2008春季班 线性代数第5章线性方程组 第5章线性方程组 n元线性方程组 111 1 , amx1+am,x,+…+axn=b m11 m22 mnn m 其中x1,x2,…,xn表示n个未知量,m是方程个 数,a表示第i个方程中含x;项的系数, b1,b2,…,b叫常数项 记系数矩阵为A=(a) x=(x1,x2,…,xn),常数项向量为 b=12b则线性方程组可写作矩阵 形式: 如果记a1=(a11,a21,…,am1), a2=(a12,a22,,am2), …,an=(an,an,a),则线性方程组可 以表示成向量方程:
2008 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—1 第 5 章 线性方程组 n元线性方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b " """"""""""" " " 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 ， 其中 x x xn , , , 1 2 " 表示 个未知量，m 是方程个 数， 表示第 n aij i个方程中含 x j 项的系数， b b bm , , , 1 2 " 叫常数项． 记系数矩阵为 ( ) A = aij ， x = T x x xn ( , , , ) 1 2 " ，常数项向量为 T b b b bm ( , , , ) = 1 2 " ，则线性方程组可写作矩阵 形式： Ax = b． 如果记 ( )T m a a a 1 11 21 1 α = , ,", ， ( )T m a a a 2 12 22 2 α = , ,", ， ( ) T n n n mn , a ,a , ,a " α = 1 2 " ，则线性方程组可 以表示成向量方程：
2008春季班 戋性代数第5章线性方程组 x1C1+x2a2+…+xnn=b 若将一组数c1,C2,…,Cn代替未知量 1%29…9 x,使方程组中的m个等式都成立,就 说(Cc1,C2,…,Cn)是方程组的一个解方程组的全体 解称为方程组的解集.解集相同的方程组称为同解方 程组 线性方程组中,如果常数项为0,即b=0,称 A4x=0为齐次线性方程组.若常数项不为0,称 Ax=b为非齐次线性方程组 51高斯消元法 解方程组的最基本的方法是高斯消元法.设n元 线性方程组 aux+anrx2+.+anxn=by 211 2 ann 1+ax+…+l…x mn n 矩阵 b, 21 22 2n 2 n
2008 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—2 x1α 1 + x2α 2 +"+ xnα n = b． 若将一组数 代替未知量 n c ,c , ,c 1 2 " x x xn , , , 1 2 " ，使方程组中的m个等式都成立，就 说 是方程组的一个解．方程组的全体 解称为方程组的解集．解集相同的方程组称为同解方 程组． ( , , , ) 1 2 n c c " c 线性方程组中，如果常数项为０，即b = 0，称 Ax = 0为齐次线性方程组．若常数项不为０，称 Ax = b为非齐次线性方程组． 5.1 高斯消元法 解方程组的最基本的方法是高斯消元法．设n元 线性方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b " """"""""""" " " 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 ， 矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ m m mn m n n a a a b a a a b a a a b " " " " " " " " 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1
2008春季班 线性代数第5章线性方程组 叫线性方程组的增广矩阵.记作A=(A|b 所谓高斯消元法就是对线性方程组的增广矩阵 施行矩阵的初等行变换,化作行阶梯形. 12 b, 21 22 2n m2 n 12 2 2r n d +1 0 根据行阶梯形,对方程组的解有如下的结论: (1)若l1≠0,方程组无解 (2)若d,+1=0,方程组有解这时又分两种情况 情况1:=n,方程组有唯一解; 情况2:r<n,方程组有无穷多解
2008 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—3 叫线性方程组的增广矩阵．记作 A = ( A b )． 所谓高斯消元法就是对线性方程组的增广矩阵 施行矩阵的初等行变换，化作行阶梯形． ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ m m mn m n n a a a b a a a b a a a b " " " " " " " " 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → → + 0 0 1 22 2 2 2 11 12 1 1 1 # " % # # # # " " " " " r rr rn r r n r n d c c d c c c d c c c c d 根据行阶梯形，对方程组的解有如下的结论： （１）若 0，方程组无解； dr+1 ≠ （２）若 0 dr+1 = ，方程组有解．这时又分两种情况： 情况１：r = n，方程组有唯一解； 情况２：r < n，方程组有无穷多解．
