江画工太猩院 第6节 微分及其应用
江西理工大学理学院 第 6 节 微分及其应用
江画工太猩院 一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 设边长由x1变到x0+△x, 正方形面积A=xn △A=(x0+△)2-x A 2xn△x+(△x)2 (1):Ax的线性函数,且为△A的主要部分; (2):△x的高阶无穷小,当△r很小时可忽略
江西理工大学理学院 一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量 . 2 A = x 0 0 x 0 x , 0 0 设边长由 x 变到 x + ∆ x , 2 Q正方形面积 A = x 0 2 0 2 0 ∴ ∆A = ( x + ∆x ) − x 2 ( ) . 2 = x 0 ⋅ ∆x + ∆x ( 1 ) ( 2 ) ∆ x的线性函数 ,且为 ∆ A的主要部分 ; ∆ x的高阶无穷小 , 当 ∆ x 很小时可忽略 . ( 1 ): ( 2 ): ∆ x ∆x 2 ( ∆x ) x ∆x 0 x ∆x 0
江画工太猩院 再例如,设函数y=x在点x处的改变量 为△时,求函数的改变量Δy 4y=(x0+△x)3-x0 =3x2.△x+3xn(△x)2+(△)3 当Ax很小时,(2)是△x的高阶无穷小0(△x, ∴4y≈:3x2·△x—既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
江西理工大学理学院 再例如, , . 0 3 x y y x x ∆ ∆ = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 ∆y = (x + ∆x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 ⋅ ∆x + x ⋅ ∆x + ∆x (1) (2) 当∆x很小时, 3 . 2 ∴∆y ≈ x0 ⋅ ∆x (2)是∆x的高阶无穷小 o(∆x ), 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
江画工太猩院 微分的定义 定义设函数y=f(x)在某区间内有定义, xn及x0+△在这区间内,如果 Δy=f(x0+△x)-f(x0)=A·△x+0(△x) 成立(其中A是与△x无关的常数),则称函数 y=f(x)在点x可微,并且称A.△x为函数 y=f(x)在点x相应于自变量增量Δc的微分, 记作小,或(x,即小x=AA 微分小叫做函数增量y的线性主部微分的实质)
江西理工大学理学院 二、微分的定义 定义 ( ), . ( ) , ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 dy df x dy A x y f x x x y f x x A x A x y f x x f x A x o x x x x y f x x x x x = ⋅ ∆ = ∆ = ⋅ ∆ ∆ ∆ = + ∆ − = ⋅ ∆ + ∆ + ∆ = 记作 = 或 即 = 在点 相应于自变量增量 的微分 在点 可微 并且称 为函数 成立 其中 是与 无关的常数 则称函数 及 在这区间内 如果 设函数 在某区间内有定义 微分dy叫做函数增量 ∆y的线性主部 .(微分的实质)
江画工太猩院 由定义知 (1)是自变量的改变量△x的线性函数; (2)4y-y=0(△x)是比△x高阶无穷小; (3)当A≠0时,p与△y是等价无穷小; =1+ 0(△x) dA.△ →1(△x→>0). (4)A是与△x无关的常数,但与f(x)和x有关; (5)￥△x很小时,A≈小(线性主部)
江西理工大学理学院 由定义知: (1) dy是自变量的改变量 ∆x的线性函数 ; (2) ∆y − dy = o(∆x)是比 ∆x高阶无穷小 ; (3)当A ≠ 0时, dy与∆y是等价无穷小 ; dy ∆y Q A x o x ⋅ ∆ ∆ = + ( ) 1 → 1 (∆x → 0). (4) , ( ) ; A是与 ∆x无关的常数 但与 f x 和x0有关 (5)当∆x很小时,∆y ≈ dy (线性主部)
江画工太猩院 三、可微的条件 定理函数f(x)在点x可微的充要条件是函 数f(x)在点x处可导,且A=f(x 证(1)必要性:f(x)在点可微, y=A·△x+0(△x), My=At m 0(△x) A 则im4=A+Iim 0(△x) △x→0△ y △ 即函数f(x)在点x可导,且A=f(x)
