第五章留数及其应用 本章中心问题是留数定理,前面讲的柯西定 理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况,并 且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重 要意义,它是复积分与复级数理论相结合的产物玩 为此先对解析函数的孤立奇点进行分类 2021/224
2021/2/24 4 第五章 留数及其应用 ▪ 本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定 理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并 且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重 要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物， 为此先对解析函数的孤立奇点进行分类
第五章留数及其应用 >51孤立奇点 >52留数 >53留数在定积分计算中的应用 本章小结 ☆思考题 2021/224
2021/2/24 5 第五章 留数及其应用 ➢5.1 孤立奇点 ➢5.2 留数 ➢5.3 留数在定积分计算中的应用 ➢本章小结 ❖ 思考题
第一节孤立奇点 一、奇点的分类 定义:若函数f()在处不解析,但在的某一去心邻域0<-<0处处解析, 则称=0为函数f()的孤立奇点 如:==0是函数()=的孤立奇点,也是函数()=e的孤立奇点 如=0是函数f()=-,的一个奇点 sIn 除此之外, 1(2=12…)也是它的一个奇点, 当n的绝对值逐渐增大时,亠可任意接近z=0, n元 即在=0不论怎样小的去心邻域,总有函数f(=)奇点存在 所以=0不是函数f(=)的孤立奇点 2021/224
2021/2/24 6 第一节 孤立奇点 ➢ 一、奇点的分类 定义： 0 若函数 在 处不解析， f z z ( ) 0 0 但在 的某一去心邻域 内处处解析， z z z 0 − 0 则称 为函数 的 z f z( )1 z f z 0 ( ) z 如： 是函数 的孤立奇点， = = 1 ( ) . z 也是函数 的孤立奇点 f z e = 1 0 ( ) 1 sin z f z z 如 是函数 的一个奇点， = =1 ( 1, 2, ) n z n n 除此之外， 也是它的一个奇点， = = 1 n z 0 n 当 的绝对值逐渐增大时， 可任意接近 ， = 即在 不论怎样小的去心邻域，总有函数 的奇点存在， z f z = 0 ( ) 所以 不是函数 的孤立奇点 z f z = 0 ( ) . 孤立奇点
孤立奇点分类: 函数(-)在孤立奇点的邻域0<2--0<展为洛朗级数为: f(z)=∑C(z-=0)+∑Cn(x-=) 解析部分 主要部分 (1)主部消失即只有∑Cn(=2-),则称=为函数()可去奇点 (2)主部仅含有限项m项,则称为函数()的m阶极点 (3)主部含有无限多项,则称为函数()本性奇点 2021/224
2021/2/24 7 孤立奇点分类： (1)主部消失 0 0 函数 在孤立奇点 的邻域 内展为洛朗级数为： f z z z z ( ) 0 − f z( ) = 0 0 ( )n n n C z z = 即只有 ， − 0 则称 为函数 的 z f z( ) (2)主部仅含有限项 (m项), 0 则称 为函数 的 z f z( ) (3)主部含有无限多项， 0 则称 为函数 的 z f z( ) 0 0 ( )n n n C z z = − + 0 1 ( ) n n n C z z − − = − 解析部分 主要部分 可去奇点 m阶极点 本性奇点
例1.说明点=0是函数/(2)= Sin 的可去奇 解:函数()在=0去心邻域内可展开成洛朗级数为 f(=) z-+-2 展开式中不含负幂项, →z=0是函数f(=) SIn 的可去奇点 ∠ 2021/224
2021/2/24 8 • 例1． 解： sin 0 ( ) z z f z z 说明点 是函数 的可去奇点. = = 函数 在 的去心邻域内可展开成洛朗级数为： f z z ( ) 0 = 3 5 sin 1 ( ) ( ) 3! 5! z z z f z z z z = = − + − 1 1 2 4 1 , 3! 5! = − + − z z 展开式中不含负幂项，sin 0 ( ) z z f z z = = 是函数 的可去奇点
二、可去奇点 可去奇点的解析化: 若a为函数f(=)可去奇点,则f()在的去心邻城内的 洛朗级数就是一个不含负幂项的级数为: f(=)=C+C1(=-50)+C2(=-=0) 0<z 显然这个幂级数的和函数F()在-<0处处解析 f(=)=Co=lim F(z)=lim f(z) 2→2 2→ 2021/224
2021/2/24 9 0 若 为函数 的可去奇点，则 z f z( ) 0 f z z ( )在 的去心邻域内的 洛朗级数就是一个不含负幂项的级数为： 2 0 1 0 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ,0 n n f z C C z z C z z C z z z z = + − + − + − + − 0 显然这个幂级数的和函数 在 内处处解析. F z z z ( ) − 0 0 0 0 ( ) lim ( ) lim ( ). z z z z f z C F z f z → → 令 = = = ➢ 二、可去奇点 可去奇点的解析化：
