2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 基础班微积分第6讲定积分的概念与计算 6.1定积分的概念与性质 定积分基本概念、方法与主要知识点 *概念:定积分作为和式的极限,积分中值定理,保序性与估值定理,定积分是一个数。 方法:凑微分法,分部积分,回归法,变量替换,区间变换 积分等式与不等式的证明 6.1.1定义 定义6.1设函数f(x)在有界闭区间[a,b]上有定义,若:(积分定义四部曲) (1)任意分割区间[ab]:取点列x,x,…,xn:记Ax,=x-x-1,花=max|Ax,‖ (2)任取5∈[x1,x1;(3)作和式S=∑∫(5)Ax; (4)若极限lmS=im∑∫(5)Ax=s存在,且极限值与区间[ab]分割的任意性和 5∈[x1,x]取值的任意性无关,则称函数f(x)在区间[ab上可积,该极限值 isSn=lm∑f(5)Ax=s称为函数∫(x)在区间[ab]上的积分,记作 I, (a, b)=f(x)dx=lim S,=S ,b分别称为积分的下、上限,∫(x)称为被积函数,x称为积分中间变量,定积分的值 与积分中间变量的符号无关,即∫(x)d=∫( 6.1.2 函 数的可积性条件 定理61函数在有界闭区间[a,b]可积的必要条件:是函数f(x)在[a,b上有界 定理62函数在有界闭区间[a,b]可积的充分条件满足下列条件之一即可 (1)f(x)在区间[a,b]上单调有界 (2)f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点; (3)f(x)在区间[a,b]上连续 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 基础班微积分第 6 讲 定积分的概念与计算 6．1 定积分的概念与性质 定积分基本概念、方法与主要知识点 * 概念：定积分作为和式的极限，积分中值定理，保序性与估值定理，定积分是一个数。 * 方法：凑微分法，分部积分，回归法，变量替换，区间变换。 * 积分等式与不等式的证明。 6.1.1 定义 定义 6.1 设函数 f (x) 在有界闭区间[a,b]上有定义, 若:（积分定义四部曲） (1) 任意分割区间[a,b]: 取点列 x0 , x1 ,L, xn : 记∆ i = i − i−1 x x x , i i λ = max ∆x ; (2) 任取 [ , ] i i 1 i x x ξ ∈ − ； （3）作和式 ∑ ； = = ∆ n i n i i S f x 1 (ξ ) (4) 若极限 S f x s 存在, 且极限值与区间 分割的任意性和 n i n = ∑ i ∆ i = = → → 1 0 0 lim lim (ξ ) λ λ [a,b] [ i i i x , x ∈ −1 ξ ] 取值的任意性无关, 则称函数 在区间 上可积, 该极限值 称 为 函 数 在 区 间 上的积 分 , 记作 。 f (x) [a,b] S f x s n i n = ∑ i ∆ i = = → → 1 0 0 lim lim (ξ ) λ λ f (x) [a,b] I a b f x dx S s n b a f = = = ∫ →0 ( , ) ( ) lim λ a,b 分别称为积分的下、上限, 称为被积函数, 称为积分中间变量, 定积分的值 与积分中间变量的符号无关，即 。 f (x) x ∫ ∫ = b a b a f (x)dx f (t)dt 6.1.2 函 数的可积性条件 定理 6.1 函数在有界闭区间[a,b]可积的必要条件:是函数 f (x) 在[a,b]上有界。 定理 6.2 函数在有界闭区间[a,b]可积的充分条件(满足下列条件之一即可) (1) f (x) 在区间[a,b]上单调有界; (2) f (x) 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点; (3) f (x) 在区间[a,b]上连续. 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 1 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 定积分定义在考研中的应用利用积分和式求特定极限(见后述例题) 6.1.3定积分的性质及常用结论 (1)「f(x)d f(xdx (2)对积分区间的可加性:vc∈R,「f(x)d=f(x)dx+f(x)对被积 函数满足线性性 4(x+Bg(]=4∫(x)+∫(x) (3)若f(x)在ab]上可积,则f(x)在ab]上也可积且 f(x)x≤|f(x)dh (4)保序性(保号性):若可积函数f(x)20,vx∈b,则∫f(xk20 若可积函数f(x,g(x):满足f(x)≥g(,则∫f(x)d2Jx) 特别,若非负连续函数f(x在b上不恒为零,则∫f(x)>0 推论:估值定理:若可积函数f(x)在{a,b]上满足m≤f(x)≤M,则 m(b-a)s∫fxk≤M(b-a 进一步,若函数g(x)在[a,b上非负可积,则(称为比较性质) m g(x)dxs f(x)g(x)dsm g(x)dx (4)积分中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上取定号且可积 则35∈(a.b)使∫/(x(x)k=/)∫gx)d 特别,g(x)=1时,35∈[b],使∫f(x)x=()(b-a),或 f(x)dx b f(5)=Ja1(x)(平均值 事实上还可进一步证明彐50∈(a,b),使上述结论成立。 (6)若f()在-a上是可积的奇函数,则[f(x)=0;若f(x)在a叫上是 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 定积分定义在考研中的应用 利用积分和式求特定极限（见后述例题） 6.1.3 定积分的性质及常用结论 (1) ∫ ∫ = − a b b a f (x)dx f (x)dx (2) 对积分区间的可加性: 对被积 函数满足线性性: ∫ ∫ ∫ ∀ ∈ = + b c c a b a c R, f (x)dx f (x)dx f (x)dx [ ] ∫ ∫ ∫ + = + b a b a b a Af (x) Bg(x) dx A f (x)dx B g(x)dx (3) 若 f (x) 在[a,b]上可积, 则 f (x) 在[a,b]上也可积, 且 ∫ ∫ ≤ b a b a f (x)dx f (x) dx （4）保序性（保号性）: 若可积函数 f (x) ≥ 0, ∀x ∈[a,b] , 则 ( ) ≥ 0 。 ∫ b a f x dx 若可积函数 f (x), g(x)满足 f (x) ≥ g(x) , 则 。 ∫ ∫ ≥ b a b a f (x)dx g(x)dx 特别，若非负连续函数 f (x) 在[a,b]上不恒为零， 则 ( ) > 0。 ∫ b a f x dx 推论： 估 值定理 : 若可积 函 数 f (x) 在 [ a , b ] 上 满 足 m ≤ f (x) ≤ M , 则 m(b a) f (x)dx M (b a)。 b a − ≤ ≤ − ∫ 进一步, 若函数 g(x) 在[a,b]上非负可积, 则（称为比较性质） ∫ ∫ ∫ ≤ ≤ b a b a b a m g(x)dx f (x)g(x)dx M g(x)dx (4) 积分中值定理: 若函数 在 上连续, 在 上取定号且可积, 则 f (x) [a,b] g(x) [a,b] ∃ξ ∈ (a,b), 使 ∫ ∫ = b a b a f (x)g(x)dx f (ξ ) g(x)dx 特别, g(x) ≡ 1时, ∃ξ ∈[a,b], 使 f (x)dx f ( )(b a) , 或 b a = − ∫ ξ __________ [ , ] ( ) ( ) ( ) f f x b a f x dx a b b a = = − ∫ ξ （平均值） 事实上还可进一步证明 ( , ), ∃ξ 0 ∈ a b 使上述结论成立。 （6）若 f (x) 在[−a, a] 上是可积的奇函数, 则 ∫ ( ) = 0 ;若 在 上是 − a a f x dx f (x) [−a, a] 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 2 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 可积的偶函数,则」f(x)dx=2f(x)h (7)若∫(x)是可积的周期函数,且周期为T,则对任意实数a必有 ∫(x)kx=|。f(x)dx。 (8)若连续函数f(x)满足f(x)x=0,则存在x0∈(ab)使得f(x)=0 (证明方法1:由中值定理;证明方法2:由连续函数的保号性) (9)若非负连续函数f(x)满足(x)d=0,则vx∈[a,b],f(x)=0 (证明方法:由连续函数的保号性与积分的保号性,反证) 例6.1设1= 2sin(sinxydx,12=5 cos(sin x ydr.,则(A) (A)l11>12° (c)l1= (D)l1>l2>1 【解】当x∈(0 sinxsinx,于是 1 2=cos(sin x )dx>2 cos xx=1>II 例6.2估计积分「e-的范围 【解】ma(x2-2x)=0.,m(x2-2x)=-1,因此 2e=hedrsbe-2dxsledx=2 例68设M=1(+小+x),N= Ldx, p= 则(A) (AP<M<N (B)M<N<P。(0)M<P<N。()N<P<M。 【解】由于M为奇函数在对称区间的积分,故为0; 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 可积的偶函数, 则 。 ∫ ∫ = − a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) （7）若 是可积的 周期函数, 且周期 为 T ，则对 任意实数 必 有 。 f (x) a ∫ ∫ = a+T T a f x dx f x dx 0 ( ) ( ) （8）若连续函数 f (x) 满足 ∫ ( ) = 0 ，则存在 b a f x dx ( , ) x0 ∈ a b 使得 ( ) 0 。 f x0 = （证明方法 1：由中值定理；证明方法 2：由连续函数的保号性） （9）若非负连续函数 f (x) 满足 ∫ ( ) = 0 ，则 b a f x dx ∀x ∈[a,b], f (x) ≡ 0。 （证明方法：由连续函数的保号性与积分的保号性，反证） 例 6．1 设 I x dx ∫ = 2 0 1 sin(sin ) π ， I x dx ∫ = 2 0 2 cos(sin ) π ，则 ( A ). （A） 。 （B） 。 1 2 I 1 > I （C） 。 （D） . 1 2 I = I 1 I1 > I 2 > 【解】当 ) 2 (0, π x ∈ ，sin x sin x ，于是 I x dx ∫ = 2 0 2 cos(sin ) π 1 2 0 > cos xdx =1 > I ∫ π 。 例 6．2 估计积分 的范围. ∫ − 2 0 2 2 e dx x x 【解】 [ ]( ) [ ] max 2 0, min ( 2 ) 1 2 0,2 2 0,2 − = − = − ∈ ∈ x x x x x x ，因此 2 2 2 0 0 2 0 2 2 0 1 1 2 = ≤ ≤ = ∫ ∫ ∫ − − − e e dx e dx e dx x x 例 6．3 设 M x ln (x 1 x )dx 2 2 1 1 = + + ∫− ， dx x x x N ∫− + + = 1 1 2 3 1 ， ∫− + − = 1 1 2 2 3 (1 ) 1 dx x x P ， 则(A) 。 (A) P < M < N 。 (B) M < N < P 。(C) M < P < N 。 (D) N < P < M 。 【解】由于 M 为奇函数在对称区间的积分，故为 0； 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 3 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 √+x21=2(2-)>0,P=-2 dx0 【解】解法一f(x)在[-1区间内有第一类间断点,因此在[-1,1区间内不存在原 函数,不能直接用牛顿一莱布尼兹公式.利用对区间的可加性有 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 2 1 2( 2 1) 0 1 2 1 0 1 0 2 2 2 = + = − > + = ∫ x x dx N ， 0 (1 ) 1 2 2 2 1 0 − ≤ = 1 0 1 0 ( ) x x x x f x ∫− 1 1 f (x)dx 【解】 解法一 f (x) 在[−1,1]区间内有第一类间断点, 因此在[−1,1]区间内不存在原 函数, 不能直接用牛顿—莱布尼兹公式. 利用对区间的可加性有 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 4 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 f(x)dx=lf(x)dx+ f(x)dx 在[-1,0],[0,1内分别可以用牛顿一莱布尼兹公式 f(x)dx f(x)dx 2 故 f(x)dx=0。 解法二f(x)是[-1,的奇函数 f(rdx=0 例 (1+x)cos x 6.7 求」 【解】「2 (+x)cosx coS x SInx -dx=-ln 1+cos- x 6.22变量替换法 第一换元法的基本思路(凑微分方法) f(xdx=f(b)-f(a f(o(x)o'(x)dx=f(o(x) 第二换元法的基本思路 ∫(x)k=Jo),()=F(o)l其中要求(x)与o(0连续,x=o( 有反函数t=-(x),且a=o(a,b=0(B),「f(x)hx=F(x)+C 换元法的重要应用之一是区间变换:以改变积分区间为特定目的的变换 l,(a,b)=」f(x)d f(x)dx→f(x(m)x(d 令 ∫(x)dx→f(x(m)x(t)dt 还有反号变换:t=-x,倒数变换:t= 广泛用于积分的合并与拆分。 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ∫− ∫− ∫ = + 1 0 0 1 1 1 f (x)dx f (x)dx f (x)dx 在[−1,0],[0,1]内分别可以用牛顿—莱布尼兹公式, 2 3 2 ( ) 0 1 2 0 1 = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ∫− x x f x dx ， 2 3 2 ( ) 1 0 2 1 0 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ∫ x x f x dx 故 =0。 ∫− 1 1 f (x)dx 解法二 f (x) 是[−1,1]的奇函数, =0. ∫− 1 1 f (x)dx 例 6．7 求 dx x x x ∫− + + 2 2 2 1 cos (1 ) cos π π 。 