江西理工大学理学院 三、可微的条件 ( ) , ( ). ( ) 0 0 0 f x x A f x f x x 数 在点 处可导 且 = ′ 定理 函数 在点 可微的充要条件是函 证 (1) 必要性 ( ) , Q f x 在点 x 0可微 ∴ ∆y = A⋅ ∆x + o ( ∆x), , ( ) x o x A x y ∆ ∆ = + ∆ ∆ ∴ x o x A x y x x ∆ ∆ = + ∆ ∆ ∆ → ∆ → ( ) lim lim 0 0 则 = A. ( ) , ( ). 0 x 0 即函数 f x 在点 x 可导 且 A = f ′
江画工太猩院 (2)充分性:函数f(x)在点x0可导, △ im+=f(x),即 Ax→0 ∫(x0)+α 从而y=f(x0)△x+0·(△x,:a→0(△x→>0), =f(x0),Ax+0( 函数f(x)在点x可微,且f(x)=A ∴可导兮可微.A=f(x) 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的 微分,记作或矿f(x),即=f(x)△x
江西理工大学理学院 (2) 充分性 ( ) ( ), 0 从而 ∆y = f ′ x ⋅ ∆x + α⋅ ∆x ( ) , = ′ 0 + α ∆∆ f x xy 即 ( ) , Q函数f x 在点x0可导 lim ( ), 0 0 f x xy x = ′ ∆∆ ∴∆ → Qα → 0 (∆x → 0), ( ) ( ), 0 = f ′ x ⋅ ∆x + o ∆x ( ) , ( ) . Q函数 f x 在点 x0可微 且 f ′ x0 = A . ( ). x0 ∴可导 ⇔ 可微 A = f ′ , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x = ′ ∆ = 微分 记作 或 即 函数 在任意点 的微分 称为函数的
江画工太猩院 例1求函数y=x3当x=2,△x=0.02时的微分 解:!=(x2)△x=3x2Ax 3x2△x_,=0.24. x=2 △r=0.02 △x=0.02 通常把自变量x的增量Ax称为自变量的微分, 记作,即=Ax y=∫(x) =f'(x) 即函数的微分小与自变量的微分之商等于 该函数的导数.导数也叫"微商
江西理工大学理学院 例1 解 2, 0.02 . 求函数 y = x3 当 x = ∆x = 时的微分 dy = (x )′∆x 3 Q 3 . 2 = x ∆x 0.02 2 2 0.02 2 3 ∆ = = ∆ = ∴ = = ∆ x x x dy x x x = 0.24. , . , dx dx x x x = ∆ ∆ 记作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 ∴dy = f ′(x)dx. f (x). dxdy = ′ 该函数的导数. 导数也叫"微商". 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
例2设y=(於中的 江画工太猩院 dx d(x)d(x) 解 dy dsin(x) cosx'd(x) cosr.2x d 2 2x x d dy dsin(x cosx d() coSX sIn(x cosr alr d(x3)d(x3)l(x3) cosx. 2xdx 2 —cos式 3x23x
江西理工大学理学院 例2 ( ) , ( ) sin( ), , 2 3 2 d x dy d x dy dx dy 设y = x 求 解 dx x d x dx d x dx dy [sin( )] cos ( ) 2 2 2 = = 2 2 2 2 2 2 2 cos ( ) cos ( ) ( ) [sin( )] ( ) x d x x d x d x d x d x dy = = = ( ) cos ( ) ( ) [sin( )] ( ) 3 2 2 3 2 3 d x x d x d x d x d x dy = = 2 2 2 cos 3 2 3 cos 2 x x dx x x xdx = ⋅ = 2 2 2 cos cos 2 x x dx x xdx = ⋅ =
江画工太猩院 四、微分的几何意义 几何意义:(如图) 当匀是曲线的纵 0(△x) 坐标增量时, M y y=f(r) 就是切线纵坐标 对应的增量. x0x0+△x 当很小时,在点M的附近, 切线段MP可近似代替曲线段MN
江西理工大学理学院 四、微分的几何意义 y = f ( x ) 0 x M N T dy ∆y o(∆x) ） x y o α ∆x 几何意义:(如图) . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 当 是曲线的纵 dy ∆y x + ∆x 0 P . , , MP MN x M 切线段 可近似代替曲线段 当 ∆ 很小时 在点 的附近