《线性代数》第二章 矩终及其运算（2.4）矩阵的秩与初等变换

第四节矩阵的秩与初等变换 上页

第四节矩阵的秩与初等变换

一、矩阵秩的概念 定义1在mxn矩阵A中任取k行k列(k≤m, k≤n),位于这些行列交叉处的个k2元素不改 变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式 mxn矩阵A的k阶子式共有Ck·c个. 上页下页返回

. , 1 , 2 称为矩阵 的 阶子式 变它们在 中所处的位置次序而得的 阶行列式， ），位于这些行列交叉处的个 元 素 不 改 定 义 在 矩 阵 中任取 行 列 （ A k A k k n k m n A k k k m    一、矩阵秩的概念 矩阵 的 阶子式共有 个. k n k mn A k Cm •C

定义2设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子 式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等 于0,那末D称为矩阵A的最高阶非零子式,数r 称为矩阵A的秩,记作R(A)并规定零矩阵的秩 等于零 王mxn矩阵A的秩R()是4中不等于零的 王子式的最高阶数 对于A,显有R(A)=R(A) 上页

. ( ). 0 1 2 0 等于零 称为矩阵 的秩，记作 并规定零矩阵的秩 于 ，那末 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等 定义 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子 A R A D A r D r A r + . ( ) 子式的最高阶数 m  n 矩阵 A的秩 R A 是 A中不等于零的 对于 A T ， R(A ) R(A). T 显有 =

123 例1求矩阵A=23-5|的秩 471 解在A中, ≠0 23 牛又4的3阶子式只有一个A,且A=0 .R(A)=2 上页

例 1 . 4 7 1 2 3 5 1 2 3 求矩阵 的秩   A = − 解 在 A中， 又  A 的 3阶子式只有一个 A， 0. 2 3 1 2  且 A = 0 ，  R ( A ) = 2

20 103-2 31-25 例2求矩阵B= 的秩 0004-3 00000 解:B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行, B的所有4阶子式全为零 2-13 上而03-2≠0,∴R(B)=3 004 上页

例 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩   − − − − B = 解  B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，  B的所有 4阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3−  − 而  R(B) = 3

13-2 例3已知A=02-13求该矩阵的秩 20 3 解 =2≠0,计算A的3阶子式 02 中13-21323-221-2 02-1=0023=1,-13=0-13=0, 工工 201-205015-215 0. R(A)=2 上页

例3 已知 ，求该矩阵的秩．           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 A 2 0, 0 2 1 3  =  2 0 1 0 2 1 1 3 2 − − − 2 0 5 0 2 3 1 3 2 − 解 计算A的3阶子式， = 0, = 0, 0 1 5 2 1 3 3 2 2 − − 2 1 5 0 1 3 1 2 2 − − − = = 0, = 0, = = = 0.  R(A) = 2

13-22 ↓另解对矩阵A=02-13做初等变换, 2015 13-22)(13-22 02 20 13~02-13 5 0000 显然,非零行的行数为2 R(4)=2 此方法简单! 上页

对矩阵 做初等变换，           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 另解 A , 0 0 0 0 0 2 1 3 1 3 2 2 ~ 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2           − −           − − −  显然，非零行的行数为2，  R(A) = 2. 此方法简单！

矩阵秩的求法 因为对于任何矩阵An,.总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形. 问题:经过变换矩阵的秩变吗? 庄定理!若A-B则R(4)=R(B) 证先证明:若4经一次初等行变换变为B, 上则R(4)≤R(B 王设4)=n且A的某个r阶子式D≠ 王页下

. , 等行变换把他变为行阶梯形 因为对于任何矩阵Amn 总可经过有限次初 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 定 理1 若 A ~ B,则 R(A) = R(B). 证 矩阵秩的求法 ( ) ( ). R A R B A B 则  先证明：若 经一次初等行变换变为 ， ( ) =  0. Dr 设 R A r，且 A的某个r 阶子式

当A6>B或A-×→B时, 在B中总能找到与D,相对应的子式D, 由于Dr=D或D=-D或Dn=AD, 庄因此D,≠0从而RC2E 工工工 当A—>B时,分三种情况讨论: (1)D中不含第祈; 2)D中同时含第行和第行; (3)D中含第i但不含第行; 上页

当A B或A r k B时， r r i ⎯i ⎯j→ ⎯⎯ →  当A i j B时，分三种情况讨论： r kr ⎯ ⎯→ + r ,. 在 B 中总能找到与 Dr 相对应的子式 D , r r r r r 由于 Dr = D 或 D = −D 或 D = kD D 0 R(B) r. r 因此  ，从而  （ ） 中含第 行但不含第 行； （ ） 中同时含第 行和第 行； （ ） 中不含第 行； D i j D i j D i r r r 3 2 1

对(①(2)两种情形,显然B中与D,对应的 子式D,=D,≠0,故R(B)≥r 对情形(3), D,=G+kril=r+k=D,+kd, : 若D≠0, 因D中不含第i行知A中有不含第行的r阶 王非零子式RB2F 上页

0, ( ) . (1),(2) D D R B r B D r r r 子式 =  故  对 两种情形，显然 中与 对应的 对情形 (3)， , ˆ i j i j r r Dr = r + kr = r + k r = D + kD       0, 若D ˆ r  , ˆ 非零子式 因 Dr 中不含第 i 行知 A中有不含第 i 行的 r 阶  R(B)  r