【解】 dx x x dx x x x ∫ ∫ + = + + − 2 0 2 2 2 2 1 cos cos 2 1 cos (1 ) cos π π π 2 1 2 1 ln 2 1 2 sin (sin ) 2 2 0 2 − + = − = ∫ dx x d x π 6.2.2 变量替换法 第一换元法的基本思路（凑微分方法）: f (x)dx f (b) f (a) b a ′ = − ∫ b a b a f ′(ϕ(x))⋅ϕ′(x)dx = f (ϕ(x)) ∫ 第二换元法的基本思路: β α β α f (x)dx f (ϕ(t)) ϕ (t)dt F(ϕ(t)) b a = ⋅ ′ = ∫ ∫ 其中 要求 f (x) 与ϕ′(t) 连续， x = ϕ(t) 有反函数 ( ) ,且 1 t x − = ϕ a = ϕ(α),b = ϕ(β ) ， f x dx = F x +C ∫ ( ) ( ) 。 换元法的重要应用之一是区间变换：以改变积分区间为特定目的的变换： ∫ = b a I f (a,b) f (x)dx f x dx f x t x t dt b a ( ) ( ( )) ( ) 1 0 ⇒ ′ ∫ ∫ ： 令 b a x a t − − = ， f x dx f x t x t dt d c b a ( ) ⇒ ( ( )) ′( ) ∫ ∫ ： 令 d c c b a x a t − + − − = ( ) ， 还有反号变换：t = −x ，倒数变换： x t 1 = 。 广泛用于积分的合并与拆分。 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 5 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 例6.8求 d u 【解】令l=-x, 再令=2sect,则dlu=2 tan sector, 当u=3时1= arccos2,当u=4时t=z 、4-、上 2 tant sec t coSt dt d sin t arccos- COS sin t 1+sin t 再令y=sint(可直接利用凑微分法), dint 21-u5 =ln(2+√3)-ln(3+√5)+ln2。 例69设()-c03x=5/(2+,求5/( 【解】记「f(x)x=1,再令2x=u,则d=dm f(2x)=「f(u) 对等式/(x)-cos2x=∫3/(2x)两边取积分得到 即I-|2cos2xhx=- 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 例 6．8 求 ∫ − − − 3 4 2 x 4 dx 。 【解】令u = −x , ∫ − − − 3 4 2 x 4 dx = ∫ − 4 3 2 u 4 du . 再令u = 2sect , 则 du = 2tansectdt , 当u = 3时 3 2 t = arccos ,当u = 4 时 3 π t = , = − ∫ − − 3 4 2 x 4 dx ∫ ∫ = − 3 3 2 arccos 4 3 2 2 tan 2 tan sec 4 π dt t t t u du ∫ = 3 3 2 arccos 2 cos cos π dt t t ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = 3 3 2 arccos sin 1 sin 1 1 sin 1 2 1 π d t t t 再令 y = sin t （可直接利用凑微分法）, ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − 3 3 2 arccos sin 1 sin 1 1 sin 1 2 1 π d t t t 2 3 3 5 2 3 3 5 1 1 ln 2 1 1 1 1 1 2 1 u u dy y y − + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = ∫ = ln(2 + 3) − ln(3+ 5) + ln 2 。 例 6．9 设 ( ) ( ) ∫ − = 4 0 2 cos 2 π f x x f x dx ，求 ( ) ∫ 2 0 π f x dx 。 【解】 记 f ( ) x dx = I ∫ 2 0 π ，再令2x = u ，则 dx du 2 1 = ， ( ) = ∫ 4 0 2 π f x dx f ( ) u du I 2 1 2 1 2 0 = ∫ π 。 对等式 ( ) ( ) ∫ − = 4 0 2 cos 2 π f x x f x dx 两边取积分得到, ( ) dx I I f x x dx 2 4 [ cos ] 2 0 2 0 2 π π π − = = ∫ ∫ . 即 I xdx I 4 cos 2 0 2 π π − = ∫ ， 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 6 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 故Ⅰ--1 cO 因此I=f( 例6.10设∫(x)是[0,1上的连续函数,则(D)。 (A)J x'(sin x)dx=T/(s (B)xf(sin x )dx=2r.f(sin x)dx xf(sin x )da ∫(sinx) (D)yf (sin x)dx=of( 【解】令x=x-1,dx=-dt T-of(sin n)a -」y(sint+rlf( (sin t)dt, 移项得知答案为D 6.2.3分部积分法 设∫(x)与g(x)在[a,b连续,F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数,则 r/(xg(x)dr=F(x)g(x)a-F(x)g(x)dx 例6.11求n SIn xdx=xInxli-[xd(nx) 例6.12证明∫sixd= J o cos"xa,并求J=Jsm”d 【证】令x COS cos"xdx sm”xdk=s 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 故 I I xdx ∫ − = 2 0 2 cos 4 π π 2 2 4 1 π π = ⋅ = , 因此 = = ∫ I f x dx 2 0 ( ) π π π 4 − 。 例 6.10 设 f ( x) 是[0, 1]上的连续函数, 则（ D ）。 (A) ∫ ∫ = π π π 0 0 xf (sin x)dx f (sin x)dx (B) , ∫ ∫ = π π π 0 0 xf (sin x)dx 2 f (sin x)dx (C) ∫ ∫ = π π 0 π 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx (D) ∫ ∫ = π π π 0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx 【解】 令 x = π − t, dx = −dt ， ∫ ∫ = − − 0 0 (sin ) ( ) (sin ) π π xf x dx π t f t dt ， ∫ ∫ = − + π π π 0 0 tf (sin t)dt f (sin t)dt 移项得知答案为 D。 6.2.3 分部积分法 设 f (x) 与 g′(x) 在[a,b]连续， F(x) 为 f (x) 在[a,b]上的一个原函数，则 ∫ ∫ = − ′ b a b a b a f (x)g(x)dx F(x)g(x) F(x)g (x)dx 例 6．11 求 ∫ e e 1 ln xdx . 【解】 ( ) ∫ ∫ = − e e e e e e 1 ln xdx x ln x 1 1 xd ln x e dx e e e e 1 2 ⎟ − 1 = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ∫ 。 例 6．12 证明 ∫ 2 0 sin π xdx n ∫ = 2 0 cos π xdx n ，并求 ∫ = 2 0 sin π J xdx n n 。 【证】令 x = − t 2 π ， ∫ = − 0 J π cos tdt n n 2 ∫ = 2 0 cos π xdx n 。 ∫ ∫ = = − 2 2 − 0 1 0 sin sin ( cos ) π π I xdx xd x n n n 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 7 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 -sin-xcos x2+(n-1 sin"-xcos'xdx Jn-2,(n=2,3,…),初值:l0 注:上述结果称为积分的递推公式,常用递推公式有一步递推或二步递推格式,应指出 的是,以递推公式表示积分结果,必须给出初值,一步递推格式需有一步初值,二步递 推格式需有二步初值,才能构成完备的计算格式。 上述结果可归纳得到下述实用形式: (2n-1) (2n).3,Im (n=1,2,3……)。 (2n+1)! 例6.13I e +sin x dx=()。 8 z。()1。(0)x 【解】由对称性与积分概念,立即得知答案 选(B) 85315 例614已知A=/e d,则 谷案:1--+A 【解】因为A=dt 1+t 所以 (1+1)2 1+t 例615设n为正整数,计算∫x(1-xya. 【解】(方法1) 「nx(-xyak n+1 n+1 (n+1)n+2)。(n+1(n+2)0 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ( 1)( ) sin cos ( 1) sin cos 2 0 2 2 2 0 1 2 n n n n n I I x x n x xdx = − − = − + − − − − ∫ π π 2 1 − − n = n I n n I ，（ n = 2,3,L），初值： , 1 2 I 0 = I1 = π 。 注：上述结果称为积分的递推公式，常用递推公式有一步递推或二步递推格式，应指出 的是，以递推公式表示积分结果，必须给出初值，一步递推格式需有一步初值，二步递 推格式需有二步初值，才能构成完备的计算格式。 上述结果可归纳得到下述实用形式： 1 (2 1)!! (2 )!! , (2 )!! 2 (2 1)!! 2 2 1 ⋅ + ⋅ = − = + n n I n n I n n π （ n = 1, 2,3,L）。 