孤立奇点二0为可去奇点的判别方法: 设。为函数(=)的孤立奇点,则下列条件是等价的, (l)2为函数f(-)可去奇点; (2)函数()在二点的洛朗级数展开式中不含二-的负幂项, f(=)=C0+C1(z-z)+…+Cn(=-=0)”+ (3)limf(-)=C,(C为一常复数); 2→>50 (4)函数f()在=某去心邻域内有界 ? 若=为f()的极点,则mf(x)=? 2021/224
2021/2/24 10 0 孤立奇点 为可去奇点的判别方法： z 0 设 为函数 的孤立奇点，则下列条件是等价的, z f z( ) 0 (1) ( ) z f z 为函数 的可去奇点； 0 0 (2) ( ) 函数 在 点的洛朗级数展开式中不含 的负幂项，即 f z z z z − 0 1 0 ( ) ( ) ( )n n f z C C z z C z z = + − + + − + 0 0 0 (3) lim ( ) z z f z C C → = ,（ 为一常复数）； 0 (4) ( ) 函数 在 某去心邻域内有界. f z z 0 若 为 的极点，则 z f z( ) 0 lim ( ) ? z z f z → =
三、极点 如果在洛朗级数展开式中只有有限多个-二的负幂项, 且关于(z-=0)的最高幂为(z-=0)",即 f(-)=Cn(2-20)m+…+C2(z-0)2+C1(x2-=0)+C+C1(z-=0)+……,(m≥1,C-m≠0 则孤立奇点=称为函数f()的m价极点 下面讨论m阶极点的特征: (1)f() Cn+Cm1(2-0)+Cm+2(-=0)2+……+C1(x-=0)m ∑ g(=) 这里g()满足:①)在圆域二-=0|<i是解析函数; (2)g(=0)≠0. 2021/224
2021/2/24 11 ➢ 三、极点 0 如果在洛朗级数展开式中只有有限多个 的负幂项， z z − 1 0 0 ( ) ( ) m z z z z − − 且关于 的最高幂为 ，即 − − 2 1 0 2 0 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , m m f z C z z C z z C z z C C z z − − − = − + + − + − + + − + − − − ( 1, 0) m C −m 0 则孤立奇点 称为函数 的 阶极点. z f z m ( ) 2 1 1 0 2 0 1 0 0 1 1 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m m f z C C z z C z z C z z z z − = + − + − + + − − − + − + − − （ ） 0 1 ( ) ( )m g z z z = − 这里 满足： g z( ) 0 （）在圆域 内是解析函数； 1 z z − 0 （ ）2 ( ) 0. g z 0 0 ( ) ] n m n n C z z + = + − 下面讨论 阶极点的特征： m
(2)反过来,当任何一个函数f()能表示为f(=) g(=)的形式 g(二)在--<a达解析且g(二)≠0,那么二是函数()的m价介极点 判定=是函数/()极点的另一方法 而im/()=im1 mg(=)=+ →lm/()=a定是函数()阶极点的又方法 2→20 2021/224
2021/2/24 12 0 1 ( ) ( ) ( ) ( )m f z f z g z z z = − （2）反过来，当任何一个函数 能表示为 的形式， 0 0 g z z z g z ( ) ( ) 0 在 内解析且 ， − 0 那么 是函数 的 阶极点. z f z m ( ) 0 判定 是函数 的 阶极点的另一方法. z f z m ( ) 0 0 0 1 lim ( ) lim ( ) ( )m z z z z f z g z → → z z = = + − 而 0 lim ( ) . z z f z → = 0 判定 是函数 的 阶极点的又一方法. z f z m ( )
孤立奇点为极点的判别方法: 设为函数f(-)的孤立奇点,则下列条件是等价的, (1)是函数f()的m阶极点; (2)函数f()在点=处的洛朗展开式为: f(=) +∑Cn(-=0)(Cm≠0.m>0) 2-2 2-2) (3)极限lmf(=)=O,缺点:不能指明极点的阶数 (4)函数f(二)在点二的某去心邻域内能表示成: f(=) g(=), 其中g(=)在〓的邻域内解析,且g(=0)≠0 2021/224
2021/2/24 13 0 孤立奇点 为极点的判别方法： z 0 设 为函数 的孤立奇点，则下列条件是等价的, z f z( ) 0 (1) ( ) z f z m 是函数 的 阶极点； 0 (2) ( ) 函数 在点 处的洛朗展开式为： f z z 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( 0, 0) ( ) ( ) m n m n m n C C f z C z z C m z z z z + − − − = = + + + − − − 0 (4) ( ) 函数 在点 的某去心邻域内能表示成： f z z 0 1 ( ) ( ), ( )m f z g z z z = − 0 0 其中 在 的邻域内解析，且 g z z g z ( ) ( ) 0. 0 (3) lim ( ) z z f z → 极限 ， = 缺点：不能指明极点的阶数