目录 序言 垂●甲·垂t.垂 引言指数函数…………… 第一章抽象积分…………………………………………………5 集论的记号和术语………… 甲果、·专 6 可测性概念 …………………8 简单函数……… ,,上甲甲,有布看市甲 17 测度的初等性质………………………………………………18 E0,∞]中的算木运算…………………………………………………21 正函数的积分…………………………………22 复数的积分………………………… 零测集所起的作用 ……………………………………31 习题…………………… ………37 第二章正 Borel测度………………………39 向量空间…………………………………………………………………39 拓扑学预备知识 Riez表示定理……………… Borel测度的正则性………………………………………………“55 Lebesgue测度…………………………………………… 4B中● 58 可测函数的连续性…… …………………·…63 习题…… ……66 第三章L空间………… 凸函数和不等式 LP空间……………………… …74 连续函数逼近…………………………………………………………“79 小题 …………………82 第四章 Hilbert空间的初等理论………………………88 内积和线性泛函…………………………
规范正交集……………………………………………………………"“95 三角级数… …103 习题……… 109 第五章 Banach空问技巧的例………………112 Banach空间……………… 112 Baire定理的推论……………… ……………114 连线函数的 Fourier级数………………………………………1l8 L-函数的 Fourier系数…………… 121 Hahn- Banach定理………… 鲁 ·、由、由“,曲. ……123 Poisson积分的-种抽象处理…………………… ……128 习题…………………………………………………………………133 第六章复测度 s138 全变差 …138 绝对连续性……………………………………………………142 Radon- Nikodym定理的推论………………………………………149 LP上:的有界线性泛函 专导、, 151 Riesz表示定理…………………………………154 习题……………………………… 第七章乘积空间上的积分…………………………………162 笛卡儿乘积上射可测性……… ……………162 乘积测度………………………………………………………………16 Fubin定理………… ……………167 乘积测度的完备化………………………… ……………171 卷积………… 17士 习题………………………………………………………176 第八章微分…………………… 180 测度的导数 180 有界变差函数 .······,南,··,,,.....中4··.·:.*a+· 点函数的微分法 :.+4…:-···+:4·:*.:∴· 叮微变换 ·“…"“ …201 习题…………………… …210
第九章 Fourier变式… ·………214 形式上的性质 ∴…………214 反演定理…………………………………… ……………217 Plancher定理 ,,,,甲,·、主P看 ,,,,,.,.,看图,,.、 22 Banach代数L1…………… 由,由和鲁 ……………228 习题 …………………232 第十章全纯函数的初等性质… ………236 复微分… …………………236 沿路径的积分………………………………………… ………241 局部 Cauchy定理 246 幂级数表 …250 开映射定理 甲中非,4,B4看非 …257 整体 Cauchy定理… …260 残数计算…………… …………………………268 习题…………… B、自,,中,,,省 272 第十一章调和函数………………………………………277 Cauchy Riemann方程… 、击 Poisson积分……………………………………………… 平均值性质…………………………………………………………287 正调和函数 289 习题……………………………………………… 295 第十二章最大模原理 299 引言……… 甲,甲,,要,B看着专、,,甲 …299 Schwarz理………………………………………………………299 Phragmen- Lindelf方法……………… 302 个插值定理 …………………………306 最大糢定理的逆定理…… 3I0 习题 ……………………………311 第十三章有理函数逼近…………………………………314 预备知识…………………………………………………………314 Runge定理 318
Mittag- Leffler定 …322 单连通区域 …323 习题… 目鲁中,d卡4+4普 1D虚 326 第十四章保形映射… 角的保持性 甲甲看鲁里鲁看着、着、, 线性分式变换………… 正规族…… ……332 Riemann映射定理 334 类 338 在边界上的连续性 ………………342 环域的保形映射……………… ……346 习题 、, 着、4、,积,甲,,,非,非 348 第十五章全纯函数的零点 354 无穷乘积………………………………………………………………354 Weierstrass因式分解定理… …357 个插值问题…… …………………361 Jensen公式…………… …………………364 Blaschke乘积…… ……368 Muntz- Szasz定理……………………………………………………………371 习题 375 第十六章解析延拓…………………………………………379 正则点和奇点…………………………………………………………379 沿曲线的延拓 非看非中, 384 单值性定理………………… ……………388 模函数的构造 Picard定理…… 甲甲,甲· ……………394 习题………………………………………………………………395 第十七章HP-空间… ss…·399 次调和函数 ,·,甲,、,甲 H空间和N空向…………………… B2空间… ……………………404
