数列极限的概念与方法是顺利学好函数极限的基础,而极限概念方法与分析问题 的思想,又是完成本课程后续内容学习的重要支柱与基础。 定义1.11对数列{xn},若存在某个常数A,使当n无限变大时 xn-4可以任意小,即VE>0,丑N>0与常数A,使当n>N时有 -40 彐N>0,使当n>N时有x}>G,则称{xn}是当n趋于无穷大时的 无穷大量。记为 limx=o。 特别,当xn在某一项xN之后(n>N)取正值无限变大时,则称{xn}是当 n趋于无穷大时的正无穷大量,记为limx=+。 此时的描述为VG>0,彐N>0,使当n>N时有x>G 而当xn在某一项x之后(n>N)取负值且x无限变大时,则称{xn}是当 刘坤林编水木艾迪考研培训网 网址:www.tsinghuatutorcom 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 对以上六类基本初等函数，应熟练掌握他们的定义域与值域，初等性质与相应的曲线。 由以上六类基本初等函数，经有限次四则运算或复合运算而生成的函数统称为初等函 数。这是微积分课程中重要的研究对象，当然，有时也会涉及到某些非初等函数，包括某些 分段函数（分段函数未必都是非初等函数，如 2 y = x = x 可以表达为分段函数，但它又 是初等函数）。 1．3 数列的极限概念 1.3.1 定义与概念 掌握好数列极限的概念与方法是顺利学好函数极限的基础，而极限概念方法与分析问题 的思想，又是完成本课程后续内容学习的重要支柱与基础。 定义 1.11 对数列{xn } ，若存在某个常数 A ，使当 n无限变大时， xn − A 可以任意小，即 ∀ε > 0，∃N > 0与常数 A ，使当 n > N 时有 x − A 0 ， ∃N > 0，使当 n > N 时有 xn > G ，则称{ } 是当 趋于无穷大时的 xn n 无穷大量。记为 = ∞ →∞ n n lim x 。 特别，当 在某一项 之后（ ）取正值无限变大时，则称 是当 xn N x n > N { } xn n趋于无穷大时的正无穷大量，记为 = +∞ →∞ n n lim x 。 此时的描述为∀G > 0 ，∃N > 0，使当 n > N 时有 x G 。 n > 而当 xn 在某一项 x N 之后（ n > N ）取负值且 xn 无限变大时，则称{ } 是当 xn 刘坤林 编 水木艾迪考研培训网 网址：10 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805