江画工太猩院 第五节 对面积的曲面积分
江西理工大学理学院 第五节 对面积的曲面积分
江画工太猩院 一、概念的引入 实例若曲面∑是光滑的,它的面密度为连 续函数p(x,y,z),求它的质量 1、分割: 将∑任意分成n小块:△S,△S3,…,△Sn9 2、近似: v(5,7h,5)∈△S, D(5;,7;:5;)△S,i=1,2,…,n 3、求和:∑p(5,m,5)△S 4、取极限im∑p(5,71,5;)AS λ→0i=1
江西理工大学理学院 一、概念的引入 若曲面Σ 是光滑的, 它的面密度为连 续函数ρ(x, y,z), 求它的质量. 实例 1、分割： 将∑任意分成n小块 : ∆S ∆S ∆Sn , , , 1 2 L 2、近似： ( , , ) , ∀ ξ i ηi ζ i ∈∆Si ρ(ξ i ,ηi ,ζ i)∆Si ,i = 1,2,L,n 3、求和：∑ = ∆ n i i i i Si 1 ρ(ξ ,η ,ζ ) 4、取极限： ∑ → = ∆ n i i i i Si 1 0 lim ρ(ξ ,η ,ζ ) λ
江画工太猩院 、对面积的曲面积分的定义 1定义设曲面是光滑的,函数f(x,y,x)在∑ 上有界,把Σ分成n小块ΔS(△S同时也表示 第i小块曲面的面积),设点(5,7;5).AS上 任意取定的点作乘积f(5,1,5)AS, 并作和∑f(5,m,9)AS,如果当各小块曲面 的直径的最大值→>0时,这和式的极限存在, 则称此极限为函数f(x,y,x)在曲面∑上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分
江西理工大学理学院 二、对面积的曲面积分的定义 设曲面 Σ是光滑的, 函数 f ( x , y , z ) 在 Σ 上有界, 把 Σ分成 n小块 ∆ S i （ ∆ S i同时也表示 第 i小块曲面的面积）,设点 ( , , ) ξ i ηi ζ i 为 ∆ S i 上 任意取定的点,作乘积 ( , , )⋅ i i i f ξ η ζ ∆ S i , 并作和 ∑= ⋅ n i i i i f 1 (ξ ,η , ζ ) ∆ Si , 如果当各小块曲面 的直径的最大值 λ → 0 时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x , y , z )在曲面 Σ上对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分. 1.定义
江画工太猩院 等价定义:设∑是一光滑曲面, f(x,y,z)是定义在∑上的有界函数, 1、分割:将∑任意分成n小块:4S},AS2,…,ASn 2、作乘积:V(,m1,51)∈AS1,f(5,mn,5;)4S;i=1,2, 3、求和:∑f(5,n,4)AS 4取极限:m∑f(5,m,4A 元→0 如果上述极限存在,则称该极限值为函数f(x,y,z) 在曲面∑上对面积的曲面积分,记为:(x,,xA
江西理工大学理学院 等价定义：设 ∑ 是一光滑曲面 , 1、分割： 将∑任意分成n小块 : ∆S ∆S ∆Sn , , , 1 2 L 2、作乘积：( , , ) , ∀ ξ i ηi ζ i ∈ ∆Si f (ξ i ,ηi ,ζ i )∆Si ,i = 1,2,L,n 3、求和： ∑ = n i i i i Si f 1 (ξ ,η ,ζ )∆ 4、取极限： ∑ = → n i i i i Si f 1 0 lim (ξ ,η ,ζ )∆ λ 如果上述极限存在,则称该极限值为函数 在曲面 ∑上对面积的曲面积分, : ( , , ) . ∫∫ ∑ 记为 f x y z dS f ( x, y,z)是定义在 ∑上的有界函数 , f (x, y,z)
江画工太猩院 即f(x,y,ds=lim∑f(5,n,41)AS -)0 ∑ 其中f(x,y,z叫被积函数,Σ叫积分曲面 2对面积的曲面积分的性质 若∑可分为分片光滑的曲面E及∑2,则 f(r, a ds=ll f(x, y, 2)dS+llf(x, y, z)ds
江西理工大学理学院 即 ∫∫ Σ f (x, y,z)dS i i i n i = ∑ f i ∆S = → lim ( , , ) 1 0 ξ η ζ λ ∫∫ Σ f (x, y,z)dS = ∫∫ ∫∫ Σ Σ + 1 2 f (x, y,z)dS f (x, y,z)dS. 2.对面积的曲面积分的性质 若Σ 可分为分片光滑的曲面 Σ 1及Σ 2 , 则 其中 f (x, y,z)叫被积函数， Σ叫积分曲面
江画工太猩院 求下列曲面积分的值 1.∑:x2+y2+x2=4 4ds=64 2.∑:x2+y2+x2=4 (x2+y2+x)=647 3.∑:曲面z=x2+y2介于z=1与z=0之间的部分 则[(x2+y2-)d=0
江西理工大学理学院 求下列曲面积分的值 1 . : 4 , 2 2 2 ∑ x + y + z = = ∫∫ ∑ 则 4ds 3 . ∑ :曲面 z = x 2 + y 2介于 z = 1 与 z = 0之间的部分 + − = ∫∫ ∑ ( x y z )ds 则 2 2 2 . : 4 , 2 2 2 ∑ x + y + z = + + = ∫∫ ∑ ( x y z )ds 则 2 2 2 64 π 64 π 0
江画工太猩院 计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种 1.若曲面∑:z=x(x,y) ∫(x,y,x 盯x1+2+:的
江西理工大学理学院 三、计算法 [ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z x y z z dxdy Dxy ∫∫ x y = + ′ + ′ ∫∫ Σ f (x, y,z)dS 1. 若曲面 Σ : z = z(x, y) 则 按照曲面的不同情况分为以下三种：
江画工太猩院 2.若曲面E:y=y(x,z) 则』/(x ∑ ∫1l+y12+y2dt 3.若曲面∑:x=x(y,z) 则』(x,) ∑ ∫x()1+x2+x2d
江西理工大学理学院 [ , ( , ), ] 1 ; 2 2 f x y x z z y y dxdz Dxz ∫∫ x z = + ′ + ′ ∫∫ Σ 则 f (x, y,z)dS [ ( , ), , ] 1 . 2 2 f x y z y z x x dydz Dyz ∫∫ y z = + ′ + ′ ∫∫ Σ f (x, y,z)dS 3. 若曲面 Σ： x = x( y,z) 则 2. 若曲面Σ : y = y(x,z)
江画工太猩院 ∫(x,y,ddS的计算法步骤 ∑ 1确定投影方向 2写出曲面∑的显式方程,求出投影区域 3求出dS的表达式 4化为二重积分
江西理工大学理学院 ∫∫ Σ f (x, y,z)dS 的计算法步骤 1.确定投影方向 2.写出曲面 ∑的显式方程 ,求出投影区域 3.求出dS的表达式 4.化为二重积分
江画工太猩院 例1计算』(x+y+2S,其中∑为平面 y+z=5被柱面x2+y2=25所截得的部分 解积分曲面 ∑:z=5-y 投影域 Dx=((x, y)x+ys25) o 0.5
江西理工大学理学院 计算∫∫ + + Σ ( x y z)dS , 其中Σ为平面 y + z = 5被柱面 25 2 2 x + y = 所截得的部分. 例1 积分曲面 Σ：z = 5 − y , 解 投影域 ： {( , ) | 25} 2 2 Dxy = x y x + y ≤