2008春季班 戋性代数第5章线性方程组 例1试问t取什么值时,线性方程组 12千2x x1+1223s x1-L2 无解,有唯一解,有无穷多解. 52非齐次线性方程组Ax=b有解的条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件是增广 矩阵的秩等于系数矩阵的秩.即 r(A)=r(4) 如果从方程组的向量表示形式来看,方程组为 x11+x,a,+…+xnan=b. n 方程组有解就意味着b可由系数矩阵A的列向量组 线性表出,或说b是系数矩阵A的列向量组的线性组 合 若n元非齐次线性方程组Ax=b有解, 当r(A)=n时,方程组Ax=b有惟一解; r(A)<n时,方程组Ax=b有无穷多解 例2非次线性方程组Ax=b,其中A是mxn 矩阵,则Ax=b有惟一解的充分必要条件是
2008 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—4 例 1 试问t 取什么值时，线性方程组 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = − + + = − + = − , 4, 2 4, 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x tx x t x x tx x x x 无解，有唯一解，有无穷多解． 5.2 非齐次线性方程组 Ax = b有解的条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件是增广 矩阵的秩等于系数矩阵的秩．即 r(A) = r(A)． 如果从方程组的向量表示形式来看，方程组为 x1α 1 + x2α 2 +"+ xnα n = b． 方程组有解就意味着b可由系数矩阵 A的列向量组 线性表出，或说b是系数矩阵 A的列向量组的线性组 合． 若n元非齐次线性方程组 Ax = b有解， 当r(A) = n时，方程组 Ax = b有惟一解； r(A) < n时，方程组 Ax = b有无穷多解． 例 2 非齐次线性方程组 Ax = b，其中 A是 矩阵，则 m× n Ax = b 有惟一解的充分必要条件是
2008春季班 线性代数第5章线性方程组 (4)r(A)=n (B)r(A)=n; (C)r(A)=m; (D)r(4)=n且b为A的列向量组的线性组合 53齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是: 若A是mXn矩阵,则 齐次线性方程组Ax=0有非零解兮r(A)<n 齐次线性方程组Ax=0只有零解兮→系数矩阵A列 满秩 对于一些特殊情况,还有以下几个结论 (1)若A是n阶方阵, 齐次线性方程组Ax=0有非零解分A=0 (2)若A是n阶方阵,齐次线性方程组Ax=0只 有零解兮A≠0 (3)若A是M×n矩阵,当m<n时,齐次线性 方程组Ax=0必有非零解. 例3齐次线性方程组Ax=0,仅有零解的充分必 要条件是
2008 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—5 （ ）． (A) r(A) = n； (B) r(A) = n； (C) r(A) = m； (D) r(A) = n 且b为 A的列向量组的线性组合． 5.3 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是： 若 A是m× n矩阵，则 齐次线性方程组 Ax = 0有非零解⇔ r(A) < n． 齐次线性方程组 Ax = 0只有零解⇔系数矩阵 A列 满秩． 对于一些特殊情况，还有以下几个结论： （１）若 A是n阶方阵， 齐次线性方程组 Ax = 0有非零解⇔ A = 0． （２）若 A是n阶方阵，齐次线性方程组 Ax = 0只 有零解⇔ A ≠ 0． （３）若 A是m× n矩阵，当m < n时，齐次线性 方程组 Ax = 0必有非零解． 例 3 齐次线性方程组 Ax = 0，仅有零解的充分必 要条件是
2008春季班 戋性代数第5章线性方程组 A)A的行向量组线性无关; (B)A的行向量组线性相关 (C)A的列向量组线性无关 (D)A的列向量组线性相关 例4设齐次线性方程组 x1+kx2=0 kx1+x2+5x3=0 x +x 2 3 0 k为何值时,方程组有非零解? 例5齐次线性方程组 3x1+x2+kx3=0 +x,=0 x1+kx,-3r2=0 2x1-x,+x 3 0 当k为何值时,只有零解? 54齐次线性方程组的解的性质与齐次线性方程组 的解的结构 齐次线性方程组的解有两个重要性质: (1)若5152是次线性方程组Ax=0的解, 则51与52的和1+2仍是Ax=0的解;
