江画工太猩院 第4节 隐含数、参数方程求导
江西理工大学理学院 第 4 节 隐含数、参数方程求导
江画工太猩院 一、隐函数的导数 定义:由方程所确定的函数y=y(x)称为隐函数 y=f(x)形式称为显函数 F(x,y)=0y=f(x)隐函数的显化 问题隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
江西理工大学理学院 一、隐函数的导数 定义:由方程所确定的函数 y = y ( x )称为隐函数 . y = f ( x ) 形式称为显函数 . F ( x , y ) = 0 y = f ( x ) 隐函数的显化 问题 :隐函数不易显化或不能显化如何求导 ? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
江画工太猩院 例1求由方程xy-e+e"=0所确定的隐函数 y的导数,小 dc’dx2 解方程两边对求导, y+x-e"+e;= d x 解得=-,由原方程知x=0y2=0, d x xte e-y x+e1/
江西理工大学理学院 例1 , . 0 =0 − + = x x y dx dy dx dy y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对x求导, + − + = 0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , y x x e e y dx dy + − = 由原方程知 x = 0, y = 0, 0 0 0 = = = + − ∴ = y y x x x x e e y dx dy = 1
例2设方程sm(q)-hmx+=1所确定的隐函数 y=y(x),求 dy x=0 解方程两边对x求导得 cos(ry (xy ) -[In(x+)-Iny=0 整理得c0s(x),(y+xy)-( x+1 由原方程知x=0,y=e并将它们代入上式得: e-(1--·y(0)= e ¨=0=y10)=201-)
江西理工大学理学院 例2 ( ), . 1 1 sin( ) ln = =0 = + − x dx dy y y x y x xy 求 设方程 所确定的隐函数 解 方程两边对 x求导,得 cos(xy)⋅(xy)′ − [ln( x + 1) − ln y]′ = 0 整理得 ) 0 1 1 cos( ) ( ) ( = ′ − + ⋅ + ′ − yy x xy y xy 由原方程知 x = 0, y = e,并将它们代入上式得： (0) (1 ) 0 y e e dxdy ∴ x= = ′ = − (0)) 0 1 − (1 − ⋅ y′ = e e
江画工太猩院 例3设曲线C的方程为x3+p3=3x,求过C上 点(,的切线方程,并证明曲线C在该点的法 22 线通过原点. 解方程两边对x求导,3x2+3y2y=3y+3x y 2y2-x元-1 所求切线方程为2N-(x-)即x+y-3=0. 法线方程为y-=x-。即 2即y=x,显然通过原点
江西理工大学理学院 例3 . ) , 23, 23( 3 , 3 3 线通过原点 点 的切线方程 并证明曲线 在该点的法 设曲线 的方程为 求过 上 C C x + y = xy C 解 方程两边对 x求导, 3x + 3 y y′ = 3 y + 3xy′ 2 2 ) 23, 23( 2 2 ) 23, 23( y x y x y − − ∴ ′ = = −1. 所求切线方程为 ) 23 ( 23 y − = − x − 即 x + y − 3 = 0. 2 3 2 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x, 显然通过原点
江画工太猩院 例4设x4-x+y4=1,求y在点(0,)处的值 解方程两边对x求导得 4x3-y-xy+4yy'=0 代入x=0,y=1得yx=0 将方程(1)两边再对x求导得 12x2-2y-xy+12y(y)+4yy"=0 代入x=0,y=,y=1=得y"-=1 16
江西理工大学理学院 例4 1, (0,1) . 设 x4 − xy + y4 = 求y′′在点 处的值 解 方程两边对 x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x − y − xy′ + y y′ = 代入 x = 0, y = 1得 ; 41 1 ′ 0 = ==yx y 将方程(1)两边再对x求导得 12 2 12 ( ) 4 0 2 2 2 3 x − y′ − xy′′ + y y′ + y y′′ = 得41 1 ′ 0 = ==yx 代入 x = 0, y = 1, y . 161 1 ′′ 0 = − ==yx y
例5设方程y=1+x2所确定的隐函数升 求 d"y d x 解方程两边对x求导,得y=e"+xl'y( (1)式两边再对x求导,注意到y也是x的函数,得 y”=e"∵y+ey'+x·e"(y)2+x:e 所以 2e.y+xe(y) 1 -xe. 由①式得y 1-xe 2(e")2(1-xe")+x(e ,)32e+xe (1-xe)o (1-xe")3
江西理工大学理学院 例5 . 1 ( ), 2 2 dx d y y xe y y x y 求 设方程 = + 所确定的隐函数 = 解 方程两边对 x求导,得 y e xe y (1) y y ′ = + ⋅ ′ ( ) , 2 y e y e y x e y x e y y y y y ′′ = ⋅ ′ + ⋅ ′ + ⋅ ⋅ ′ + ⋅ ⋅ ′′ y y y xe e y xe y y − ⋅ ′ + ⋅ ′ ′′ = 1 2 ( )2 所以 3 2 3 3 2 3 (1 ) 2 (1 ) 2( ) (1 ) ( ) y y y y y y y xe e xe xe e xe x e y − + = − − + ∴ ′′ = y y xe e y − ′ = 1 由（1）式得 (1)式两边再对 x求导,注意到 y′也是x的函数，得
江画工太猩院 二、对数求导法 观察函数y=(x+1,3x-1 sInX y=x (x+4)2e2 方法 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导 方法求出导数 对数求导法 适用范围: 多个函数相乘和幂指函数(x)y的情形
江西理工大学理学院 二、对数求导法 观察函数 , . ( 4) ( 1) 1 sin 23 x x y x x e x x y = + + ⋅ − = 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围: ( ) . 多个函数相乘和幂指函数u x v ( x )的情形
江画工太猩院 例6设y=(x+1)x-1 求 (x+4)e 解等式两边取对数得 In y=In(x+1)+In(x-1)-2In(x +4)=x 上式两边对x求导得 2 + yx+13(x-1)x+4 x+1)x (x+4)2e2x+13(x-1)x+4
江西理工大学理学院 例6 解 1] 4 2 3( 1) 1 1 1 [ ( 4) ( 1) 1 2 3 − + − − + + + + − ∴ ′ = x e x x x x x y x 等式两边取对数得 y = x + + ln( x − 1) − 2ln( x + 4) − x 31 ln ln( 1) 上式两边对 x求导得 1 4 2 3( 1) 1 1 1 − + − − + + = ′ y x x x y , . ( 4) ( 1) 1 2 3 y x e x x y x ′ + + ⋅ − 设 = 求
江画工太猩院 例7设y=x(x>0),求y 解等式两边取对数得my= e sinx. nx 上式两边对x求导得 y=c0s·nx+sinx ∴y= y(cosx·nx+sinx sIn x x(cos. Inx+
江西理工大学理学院 例7 解 ( 0), . sin y x x y x 设 = > 求 ′ 等式两边取对数得 ln y = sin x ⋅ ln x 上式两边对x求导得 x y x x x y 1 cos ln sin 1 ′ = ⋅ + ⋅ ) 1 (cos ln sin x ∴ y′ = y x ⋅ x + x ⋅ ) sin (cos ln sin x x x x x x = ⋅ +