例 6.13 = − + = ∫ dx e e x I x x 2 0 sin cos 5 8 sin π （ ） 。 (A) 4 π 。(B) 15 1 。(C) 8 π 。(D) 30 1 。 【解】 由对称性与积分概念，立即得知答案 15 1 3 2 5 4 8 1 I = ⋅ ⋅ = ，选(B). 例 6.14 已知 dt t e A t ∫ + = 1 0 1 ，则 = + ∫ dt t et 1 0 2 (1 ) ．答案： A e − + 2 1 。 【解】 因为 dt t e A t ∫ + = 1 0 1 ， 所以 ∫ ∫ + + + = − + 1 0 1 0 1 0 2 (1 ) 1 1 dt t e t e dt t et t t A e = − + 2 1 。 例 6.15 设n 为正整数, 计算 . ∫ − 1 0 2 x (1 x) dx n 【解】（方法 1） ∫ − 1 0 2 x (1 x) dx n x x dx n n x x n n ∫ + + − + + + − = − 1 0 1 1 0 2 1 (1 ) 1 2 1 (1 ) x dx n n n n x x n n ∫ + + − + + + + + − = − 1 0 2 1 0 2 (1 ) ( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) (1 ) 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 8 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 (n+1)n+2)n+3)。(n+1n+2)n+3) (方法2)令1-x=1,dx=-d,则有 「。x(0- x)"dx=Jr(1-)3dt 6.3变限积分 6.3.1变上限积分 设f(x)在[a上可积wx∈abl存在唯一的实数∫(与之对应,因此变上 限积分∫/(定义了一个函数,记作F(x)=(M,我们称其为变上限积分 定理64()若f(x)在b]上可积则变上限积分F(x)=J(0定义的函数在 [a,b]上连续 注:F(x)不一定是f(x)在[,b上的原函数 ()若f(x)在b]上连续,则变上限积分F(x)=。(0定义的函数在ab上可 导,且 d a(())=f(x).(注意:F(x)-定是f(x)在a上的一个原函数) 证 (1) ∈[a,b] F(x)=f(o) 则 △F( f(dt- f(odi f(odt 因为f(x)在[a,b]上可积,因此f(x)在[a,b]上有界,即x∈[a,b]存在M>0使得 (x)≤M,于是 0≤AF(x)≤.f()olsM△x 由夹逼定理可得imAF(x)=0,因此F(x)=f()d在ab]上连续 (2) f(odt dx 2[:0(0-m[- 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ( 1)( 2)( 3) 2 ( 1)( 2)( 3) 2(1 ) 1 0 3 + + + = + + + − = − + n n n n n n x n （方法 2）令1− x = t, dx = −dt ，则有 ∫ − 1 0 2 x (1 x) dx n 3 1 2 2 1 1 (1 ) 1 0 2 + + + − + = − = ∫ n n n t t dt n 6.3 变限积分 6.3.1 变上限积分 设 在 上可积, 存在唯一的实数 与之对应, 因此变上 限积分 定义了一个函数, 记作 ，我们称其为变上限积分。 f (x) [a,b] ∀x ∈[a,b], ∫ x a f (t)dt ∫ x a f (t)dt ∫ = x a F(x) f (t)dt 定理 6.4 (1) 若 在 上可积, 则变上限积分 定义的函数在 上连续。 f (x) [a,b] ∫ = x a F(x) f (t)dt [a,b] 注： F(x) 不一定是 f (x) 在[a,b]上的原函数。 (2) 若 在 上连续, 则变上限积分 定义的函数在 上可 导, 且 f (x) [a,b] ∫ = x a F(x) f (t)dt [a,b] f (t)dt f (x) dx d x a ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ 。（注意： F(x) 一定是 f (x) 在[a,b]上的一个原函数）。 【证】 （1） ∀x ∈[a,b], ， 则 ， ∫ = x a F(x) f (t)dt ∫ ∫ ∫ +∆ +∆ ∆ = − = x x x x a x x a F(x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt 因为 f (x) 在[a,b]上可积, 因此 f (x) 在[a,b]上有界，即∀x ∈[a,b], 存在 M > 0 使得 f (x) ≤ M ，于是 F x f t dt M x x x x ≤ ∆ ≤ ≤ ∆ ∫ +∆ 0 ( ) ( ) 由夹逼定理可得 lim ( ) 0 ，因此 在 上连续; 0 ∆ = ∆ → F x x ∫ = x a F(x) f (t)dt [a,b] (2) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ x a f t dt dx d ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∆ = ∫ +∆ ∆ → x x x x f t dt x ( ) 1 lim 0 ⎥⎦ ⎤ ∆x→0 ∆x ⎢⎣ a a ⎡ = − ∫ ∫ x+∆x x f (t)dt f (t)dt 1 lim ∫ +∆ ∆ → ∆ = x x x x dt x f ( ) lim 0 ξ 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 9 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 f(2)=f(x) 上式中为x与x+△x之间的一个数,(上述证明用到积分中值定理) 例6.16设F(x)=「f(M,其中f(x)= 2-x2,0<x≤2 则F(x)在[-1,2]内[D] (A)是f(x)的原函数.(B)可导 (C)不连续; D)连续但不可导 【解】f(x)是在[-1,2]上有第一类间断点的可积函数,没有原函数。 注:变下限积分/有同样的性质,且∠(/0-e 6.32复合变限积分 定理6.5(1)若f(x)在[a,b]上可积,a(x),B(x)在[a,b]上连续,则复合变限积分 f(t)dt是连续函数 (2)若/(x)在b上连续,a(x)B(x)在n上可导则复合变限积分∫( 是可导函数,其导数为 6.33变限积分的相关问题 既然变限积分定义了一个函数,那么一元徽分中对函数的所有运算,对变限积分也同样 可以进行。例如,我们可以处理下列问题: 变限积分定义的函数作为无穷小量阶的估计;罗必达法则在变限积分定义的函数 极限问题中的应用。 变限积分定义的函数的单调性及极值问题 变限积分定义的函数的泰勒展开 变限积分定义的函数的积分问题 关于原函数的一些重要结论 结论1连续奇函数之原函数必为偶函数 结论2连续偶函数之原函数必为奇函数与常数之和,其中只有一个为奇函数(C=0)。 结论3连续周期函数之原函数必为周期函数与线性数之和,且周期不变。 连续周期函数∫(x)之原函数为周期函数的充要条件是 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 lim ( ) ( ) ( ) 0 f f x x x = = → ∆ → ξ ξ 上式中ξ 为 x 与 x + ∆x之间的一个数，（上述证明用到积分中值定理）。 例 6.16 设 F x f t dt ，其中 x ∫ = 0 ( ) ( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < ≤ − ≤ ≤ = 2 , 0 2. , 1 0, ( ) 2 2 x x e x f x x 则 F(x) 在[−1,2]内[ D ]。 (A)是 f (x) 的原函数. (B)可导. (C)不连续； (D) 连续但不可导。 【解】 f (x) 是在[−1,2]上有第一类间断点的可积函数, 没有原函数。 注：变下限积分 ∫ 有同样的性质。且 b x f (t)dt f (t)dt f (x) dx d b x ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ 6.3.2 复合变限积分 ∫ ( ) ( ) ( ) x x f t dt β α 定理 6.5 (1) 若 f (x) 在[a,b]上可积, α(x), β (x) 在 上连续，则复合变限积分 是连续函数。 [a,b] ∫ ( ) ( ) ( ) x x f t dt β α (2) 若 f (x) 在[a,b]上连续，α(x), β (x)在 上可导,则复合变限积分 是可导函数, 其导数为 [a,b] ∫ ( ) ( ) ( ) x x f t dt β α ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) f t dt f x x f x x dx d x x β β α α β α ⎟ = ′ − ′ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ 6.3.3 变限积分的相关问题 既然变限积分定义了一个函数, 那么一元微分中对函数的所有运算，对变限积分也同样 可以进行。例如，我们可以处理下列问题： 变限积分定义的函数作为无穷小量阶的估计; 罗必达法则在变限积分定义的函数 极限问题中的应用。 变限积分定义的函数的单调性及极值问题; 变限积分定义的函数的泰勒展开; 变限积分定义的函数的积分问题. 关于原函数的一些重要结论 结论 1 连续奇函数之原函数必为偶函数。 结论 2 连续偶函数之原函数必为奇函数与常数之和，其中只有一个为奇函数（C = 0）。 结论 3 连续周期函数之原函数必为周期函数与线性数之和，且周期不变。 连续周期函数 f (x) 之原函数为周期函数的充要条件是 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 10 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805