2008 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—6 (A) A的行向量组线性无关； (B) A的行向量组线性相关； (C) A的列向量组线性无关； (D) A的列向量组线性相关． 例4 设齐次线性方程组 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + + = + = 0 5 0 0 1 2 3 1 2 3 1 3 x x x kx x x x kx ， k 为何值时，方程组有非零解？ 例 5 齐次线性方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − + = + − = + = + + = 2 0 3 0 0 3 0 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 x x x x kx x x x x x kx 当k 为何值时，只有零解？ 5.4 齐次线性方程组的解的性质与齐次线性方程组 的解的结构 齐次线性方程组的解有两个重要性质： （１） 若ξ 1，ξ 2是齐次线性方程组 Ax = 0的解, 则ξ 1与ξ 2的和ξ 1 + ξ 2仍是 Ax = 0的解；
2008春季班 戋性代数第5章线性方程组 (2)若是齐次线性方程组Ax=0的解则的 任意常数倍k5仍是Ax=0的解 若用S表示齐次线性方程组Ax=0的全体解 向量的集合,则性质1和性质2说明S中任意两个向 量的和在S中,S中任一向量的常数倍也在S中,就 是说S对向量的线性运算是封闭的,所以S是一个向 量空间,它是R的一个子空间,称为齐次线性方程 组Ax=0的解空间 齐次线性方程组Ax=0的解空间的一个基称 为齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系 方程组Ar=0的基础解系是方程组的一组线 性无关的解,其要点有三:首先它们都是方程组 Ax=0的解,其次,它们是线性无关的.其三,它 们是解集合中的一个极大线性无关组,或者说,方程 组Ax=0任何一个解都可以由它们线性表出.因此 方程组的基础解系往往不是惟一的 设n元齐次线性方程组4x=0,系数矩阵A的 秩为r,即r(4)=r,则方程组的基础解系有n-r 个解向量 若512,…,5是齐次线性方程组Ax=0的 一个基础解系,则齐次线性方程组Ax=0的通解 (一般解)是
2008 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—7 （２） 若ξ 是齐次线性方程组 Ax = 0的解，则ξ 的 任意常数倍kξ 仍是 Ax = 0的解． 若用 S 表示齐次线性方程组 Ax = 0的全体解 向量的集合，则性质１和性质２说明S中任意两个向 量的和在S中，S中任一向量的常数倍也在S中，就 是说S对向量的线性运算是封闭的，所以S是一个向 量空间，它是 的一个子空间，称为齐次线性方程 组 n R Ax = 0的解空间． 齐次线性方程组 Ax = 0的解空间的一个基称 为齐次线性方程组 Ax = 0的一个基础解系． 方程组 Ax = 0的基础解系是方程组的一组线 性无关的解，其要点有三：首先它们都是方程组 Ax = 0的解，其次，它们是线性无关的．其三，它 们是解集合中的一个极大线性无关组，或者说，方程 组 Ax = 0任何一个解都可以由它们线性表出．因此 方程组的基础解系往往不是惟一的． 设n元齐次线性方程组 Ax = 0，系数矩阵 A的 秩为r ，即r(A) = r ，则方程组的基础解系有n − r 个解向量． 若ξ ξ ξ t , , , 1 2 " 是齐次线性方程组 Ax = 0的 一个基础解系，则齐次线性方程组 Ax = 0的通解 （一般解）是
2008春季班 戋性代数第5章线性方程组 k151+k252+…+k15 其中k1,k2,…,k是任意常数 解n元齐次线性方程组Ax=0的基本步骤: (1)对系数矩阵作矩阵的初等行变换,化作简化 行阶梯形.假设这时有个非零行,则基础解系中有 n-r个解向量; (2)选非主元所在列的变量为自由未知量,共有 n-r个自由未知量; (3)将自由未知量依次设为单位向量,求得-r 线性无关的解向量,就是所求的基础解系. (4)基础解系中的向量的线性组合就是一般解 例6设51,52,53是齐次线性方程组Ax=0的一 个基础解系,试证明 51-52,51+52+53,51+253也是齐次线性方 程组Ax=0的一个基础解系 例7求齐次线性方程组 x1+x2+x3+4x4-3X5=0 2x1+x2+3x3+5x4-5x5=0 x1-x,+3x2-2xA-x=0 3x1+x,+5x2+6x4-7x=0 5 的一个基础解系
