江西理工大学理学院 第五节 利用柱面坐标与球面 坐标计算三重积分
江西理工大学理学院 第五节 利用柱面坐标与球面 坐标计算三重积分
江画工太猩院 利用柱面坐标计算三重积分 设M(x,p,)为空间内一点,并设点M在 xOy面上的投影P的极坐标为r,G,则这样的三 个数r,,z就叫点M的柱面坐标 规定:0≤r<+0, M(x, y, z) 0≤0≤2π, y 00<Z<+0 P(,)
江西理工大学理学院 0 ≤ r < +∞, 0 ≤ θ ≤ 2π, − ∞ < z < +∞. 一、利用柱面坐标计算三重积分 个数 就叫点 的柱面坐标． 面上的投影 的极坐标为 ，则这样的三 设 为空间内一点，并设点 在 r z M xoy P r M x y z M , , , ( , , ) θ θ 规定： x y z o M(x, y,z) P(r,θ ) θ r • •
江画工太猩院 如图,三坐标面分别为 r为常数=→圆柱面; 为常数一>半平面; Mx, y, 2) z为常数→平面 柱面坐标与直角坐 标的关系为 8(, 0) y x=rose y=rsin 6 =7
江西理工大学理学院 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = . sin , cos , z z y r x r θ θ 柱面坐标与直角坐 标的关系为 r 为常数 z 为常数 θ 为常数 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面． • M ( x, y,z ) P ( r,θ ) • θ r z x y z o
江画工太猩院 如图,柱面坐标系 中的体积元素为 rde dv= rdrdedz, (x, y, e )dxdyo de Q 「 f(rcos8, rsin 8, z)rdrdBdz. Q
江西理工大学理学院 ∫∫∫ Ω ∴ f (x, y,z)dxdydz ( cos , sin , ) . ∫∫∫ Ω = f r θ r θ z rdrdθdz dθ r x y z o dz dr rdθ 如图，柱面坐标系 中的体积元素为 dv = rdrdθdz
江画工太猩院 例1计算/=dz,其Q是球面 x2+y2+x=4与抛物面x2+y2=3z 所围的立体 x三rcos 解由{y=rn,知交线为 =2 +x2=4 →z=1,r=√3, r2=3z
江西理工大学理学院 例1 计算 ∫∫∫ Ω I = zdxdydz，其中 Ω是球面 4 2 2 2 x + y + z = 与抛物面 x y 3 z 2 2 + = 所围的立体 . 解 由 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = z z y r x r θ θ sin cos , ⎩ ⎨ ⎧ = + = r z r z 3 4 2 2 2 ⇒ z = 1 , r = 3 , 知交线为
江画工太猩院 把闭区域9投影到xoy面上,如图, 0≤r≤3 0,5 0≤≤2π, 1= de r dr[a r zdz 13
江西理工大学理学院 ∫ ∫ ∫ π − = θ ⋅ 2 32 2 4 0 3 0 r r I d dr r zdz . 413 = π 把闭区域 Ω 投影到 xoy 面上，如图， 0 2 . 0 3, 4 3 : 2 2 ≤ θ ≤ π ≤ ≤ Ω ≤ ≤ − r z r r
江画工太猩院 例2计算Ⅰ=(x2+y2)dd,其中9 是曲线y2=2z,x=0绕0z轴旋转一周而成 的曲面与两平面乙=2=8所围的立体 解h少=2 绕OZ轴旋转得, x=0 旋转面方程为x2+y2=2z, 所围成的立体如图
江西理工大学理学院 例２ 计算 ∫∫∫ Ω I = (x + y )dxdydz 2 2 ， 其中Ω 是曲线 y 2z 2 = ，x = 0 绕oz轴旋转一周而成 的曲面与两平面z = 2,z = 8所围的立体. 解 由⎩⎨⎧ == 02 2xy z 绕 oz 轴旋转得， 旋转面方程为 2 , 2 2 x + y = z 所围成的立体如图
江画工太猩院 所围成立体的投影区域如图, x+y=16, 0<6≤2兀 0<r≤4 ≤Z<8 「0≤0≤2兀 0≤r≤2 D2:x2+y2=4,92
江西理工大学理学院 : D 2 4 , 2 2 x + y = . 2 2 0 2 0 2 : 2 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ θ ≤ π Ω z r r : D1 16 , 2 2 x + y = , 8 2 0 4 0 2 : 1 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ θ ≤ π Ω z r r 所围成立体的投影区域如图， D2 D1
江画工太猩院 ∴=11-12 (x'+ y)dxdydz x'+ y)dxdydz D 425 原式Ⅰ=兀-π=336兀 36
江西理工大学理学院 ( ) ( ) , 1 2 2 2 2 2 1 2 ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω = + − + ∴ = − x y dxdydz x y dxdydz I I I ∫∫ ∫ = θ 1 2 8 2 1 D I rdrd r fdz , 3 4 5 = π ∫∫ ∫ = 2 2 2 2 2 D r I rdrdθ fdz , 6 2 5 = π 原式 I = π 3 4 5 − π 6 2 5 = 336 π. ∫ ∫ ∫ = θ ⋅ π 8 2 4 0 2 0 2 2 r d dr r r dz ∫ ∫ ∫ = ⋅ 2 2 2 0 2 0 2 2 r d dr r r dz π θ
江画工太猩院 二、利用球面坐标计算三重积分 设M(x,y,z)为空间内一点,则点M可用 三个有次序的数r,g,θ来确定,其中r为原 点O与点M间的距离,g为有向线段OM与z 轴正向所夹的角,θ为从正z轴来看自x轴按 逆时针方向转到有向线段OP的角,这里P为 点M在xoy面上的投影,这样的三个数r,g, 就叫做点M的球面坐标
江西理工大学理学院 二、利用球面坐标计算三重积分 就叫做点 的球面坐标． 点 在 面上的投影，这样的三个数 ， ， 逆时针方向转到有向线 段 的角，这里 为 轴正向所夹的角， 为从正 轴来看自 轴按 点 与点 间的距离， 为有向线段 与 三个有次序的数 ， ， 来确定，其中 为原 设 为空间内一点，则点 可用 M M xoy r OP P z x O M OM z r r M x y z M θ ϕ θ ϕ ϕ θ ( , , )