F. Riesz和M. Riesz定理………………………………………………408 因式分解定理 409 移位算子… ………………………………………414 共轭函数 1中;4,中;1m:Pv:dad14甲,甲甲平甲 420 布布 …………………423 第十八章 Banach代数的初等理论… 4着;甲甲甲看●A 引言 ,·,·,,.·击.,,甲,p.日,,+,. 可逆元………………………………………………… …128 理想与同态… ,,目,,,,命中,中中:q日+4中甲 ……………433 应用…………………… 438 习题……………………………………………………………………442 第十九章全纯 Fourier变式………………………………………!45 引言 ·‘= ………445 Paley和 Wiener的两个定理…………………… 446 拟解析类……………………………………………………………452 Den joy- Carieman定理……………………………………………55 习题 鲁·省日 459 第二十章用多项式一致逼近 ··463 引言…………………………………………………………………463 一些引班……………… ……………………………464 Mergelyan定理…………………… ……………467 习题……………………………………………………………………472 附录: Hausdorff极大性定理……………………………474 注释……………………………………………………476 参考书目 ……86 专用和缩写符号一览表………………………………………490 索引 ·导·看甲
引言指数函数 在数学中这是个最重要的函数,它是用公式来定义的,对每 个复数z,规定 (1) 级数(1)对每个绝对收敛,对复平面的每个有界子集一致收敛 因此,exp是连续函数.(1)的绝对收敛指出了算式 - n -abn- (n-k)! =∑a+b 0 是正确的它给出了重要的加法公式 (2) exp(a)exp()=exp(a+b) 此公式对所有复数a和b是正确的. 我们规定数e是exp(1),习惯上常用较短的表达式e2代替 exp(z).注意,由(1)可得 e=exp(0)=1 定理 (a)对每一个复数z,e20 (b)exp的导数是它自己:exp(z)=exp(z) (c)exp限制在实轴上是单调增加的正函数,且当x→时, ex→;当x→时, ex→0 (d)存在一个正数使得e2并使得e2=1当且仅当 1 111053
2xi)是整数时才成立 (e)exp是周期函数,其周期是2r, (f)映射t→e将实轴映到单位圆周上 (9)若w是复数且m0,则存在某些x,使=e 证明由(2),e‘·e=ex-=e°=1.由此得到(a),其次 exp'(a)=lim exp(+h)=exp(2) exp(a)lim exp(h-1 h =exp(z) 在上述等式中,第一个是定义,第二个从(2)得到,而第三个从 (1)得到,因此证明了(b) 由于(1),显然exp在正实轴上是单调增加的,而且当x 时,e→>∞,(c)的另一个断言是e·ex=1的结果 对于任何实数t,(1)表示e-“是e‘的共轭复数,因此 e 1 或 (3) e|=1(t是实数) 换句话说,若t为实数,则e位于单位圆周上,我们定义cost, sin6为e”的实部和虚部 (4) cogt=Ree],sint=Im[e(t是实数) 若对等价于(4)的 Euler恒等式 (5) ost+2 sin t 两边微分,并且应用(b),则得 cos't+i sin't=ie=-sint+cost 于是 (6) cos sin, sin' Cos 2
幂级数(1)给出表示式 (7 CostE 1 2!4!6! 十 取t=2,则级数(7)的各项按绝对值减少(除首项外),而且它们的 符号是交错的,因此cos2小于级数(7)的前三项之和;于是cos2 3·由于c0s0=1且co8是实轴上的实连续函数,可断定存 在一个最小的正数t使得 costo=0,我们定义 (8) 2去 从(3)及(5)得到si0=±1,由于在开区间(0,4o)上 n't=cost>0 和sin0=0,故有sin>0,因此 sin t=1,而且 (9) 由此可见,e=i2m-1,e2n=(-1)2=1,且对每个正整数 ,e2i=1.同样立即得到(e) 若x=+,x和y为实数,则e2=ee";因北e2|=e,若e2= 1,则必须有e=1,从而z=0;根据(10),为了证明y/2π一定是整 数,只要证明当00,0>0.同样 (12)e“=(u+it)4=u4--622+v4+4i(2-2) 仅当v2=v2时,(12的右边才是实数;由于2+u2=1仅当v2=v2 时才成立,因此(12)表示出 I上1
这就证明了(④) 我们已经知道,t→e将实轴映入单位圆周内为了证明(f), 现固定切使得{|=1;我们将要证明,对于某些实数有=e‘ 记=2+,和υ为实数,而且首先假定≥0及≥0.由于 ≤1,则m的定义表明存在一个,0≤≤π/2,使得cost=t;因 而sin=1-t2=b2,又由当0≤丌/2时有sin≥0,故sin =υ,因此U=e‘ 若<0及υ≥0,则一iv满足上述的条件,因此,对于某些实 数t有一i=e‘,而且t=en/2),最后,若υ<0,则上述两种情 况证明了,对于某些实数t有-=e,因此=e“(+.这就证 明了 若=0,令av/w,因而切=|ua,根据(c),有一个实数 x使得1=ex,由于!a|=1,则(f)证明了,对于某些实数有 a=e",因此=ex+",这就证明了(g),且完成了本定理的证 明 我们将遇到(1+2)1在实直线上的积分.为了求它的值,在 (一π/2,/2)内,令()= gint/cost.根(6)有q'=1+q2因 此,g是一个(一x/2,x/2)到(一∞,∞)上的单调增加的映射, 而且得到
第一章抽象积分 大约十九世纪末,许多数学家才搞清楚, Riemann积分(微积 分学教程中学习的内容之→)应当由另外一种类型更广泛、更灵 活、更适合于处理极限过程的积分来代替.在这方面所作努力之 中,最著名的有 Jordan, Borel,W.H. Young及 Lebesgue,jLe begun的结构终于是最成功的 筒要说来,其主要的思想是:函数∫在闭区间[a,b上的Re- mann积分能够用和式 ∑f(t)m(E) 逼近,其中E1,…,B为不相交的闭区间,它们的并为[a,b],m(B;) 表示E;的长度,而t,∈E,(L=1,2,…,n), Lebesgue发现,当上 面和式中的集E;属于直线上较大的一类子集,即所谓“可测集” 而且把所考虑的函数类扩大到所谓“可测函数”时,可以得出一种 完全令人满意的积分理论.涉及到决定性的集论的性质如下:任 何可数个可测集族的并和交是可测的;每一个可测集的余集也是 可测的;而且,最重要的是“长度”的概念(现称为“测度”)可按这样 的方法推广:对于两两不相交的可测集的每一个可数集族{E}, 都有 m(E1UE2UEU…)=m(E1)十m(E2)十m(E3)十 m的这个性质称为可数可加性 从 Riemann积分理论过渡到 Lebesgue积分理论是一个完备 化的过程(其意义以后将更加精确地叙述).它在分析上如同从有 5