2008 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—8 x = k1ξ 1 + k2ξ 2 +"+ kt ξ t， 其中k k kt , , , 1 2 " 是任意常数． 解n元齐次线性方程组 Ax = 0的基本步骤： （1） 对系数矩阵作矩阵的初等行变换，化作简化 行阶梯形．假设这时有r 个非零行，则基础解系中有 n − r个解向量； （2） 选非主元所在列的变量为自由未知量，共有 n − r个自由未知量； （3） 将自由未知量依次设为单位向量，求得n − r 线性无关的解向量，就是所求的基础解系． （4） 基础解系中的向量的线性组合就是一般解． 例 6 设 1 2 3 ξ ,ξ ,ξ 是齐次线性方程组 Ax = 0的一 个基础解系，试证明 1 2 1 2 3 1 2 3 ξ − ξ ,ξ + ξ + ξ ,ξ + ξ 也是齐次线性方 程组 Ax = 0的一个基础解系． 例 7 求齐次线性方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + − = − + − − = + + + − = + + + − = 3 5 6 7 0 3 2 0 2 3 5 5 0 4 3 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系．
2008春季班 戋性代数第5章线性方程组 例8设有齐次线性方程组 (1+a)x1+x2+…+xn=0, 2x1+(2+a)x2+…+2xn=0, (n≥2) Hx1+mx2+…+(n+a)xn=0 试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解 例9已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,C),,b,C不 全为零,矩阵B=246(k为常数),且 36k AB=O,求线性方程组Ar=0的通解 例10设方程组(1): ∫x1+x2=0 ;方程组(2) 4 「x1-x2+x4=0 ,求方程组(1)和方 ,+x 0 程组(2)的公共解 例11已知齐次线性方程组
2008 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—9 例 8 设有齐次线性方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + + = + + + + = + + + + = ( ) 0, 2 (2 ) 2 0, (1 ) 0, 1 2 1 2 1 2 n n n nx nx n a x x a x x a x x x " """""""""" " " (n ≥ 2) 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解 例 9 已知3阶矩阵 A的第一行是 不 全为零，矩阵 (a,b, c),a,b, c ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = k B 3 6 2 4 6 1 2 3 ( k 为常数)，且 AB = O，求线性方程组 Ax = 0的通解. 例10 设方程组（１）： ⎩ ⎨ ⎧ − = + = 0 0 2 4 1 2 x x x x ；方程组（２）： ⎩ ⎨ ⎧ − + = − + = 0 0 2 3 4 1 2 4 x x x x x x ，求方程组（１）和方 程组（２）的公共解． 例 11 已知齐次线性方程组
线性代数第5章线性方程组 x1+2x2+3x3=0, (i){2x,+3x,+5x2=0 x1+x2+ax3=0, x1+bx2+cx3=0, 和(ii) 2x1+b2x2+(c+1)x3=0. 同解,求Ⅱ,b,C的值 55非齐次线性方程组的解的性质与非齐次线性方 程组的解的构造 对应的齐次线性方程组Ax=0称为非齐次线 性方程组Ax=b的导出组 非齐次线性方程组也有两个性质: (1)若71,72是非齐次线性方程组Ax=b的两个 解,则71-m2是导出组Ax=0的一个解 (2)非次线性方程组4x=b的任一解与导出 组Ax=0的解的和们+是非齐次线性方程组 A4x=b的解. 非齐次线性方程组Ax=b的通解(一般解)是 非齐次线性方程组的一个特解+导出组的基础解 系的线性组 设非齐次线性方程组Ax=b, 若r(A)=r,是Ax=b的一个特解
2008 春季班 线性代数 第 5 章 线性方程组 5—10 （i） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + = + + = + + = 0, 2 3 5 0, 2 3 0, 1 2 3 2 2 3 1 2 3 x x ax x x x x x x 和（ii） ⎩ ⎨ ⎧ + + + = + + = 2 ( 1) 0. 0, 2 3 2 1 1 2 3 x b x c x x bx cx 同解，求a，b，c的值. 5.5 非齐次线性方程组的解的性质与非齐次线性方 程组的解的构造 对应的齐次线性方程组 Ax = 0称为非齐次线 性方程组 Ax = b的导出组． 非齐次线性方程组也有两个性质： （１）若 1 2 η ,η 是非齐次线性方程组 Ax = b的两个 解，则η1 −η 2是导出组 Ax = 0的一个解． （２）非齐次线性方程组 Ax = b的任一解η 与导出 组 Ax = 0的解ξ 的和η + ξ 是非齐次线性方程组 Ax = b的解． 非齐次线性方程组 Ax = b的通解（一般解）是 非齐次线性方程组的一个特解 + 导出组的基础解 系的线性组合． 设非齐次线性方程组 Ax = b， 若r(A) = r，η 是 Ax = b的一个特解
